復(fù)合二次根式的化簡

一般地，我們把二次根式的被開方數(shù)中套有二次根式的式子稱為復(fù)合二次根式，即形如a±cb（其中a，b，c表示有理數(shù)）的式子，如9+45、4-23等都是復(fù)合二次根式.

在競賽試題中，有時我們會遇到將復(fù)合二次根式化簡的問題.下面我們介紹四種化簡復(fù)合二次根式的方法，供讀者參考.

1配方法

通過配方，把根號下的式子寫成一個完全平方式，從而把根號內(nèi)的式子移到根號外，達(dá)到化簡二次根式的目的.

1.當(dāng)c=2時，如果能找到兩個正數(shù)x，y（其中x>y），且使這兩個正數(shù)的和為a，積為b，則a±cb=x±y.

例1化簡11-230.

解11-230=（6）2-26×5+（5）2=6-5.

2.當(dāng)c是大于2的偶數(shù)時，可以把c中除了2以外的因數(shù)移到根號里面，從而轉(zhuǎn)化為情形1.

例2化簡9+62.

解9+62=9+218

=（6）2+26×3+（3）2=6+3.

3.當(dāng)c=1時，可以先把根號內(nèi)式中各項(xiàng)都乘以2，再將各項(xiàng)代數(shù)和除以2，從而轉(zhuǎn)化為情形1.

例3化簡3-5.

解3-5=6-252=6-252

=（5）2-25+122=（5-1）22

=5-12=10-22.

4.當(dāng)c既不是1也不是偶數(shù)時，可以先把c移到根號里面，從而轉(zhuǎn)化為情形3.

例4化簡14+53.

解14+53=14+75

=28+2752=28+2752

=（25）2+2×5×3+（3）22

=（25+3）22=5+32=52+62.

2待定系數(shù)法

設(shè)a±cb=x±y，然后將兩邊平方，利用對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等列出方程，求出x，y的值，從而將復(fù)合二次根式化簡.

例5化簡6-33.

解設(shè)6-33=x-y（其中x，y是有理數(shù)），

兩邊平方，得6-33=x+y-2xy.

利用對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得x+y=6，2xy=33（即4xy=27）.

解方程組x+y=6

4xy=27，得x=92

y=32.

所以6-33=92-32=322-62.

3共軛根式法

兩個根式的積與和都為有理式，這兩個根式就互為共軛根式.如a+cb與a-cb（其中a，b，c表示有理數(shù)）是一對共軛根式.在化簡復(fù)合二次根式時，可以借助它的共軛根式，然后求出這一對共軛根式的平方和與積，最后通過解方程組求出復(fù)合二次根式的值.

例6化簡7-212.

解7-212的共軛根式是7+212.設(shè)7+212=x，7-212=y，則

x2+y2=（7+212）+（7-212）=14，

xy=（7+212）（7-212）

=72-（212）2=49-48=1.

所以（x+y）2=x2+y2+2xy=14+2=16，（x-y）2=x2+y2-2xy=14-2=12.

顯然x+y>0，x-y>0.所以

x+y=4，①x-y=23.②

①-②，得2y=4-23.所以y=2-3，即7-212=2-3.

4公式法

設(shè)a+cb=x+y（或a-cb=x-y，其中x>y），兩邊平方，得a+cb=x+y+2xy.利用對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得x+y=a，cb=2xy（即bc2=4xy）.

解方程組x+y=a

4xy=bc2，得x=a+a2-bc22

y=a-a2-bc22.

所以a±cb=a+a2-bc22±a-a2-bc22.

上面兩個公式就是化簡復(fù)合二次根式的公式.

例7化簡19-83.

解在19-83中，a=19，b=3，c=8，由化簡復(fù)合二次根式的公式，得

19-83

=19+192-3×822-19-192-3×822

=19+172-19-132=4-3.