基于“數學實驗”的視角看四節優秀示范課的遺憾

筆者于2011年12月6日至8日參加江蘇省“師陶杯”頒獎活動.其中一模塊是踐行課堂，解釋教育教學轉型的合理性.當時一等獎代表匯報課的課題是《搶三十》（屬活動性課題）；初中研究課的課題是《由中點想到的……》（屬策略選擇性課題）；特級教師示范課的課題是《一元二次方程》（屬概念生成性課題）.筆者有幸觀看了他們教學活動的全過程，每節課都有搶人眼球的風景，鮮活的情景創設、精彩的教學視角、創意的操作形式、獨特的活動方式、匹配的問題背景以及生趣的活動場景等贏得學生短暫性的笑聲和聽課教師的瞬時感動！但同時也存在一些走向性遺憾，而這些遺憾正代表當下初中數學理論課教學中普遍存在的不足.筆者不愿妄加評論，僅從數學實驗的視角看此次觀摩活動中的個性化片斷并作分析研究，以期共同商榷，達成共識.

數學實驗指為探究數學知識，發現數學結論或假設而進行的某種操作、試驗或思維活動，是探索性學習和教學的形式.它的本質是具有可操作性、探究性和創造性，張揚個性化的求異精神；其經典內涵是緩慢的過程性、參與的高指數、感悟的多元化以及知識經驗的再生性和生態興趣的持續性.

1數學概念、方法的生長既緩慢又難產，借助數學實驗可補白理論課的缺失

案例1學習用配方法解一元二次方程（執教者的切入點是通過探究一元二次方程x2+6x-7=0的解法引入配方法的）.

本模塊在運作的過程中，既有傳統課堂中教師的有效追問（這個方程怎么解？），也有一個孩子的聲音在說話，表達配方法的思考過程，進而師生共同獲取配方法的解題方案.從表面上看，知識點是學生自己生長的，解題方法是學生自己獲取的，教師的課程意識是嶄新的.可配方法作為中學階段一種重要的解題方法，既是完全平方公式、直接開平方法的延續又是后續學習二次函數的基礎，對于學生個體的“數學現實”而言內化理解是相當困難的，它的生長既緩慢又難產（因為學生向來畏懼生冷的、刻板的、抽象的算理），不是蜻蜓點水似的回答一個問題就能了結的，更不是一個聲音能代表幾十種聲音的，整體的課堂生成度可想而知.若借助數學實驗的手段探究配方法定會收獲意想不到的效果.主要實驗步驟：（1）任意畫出一個長為（x+6）寬為x的矩形；（2）將該矩形剪成一個邊長為x的正方形和長為x寬為3的兩個全等的矩形；（3）不重合、不黏貼、不再剪切的情況下能拼成正方形嗎？若想拼成正方形還需添加什么條件？（4）若原矩形的面積是7，新拼成的正方形面積是多少？此時能得到怎樣的關系式？……“玩”是學生的天性，能讓學生再發現配方法的生長過程，能明白配方法的源起，達成真正意義上的內化理解的涵義.這是數學理論課一直難以實現的愿望，也是理論課領域的一大空白.每當學習這類內容時，師生總會處于一種尷尬的境地，習得的知識呈現夾生狀態，無法通體透明.而簡單的實驗“畫一畫、剪一剪、拼一拼”卻能讓學生豁然開朗，這就是最佳的學習策略和至上的學習境界.因此，借助數學實驗可補白理論課的缺失，盡管實驗操作浪費大量的時間，完不成課前的預設，打破課的常規，使課堂容量銳減，使課的節奏變慢，甚至影響到教學進度等，但學生知識生成卻是鮮活的、靈動的、扎實的、到位的，學生的笑聲在流淌、思維在暗流涌動，這不正是高效課堂、理想課堂的終極追求嗎？所以借助數學實驗可補白理論課的缺失.

2數學定理、公式、法則的生成是慢過程，借助數學實驗能改善理論課的生硬

教材上的定理、公式、法則是數學家或數學教育家發現的結果.展現在師生面前是經過千錘百煉而又十全十美的結論.這種完美略去了曲折復雜艱辛的發現過程，可依據每位學生已有的知識經驗和學習現實，運用數學實驗的手段和方法經歷再發現和再創造的過程，以此改善理論課定理生成的唐突性、生硬性和結論生成的刻板性.

案例2 關于“中點四邊形”的生成問題.執教者用發散的視角、開放的思維、經典的引領下放任務單；采用短暫性“互動合作”的新方式獲取想要的結論，通過學優生“交流展示”的方式給出問題的滿意答案.從淺層面看，執教者有一定的新課程執行力，課堂生成是皆大歡喜的，課堂氣氛是熱熱鬧鬧的，教師的感覺也相對的良好.可執教者依然沒能突破傳統教學模式的束縛，把一個本應由學生自己動手操作、實驗、猜測與歸納的探索活動演變為學優生搶答場景，其結果是全體學生本應獲得的體驗和感悟走失了，本應獲得的合作交流滑過了，知識生成只能是學優生智慧的碰撞，中等生和學困生依然站在知識的原點，課堂參與的高指數更是不可企及.若能介入數學實驗的手段，賦予學生自主探索的慢時空和有規則的自由，讓學生親歷“畫一畫、想一想、猜一猜、議一議”等慢化操作流程，直觀感受“中點四邊形”的生長過程，動態生成鮮靈的中點四邊形，這不僅能改善理論課上“中點四邊形”生成的唐突性和生硬性，而且能實現理論課無法達成的目標.更重要的是學生能親自體會知識從手中誕生，這不僅提高學生學習數學的興趣，激發學習的熱情，而且拓展數學學習的廣度、深度以及厚度，有利于培養學生的創新意識和再創造能力.實驗載體：（1）任意畫出一個非特殊四邊形、矩形、菱形、等腰梯形；（2）畫出以上圖形的中點四邊形，猜想其形狀并說明理由；（3）非特殊四邊形具備怎樣的條件時，其中點四邊形是矩形？是菱形？是正方形？為什么？……幾何性質定理的生成來自于學生親身體驗和生命感悟，需要一個緩慢的體悟和凝練過程，不是教師的說教和派送能夠真正達成的，更不是標簽式的過場能夠實現的，必須由學生的躬耕勞作才能內化吸收，這是理論課無法預約的境界.因此，借助數學實驗能改善理論課定理生成的生硬性.

3數學規律性結論的達成是慢方式的，借助數學實驗可扭轉理論課的作秀時尚

案例3 畫一條直線，將梯形分成面積相等的兩部分.

本模塊是課例《由中點想到的……》的應用片斷.其立意是使學生學會將生活中的實際問題轉化為數學模型，不斷培養學生的建模能力和轉化意識，凸顯支架的鋪墊作用.執教者依據“三案六模塊”（教案、學案、鞏固案，自學質疑、合作交流、互動探究、矯正反饋、精講點撥、拓展應用）的形式授課.當時留給學生約3分鐘時間在組內合作交流，接著是組長在白板上展示交流成果：有的經過梯形上下底的中點作直線；有的經過梯形中位線的中點作直線并與上下底相交；還有的將梯形轉化為三角形再作面積的等分線（如圖1），圖1且各自都闡釋所作直線的合理性.展示的結果既精彩又全面，使聽課教師臉上掠過驚訝、困惑以及贊嘆的復雜感情.顯然結論是少部分學生心智的火花，不是大部分學生思維的碰撞，因此展示的結果并不是春天的萬紫千紅，而是冬天的一枝獨秀.大部分學生還沒反應，就讓個別學優生講，“用學生的嘴代替老師的嘴，用學生的灌不會改變“填鴨式”的性質”（羅增儒語）.因此，該片斷的運行依然沒能遠離時尚的作秀，貼標簽的痕跡仍清晰可見.“假如這節課由我來上，寧愿上不完”（特級教師符永平語）.數學規律性結論的達成是一個動態的慢化過程，需要給學生足夠的自我建構時空，不能直接告知結果，因為教師的體驗和理解代替不了學生的體驗和理解；亦不能搭過多的臺階，否則會無意間定勢學生的思維.若能介入數學實驗的手段，則可降低假性生成的百分比，真正達成累積活動經驗的目標以及知識再生成、再發現的實效性，從知識的出生地攔截過場式的標簽，收獲真實的、多元的生命感悟以及獲取個性化的發展，張揚生命的個性色彩.實驗的問題式：（1）畫一條能將梯形面積分成相等兩部分的直線（如圖2）；（2）解釋以上所作直線的合理性；（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC>S△ABC，過點A能否作出一條等分四邊形ABCD面積的直線？若能，請畫出符合條件的直線，并給出證明；若不能，說明理由.

圖2圖3“問題是思維的心臟”.創設這樣的實驗載體，既能體現問題的內驅力又能實現欲得結論的動態生成.既扭轉理論課中直覺思維斷層的現象又實現從特殊實物載體到一般思想的自然過渡，使規律性結論、思想方法在“玩中、笑中、聊中、做中、質疑和批判中”順利納入到學生已有的知識體系，從而實現知識的有效對接，進而實質性的拉長了知識的生長鏈；自然排斥了花架式結論的假性生成，杜絕了過程演繹成過場的低效現象，實現了數學實驗的得天獨厚的優勢.因此，借助數學實驗能扭轉榜樣式課堂的作秀時尚.

4數學意識的培養周期是慢長的，借助數學實驗能實現理論課無法達成的目標

數學意識是自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數學模型作出思考和判斷.嚴士鍵教授形象地把它比作“足球運動員的射門意識”，即碰到問題就想能否用數學的方法或手段去解決.而數學實驗的對象是學生在日常生活中遇到的實際問題，因此數學意識的發展離我們并不遙遠，就在身邊，只要能常常介入實驗的手段定能提升數學意識，盡管數學意識的培養周期相當慢長，感覺是那樣的千里迢迢.數學意識實際上就是一種簡單的習慣，只要教師有培養意識和關注匹配實驗素材的選擇，學生的數學意識就會在實驗的歷練中得到一定層面的提升.

案例4游戲規則：兩人按自然數的順序輪流報數，從1開始每人每次報1個數或2個數，誰報30，誰就贏.若將規則改為：每人每次可以說1至3個數，你能搶到30嗎？若將規則再改為：每人每次可以說2個數或3個數，你能搶到30嗎？（1）看誰贏得多；（2）探索取勝之道.執教者的設計意圖是通過兩個游戲規則的改變讓學生再次體會用“逆向思維”可以得到取勝的方法.這樣的實驗游戲蘊涵著且傳遞著大量的、豐富的數學信息，為學生實驗提供廣闊的時空.劉良華教授說游戲的基本秘密是：第一，游戲讓所有參與游戲的人忘記自己在做游戲；第二，游戲永遠讓人生活在希望中；第三，游戲總是為游戲者提供及時的反饋與矯正.這是一種難得的、休閑的學習意境，可惜執教者沒能領著學生入境，學生還是在報數中陷入疲勞狀態，沒能達到最清醒的沉迷，獲得的感悟也是短暫的、膚淺的，數學意識的萌動轉瞬即逝，應該是活動形式的單調乏味引起的異常反應.“假如這節課由我來上，我會選擇更多的活動形式，留住學生的笑聲”（特級教師符永平語）.若能借助數學實驗的手段亦會收獲不一樣的精彩，亦能讓笑聲貫穿于課堂，實現理論課無法直接培養的數學意識.誠然，數學意識的產生與形成，不是與生俱來的，需要后天的培養和凝練；也不是一蹴而就的，是意識領域的一個慢化積淀過程，需要“有心栽花”的苦心，方可成就的.讓學生親歷實驗獲得對各種生活問題的深刻感悟，在此基礎上，慢慢地、逐步地發展做數學和用數學的意識.養成用數學頭腦對周圍事物進行數學地思維習慣，在參與數學實驗時愈會感到實驗經驗的不足、實驗方法的短缺、實驗知識的匱乏，更激起實驗的積極性，實驗的技能會在不經意間得到提升，參與實驗也就順心順意，興趣亦會越來越濃，在雙基與實驗之間形成一個良性互動，進而達成培養用數學的意識.多元的實驗形式：（1）組內學生互相報數；（2）組間學生選擇自己喜歡的同學互相報數；（3）男生、女生之間分別報數；（4）選出贏得次數最多的男生和女生相互報數；（5）老師和最終的優勝者相互報數.這樣做學生就不會感到疲勞，一直處于忘我的競爭狀態或思考狀態，課堂收效不需言傳，實驗經驗的積累、逆向思維的生長自然習得，不需刻意經營，達成常規課無法實現的愿想.因此，借助實驗能培養學生的數學意識，而理論課卻遙不可及.

5隨感隨言

其一，數學實驗課與理論課不同，沒有共識的運作程序，自由度定位比較高.可以是相對完整的一節課，也可以是片斷式運作模塊，還可以是連載式的大課，無論哪種情況都需要經歷知識的再發現、再生成以及再創造的過程.數學實驗能解決理論課難以解決的問題，也就是說有些知識點在理論課上生長有難度，而借助數學實驗卻能順利誕生.它還具有調整、改善數學刻板、生硬、干澀的冷面孔的多元功能；能提升數學的親和力、提高學生學習的參與度和興趣度，真正實現用數學實驗的手段豐富學生的數學視野，激勵學生的求異精神和創新精神.其著力點在于結論歸納的自然性、定理生長的直觀性；倡導參與的高指數、學習的幸福感，使學生得到學習數學本應得到的快樂.

其二，數學實驗是一項年輕的課題，實驗經驗的斂聚與沉淀是一個慢過程，不是一朝一夕就能完成的，需要慢慢的等待和主動地修煉，需要匹配的操作流程、營養豐富的實驗載體、寬松自由的運作氛圍，和生命成長的慢周期相似，需要半肯文化（對現有的內容、觀點、方法、評價，不是全部認可，更不是照單全收，而是持質疑和批判的態度，善于思考、善于追問、善于發表不同意見）理念的補白.實驗的節奏應該是緩慢的、實驗內容的呈現是慢狀態的、實驗結論的生成是慢鏡頭的、實驗環境是綠色的、生態的、健康的和有序的.美學家朱光潛先生說：“慢慢走，欣賞啊！”

其三，數學實驗是一種有效開發學生再發現能力、再創造能力以及求異精神的重要抓手.無論從實驗的本質、數學能力的修煉與培養，還是教學方式的轉變、教學觀念的更新等對教育教學以及課堂的轉型起著實質性的作用.尤其是對培養學生的數學意識，提升學生數學素養、累積數學實驗經驗，以及在此基礎上發展起來的創造能力更是如此.相信，隨著課程意識、課程能力的提升，課程執行力的不斷加強，數學實驗的有序推進，數學實驗的春天會不期而至，實驗的芬芳會開遍實驗的枝頭.