對“邊 邊 角 ”的深入探究

八年級三角形全等的判定方法，課本中介紹了四種：邊邊邊 （SSS）公理、邊角邊 （SAS）公理、角邊角 （ASA）公理和角角邊 （AAS）定理，圖1對特殊的直角三角形在判定全等時，除了以上四種方法外，還有“斜邊、直角邊” （HL）定理.而眾所周知，“ SSA”是不能用來作為判定任意兩個三角形全等的條件的，教材中也給出了反例（人教版八年級上冊98頁）.人教版對于三角形全等的判定方法是通過作圖得到的，那么我們作一個△A′B′C′，使其與△ABC滿足“SSA”，我們看會出現怎樣的情況.圖2

如圖2，已知△ABC，作A′C′=AC，∠A′C′M=∠C，以點A′為圓心，以AB長為半徑畫弧與射線CM交于點B′和B″，連接A′B′和A′B″，我們會發現同樣滿足“SSA”條件的△A′B′C′與△ABC全等，但是△A′B″C′卻不全等于△ABC；而“HL”定理的條件應屬于“SSA”判定條件.這是為什么呢？

經過自己觀察對比，我們發現圖1反例中的兩個三角形△ABC和△ABDC及圖2中的兩個三角形△ABC和△A′B″C′不是同類三角形（其中一個是銳角三角三角形，另外一個是鈍角三角形）.而“HL”定理中的兩個三角形及圖2中的兩個三角形△A′B′C′和△ABC都是同類三角形.根據這個發現，我們可以大膽設想：在符合一定條件下的兩個三角形如果滿足“SSA”也是全等的，為此我們做以下探究.

探究一求證“有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個直角三角形全等”.

這個命題我們轉化為下面兩個命題：

（1）求證：兩直角邊及其中一邊的對角對應相等的兩個直角三角形全等.

此命題中除了有兩組對應邊和一組對應角相等之外，還有兩個直角相等，所以可以根據“ASA”或“AAS”證明此命題是一個真命題，此處略去證明過程.

（2）求證：斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

如圖3，在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′=90°，求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

圖3分析延長AC至D，使CD=AC，延長A′C′至D′，使C′D′=A′C′，連結BD、B′D′，則易證△A′B′C′≌△D′B′C′，則得到∠A=∠A′，從而可證△ABC≌△DBC.

通過上面的探究我們可以發現：

結論1兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個直角三角形全等.即“邊邊角”可判定兩個直角三角形全等.

探究二兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個銳角三角形全等嗎？

圖4如圖4，銳角三角形△ABC，△A′B′C′，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′.求證：△ABC≌△A′B′C′.

分析：分別過點A，A′作AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′，則根據“AAS”可證△ABD≌△A′B′D′，所以AD=A′D′，從而根據“HL”易證Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，從而∠C=∠C′，進而易證△ABC≌△A′B′C′.

通過上面的探究可得出結論：

結論2兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個銳角三角形全等.即“邊邊角”可判定兩個銳角三角形全等.

探究三兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個鈍角三角形全等嗎？

若△ABC′，△A′B′C均為鈍角三角形，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，那么△ABC與△A′B′C′會不會全等呢？

分析：（1）當∠B=∠B′，且∠B，∠B′均為銳角時；

圖5① 如圖5，當∠C，∠C′均為銳角時；

分別過點A，A′作AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′，則根據“AAS”易證△ABD≌△A′B′D′，所以AD=A′D′ ，從而根據“HL”易證Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，進而易證△ABC≌△A′B′C′.

圖6②如圖6，當∠C，∠C′均為鈍角時，分別過點A，A′作AD⊥BC交BC的延長線于點D，A′D′⊥B′C′交B′C′的延長線于點D′，則根據“AAS”易證△ABD≌△A′B′D′，所以AD=A′D′ ，從而根據“HL”易證Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，進而易證△ABC≌△A′B′C′.圖7

③當∠C，∠C′一個為銳角，另一個為鈍角時，△ABC與△A′B′C′不全等（如圖7）.

（2）當∠B=∠B′，且∠B，∠B′均為鈍角時.

圖8分析如圖8，此時∠C，∠C′為銳角，分別過點A，A′作AD⊥BC交CB的延長線于點D，A′D′⊥B′C′交C′B′的延長線于點D′.因為∠ABC=∠A′B′C′ 所以∠ABD=∠A′B′D′，則根據“AAS”易證△ABD≌△A′B′D′，所以AD=A′D′ ，從而根據“HL”易證Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，進而易證△ABC≌△A′B′C′.

結論3兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個鈍角三角形，若另一對應相等的邊所對的角都是銳角（或都是鈍角），則這兩個鈍角三角形全等；否則這兩個鈍角三角形不全等.

綜合上面的探究可以得出以下結論：

1. 兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個銳角（直角）三角形全等.

2.兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個鈍角三角形，若另一對應相等的邊所對的角都是銳角（或都是鈍角），則這兩個鈍角三角形全等；否則這兩個鈍角三角形不全等.