圓中折疊的兩種情景

折疊問題近幾年人們著重從三角形、四邊形方面研究較多，筆者通過探究發現，圓中折疊也有一些很好的結論，嘗試填補圓中折疊的空白，與大家共享如下.

圖1折疊情景一

如圖1，過直徑AB端點B折疊，使BC與直徑AB交于點D.連接AC、DC，則△ACD是等腰三角形.

證明在上述情景下，沿直徑AB再折疊后展開，如圖2，連接AC、CD，由折疊性質得∠ABC=∠CBD，因為∠ABC與∠CBD都是圓周角，所以AC=CD，所以△ACD是等腰三角形.

圖2圖3另外連接OC，還有OC∥BD這一較好結論.

拓展1若圖1中沿BD再折疊，BD與BC交于點E，繼續折疊，連接相應交點，則△ACD、△CDE、△DEF，…，是等腰三角形，如圖3.證明方法同上.

拓展2BC折疊后，過點B任做一條與BC有交點的弦AB（不一定是直徑），連接AC、DC，如圖4，則△ACD仍然是等腰三角形.理由同上.

圖4圖5拓展3在圖4情景下，過點B做一條弦AB，且使∠ABC=60°，沿AB再折疊后展開，如圖5，連接其中線段，△ACD是等邊三角形.

證明由折疊性質得∠ABC=∠CBD=60°，因為∠ADC=∠ABC=60°，∠CAD=∠CBD=60°，所以∠ADC=∠CAD=60°，所以△ACD為等邊三角形.

拓展4按照圖1折疊方式，當BC過圓心O時，沿直徑AB再折疊，展開后如圖6，連接其中線段，可得：△OBD、△AOC、△COD是等邊三角形，四邊形OBDC是菱形，四邊形ABDC是等腰梯形.

這些結論的證明過程讀者可以根據折疊性質自己證得.