軸對稱變換在平面幾何最值問題中的應用

在平面內，由一個圖形變為另一個圖形，并使這兩個圖形關于某一條直線成軸對稱，這樣的圖形改變叫做圖形的軸對稱變換，也叫反射變換.合理利用軸對稱變換可以解決特殊三角形，特殊四邊形和圓等最值問題.下面結合實例談一談軸對稱變換在平面幾何最值問題中的應用.

1軸對稱變換在特殊三角形最值問題中的應用.

圖1例1如圖1，正△ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是BC邊上的任意一點，求PA+PM的最小值和最大值.

分析作△ABC關于直線BC的軸對稱圖形△A1BC，從而M關于直線BC的對稱點為邊A1B的中點M1，即PA+PM的最小值為AM1.當P與C重合時，PA+PM的值最大.

解（1）作△ABC關于直線BC的軸對稱圖形△A1BC，再作M關于直線BC的對稱點為邊A1B的中點M1，連接AM1，PM1，CM1，因為M關于直線BC的對稱點為M1，所以△PBM≌△PBM1，從而PM=PM1.所以PA+PM=PA+PM1≥AM1，因為當A，P，M1三點共線時，上式取到等號，所以PA+PM的最小值為AM1.因為∠ACM1=90°，AM1=AC2+CM21=22+（3）2=7，所以PA+PM的最小值為7.

因為PA+PM=PA+PM1≤AC+CM1，當P與C重合時，取到等號，即達到最大值.所以PA+PM的值最大為2+3.

通過以上問題的解決，使學生學會了在正三角形中以一邊為對稱軸進行軸對稱變換的基本方法，利用軸對稱變換可以將折線問題轉化為兩點之間線段最短問題，從而達到了解決平面幾何最值問題.以上的問題還可以做如下變式訓練：圖2

變式訓練：如圖2，點P，Q，R分別在△ABC的邊AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，試求△ABC面積的最大值.（全國初中數學競賽題）

2軸對稱變換在特殊四邊形最值問題中的應用.

例2如圖3，在正方形ABCD中，點E是BC上的一定點，且BE=10，EC=14，點P是BD上的一動點，求PE+PC的最小值.圖3

分析作點E關于直線BD的對稱點E1，則點E1在邊AB上，連接CE1，PE1，即PE+PC的最小值為CE1.

解因為BD所在的直線是正方形ABCD的對稱軸，所以作點E關于直線BD的對稱點E1，則點E1在邊AB上，連接CE1，PE1，因為△PEB≌△PE1B，從而PE=PE1.因為PE+PC=PE1+PC≥CE1，所以當C，P，E1三點共線時，上式取到等號.所以PE+PC的最小值為CE1，因為∠CBE1=90°，BC2+BE21=242+102=26，所以PE+PC的最小值為26.

通過以上問題的解決，軸對稱變換的方法在正方形中得到應用，培養學生用軸對稱變換的方法能從特殊三角形遷移到特殊四邊形的能力.以上問題還可以推廣為更一般的情形問題如下：

例3如圖4，在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC，AB上各取一點M，N，使BM+MN的值最小，試求出這個最小值.

圖4分析因為需求折線BMN的最小，所以可以考慮作對稱變換，作B，N關于AC的對稱點B1，N1，這樣B到AB1的距離即為BM+MN的最小值.

解作點B關于AC的對稱點B1，連接AB1，BB1，設AC與BB1交于點L，作NN1⊥AC，交AB1于點N1，連接MN1，作BH⊥AB1于點H，因為點B， B1關于AC對稱，所以直線AC是BB1的垂直平分線，從而AB1=AB，因為AB1=AB，AC⊥BB1，所以∠B1AC=∠BAC.因為NN1⊥AC，所以△ANN1是等腰三角形.所以直線AC是NN1的垂直平分線，從而MN1=MN.所以BM+MN=BM+MN1≥BH，即BM+MN的最小值為BH.因為BL=AB×BCAC=20×10202+102=45，從而BB1=2BL=85.所以BH×AB1=AL×BB1，即BH=AL×BB1AB1=85×8520=16.故BM+MN的值最小為16.

通過以上問題的解決，可以拓寬學生的解題思路，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力.以上問題還可以做如下的變式訓練：

圖5變式訓練：如圖5所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，M，N分別是AD，BC的中點，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P為MN上的一個動點，若AD=3，試求PC+PD的最小值.

3軸對稱變換在圓最值問題中的應用.

在有些圓問題中可以利用軸對稱變換解決最值問題.

圖6例4如圖6，已知圓周被其上兩定點A，B（A不同于B）分為兩段弧，試指出弧上的動點P在指定弧的哪個位置時，PA+PB最大？證明你的結論.

分析當點P在優AB的中點時，PA+PB達到最大值，要證明PA+PB最大，只要在優AB上取一點P1（不同于P），只需證明PA+PB>P1A+P1B，即PA+PB最大.

證明：當點P在優AB的中點時，PA+PB達到最大值.理由如下：

在優AB上取一點P1（不同于P），連接P1A，P1B，過P，P1兩點作直線l，再作點B關于直線l的對稱點B1， 連接PB1，P1B1，設直線l與BB1的交點為C.因為B，B1關于直線l對稱，所以直線l是BB1的垂直平分線.所以P1B=P1B1，從而△P1BB1，即∠BP1C=∠B1P1C.因為A，B，P1，P四點共圓，所以∠BP1C=∠PAB，即∠PAB=∠B1P1C.因為點P在優AB的中點，所以PA=PB，從而∠PAB=∠PBA.因為∠PP1A=∠PBA，所以∠PP1A=∠PAB=∠B1P1C.因為∠PP1A+∠AP1C=180°，所以∠B1P1C+∠AP1C=180°，即A，P1，B1三點共線.因為PA+PB=PA+PB1>AB1，AB1=AP1+P1B1=AP1+P1B.所以PA+PB>P1A+P1B，故當點P在優AB的中點時，PA+PB達到最大值.

通過以上問題的解決，軸對稱變換的方法也可以在圓中得到應用，進一步培養學生用軸對稱變換方法的遷移能力.上面的問題還可以做如下的變式訓練：

圖7變式訓練：如圖7，已知⊙O的半徑為R，C，D是直徑AB同側圓周上的兩點，AC的度數為96°，BD的度數為36°，動點P在AB上，試求PC+PD的最小值.

通過以上3個方面的問題的探討，使學生學會了用軸對稱變換解平面幾何最值問題的方法，利用軸對稱變換可以將折線問題轉化為兩點之間線段最短問題或垂線段最短問題這一數學思想.通過問題的變式訓練，拓寬了學生的視野，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力.并培養學生的“應用數學意識”，落實到初中數學競賽教學中去，從而提高學生學習數學的興趣，逐步形成應用數學知識解決問題的良好習慣.

作者簡介：蔣必昆，男，1971年生，中學高級教師，全國初中數學競賽浙江省優秀指導師，溫州市優秀教師，溫州市首屆學科骨干教師， 溫州市第三屆教壇中堅.主要研究初中數學競賽教學研究，已發表論文10多篇.