優(yōu)化課題，讓課題閃光

教學(xué)內(nèi)容：

浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上第七章課題學(xué)習(xí)：《怎樣選擇較優(yōu)方案》.

內(nèi)容簡析：

《怎樣選擇較優(yōu)方案》是一次函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的重要應(yīng)用，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了方程不等式、一次函數(shù)、一次函數(shù)的圖像、一次函數(shù)的簡單應(yīng)用后，在學(xué)生獲得了一定探究方法的基礎(chǔ)上，利用已學(xué)知識(shí)，解決生活實(shí)際問題的一種嘗試.對(duì)學(xué)生以后步入社會(huì)，用數(shù)學(xué)的方法去解決生活生產(chǎn)的實(shí)際問題無疑是一種很好的鍛煉.

對(duì)《怎樣選擇較優(yōu)方案》的研究，要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，由于本課題課本資源單薄，僅一個(gè)移動(dòng)通訊話費(fèi)較優(yōu)方案的選擇問題.所以要求教師創(chuàng)造性的使用教材，深層次的挖掘教材，讓教材包含的內(nèi)容變得豐滿，教材蘊(yùn)含的思想得以體現(xiàn)，讓課題閃光.

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：1）進(jìn)一步了解一次函數(shù)的解析式和圖像在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.

2）對(duì)于實(shí)際問題，能嘗試使用代數(shù)法和圖解法選擇較優(yōu)方案.

能力目標(biāo)：1）通過對(duì)一個(gè)題目多種解法的思考，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力、創(chuàng)新思維能力.

2）通過較優(yōu)方案的選擇，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題的能力.通過小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力.

3）通過課題學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程不等式思想、函數(shù)思想……

情感目標(biāo)：1）通過較優(yōu)方案的選擇，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活.

2）通過合作交流，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神，加深同學(xué)間的互助和友誼.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

為了實(shí)現(xiàn)以上教學(xué)目標(biāo)，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：用圖解法解決簡單實(shí)際問題.本節(jié)范例涉及到分段定義函數(shù)，在這種情況下畫函數(shù)的圖象，并形成圖解法的思路有一定的難度，是本節(jié)教學(xué)難點(diǎn).

教學(xué)方法：“啟發(fā)式教學(xué)法、合作式教學(xué)法”.

教學(xué)過程：

一、 陳題新做，引入課題

師：圣誕節(jié)快到了，同學(xué)們喜歡這個(gè)節(jié)日嗎？

生：喜歡.

師：為什么？

生：因?yàn)槭フQ節(jié)能夠收到親朋好友的祝福和禮物.

師：老師也很喜歡這個(gè)節(jié)日，記得十年前的圣誕，老師收到了一個(gè)禮物——手機(jī).可在給手機(jī)選擇套餐時(shí)，老師卻猶豫了……

設(shè)計(jì)意圖借助節(jié)日情境，引入課題，意在吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性.

電信營業(yè)員說：我公司對(duì)手機(jī)話費(fèi)有以下兩種計(jì)費(fèi)方案：

全球通神州行月租費(fèi)50元/月0本地通話費(fèi)0.40元/分0.60元/分

請(qǐng)問您選擇哪一種？

設(shè)計(jì)意圖給陳題配上情境“電信營業(yè)員說”“請(qǐng)問您選擇哪一種？”，使題目變得更加親切，讓學(xué)生感覺他們真的是在幫助老師選擇手機(jī)話費(fèi)套餐，以提高學(xué)生思考的積極性.

師：我該選擇哪一種？（學(xué)生眾說紛紜）

師：老師選擇的依據(jù)是什么？

生：省錢.

師：那么選那種計(jì)費(fèi)方案比較省錢呢？手機(jī)費(fèi)用和什么有關(guān)？

生：通話時(shí)間.

師：通話時(shí)間越長手機(jī)費(fèi)用越多，通話時(shí)間越短手機(jī)費(fèi)用越少.于是，我們?cè)O(shè)通話時(shí)間為x分鐘，全球通費(fèi)用為y全元，神州行費(fèi)用為y神元.只要我們能表達(dá)出y全和y神就能判斷哪種方案比較省錢.（師生共同完成解法一）

解法一：設(shè)每月通話時(shí)間為x分鐘，則全球通每月話費(fèi)：y全=0.4x+50；神州行每月話費(fèi)：y神=0.6x.

當(dāng)y全>y神時(shí)，即0.4x+50>0.6x， 所以x<250；

當(dāng)y全=y神時(shí)，即0.4x+50=0.6x，所以x=250；

當(dāng)y全250.

答：當(dāng)0≤x<250分時(shí)，y全>y神，選擇“神州行”較為省錢；當(dāng)x=250分時(shí)，y全=y神，“神州行”和“全球通”一樣；當(dāng)x>250分時(shí)，y全

師：在解決這一問題時(shí)我們采用了分類討論的思想方法，特別注意分類時(shí)要做到不重復(fù)，不遺漏.

師：這種利用方程和不等式的思想來解決較優(yōu)方案問題的方法我們稱之為代數(shù)法，那么除了代數(shù)法以外你還有沒有其他方法？（學(xué)生思考后師生共同完成解法二）

圖1解法二：設(shè)每月通話時(shí)間為x分鐘，則全球通每月話費(fèi)：y全=0.4x+50；神州行每月話費(fèi)：y神=0.6x.在同一坐標(biāo)系中畫出圖象（如圖1）：

由圖象得：

當(dāng)0≤x<250分時(shí)，y全>y神，選擇“神州行”較為省錢；當(dāng)x=250分時(shí)，y全=y神，“神州行”和“全球通”一樣；當(dāng)x>250分時(shí)，y全

（邊講解邊強(qiáng)調(diào)注意點(diǎn)：1）畫圖時(shí)應(yīng)注意自變量的取值范圍.2）求交點(diǎn)其實(shí)質(zhì)是解方程組.）

師：這種利用圖像來解決較優(yōu)方案問題的方法我們稱之為圖解法，那么除了以上兩種方法以外你還有其他方法嗎？你能否對(duì)解法二的圖像作進(jìn)一步的優(yōu)化？（學(xué)生思維碰撞后得出解法三）

圖2解法三：設(shè)每月通話時(shí)間為x分鐘，則全球通每月話費(fèi)：y全=0.4x+50；神州行每月話費(fèi)：y神=0.6x.兩種計(jì)費(fèi)的差為：y=y全-y神=-0.2x+50

在同一坐標(biāo)系中畫出圖象（如圖2）：

由圖知：當(dāng)0≤x<250分時(shí)，y全>y神，選擇“神州行”較為省錢；當(dāng)x=250分時(shí)，y全=y神，“神州行”和“全球通”一樣；當(dāng)x>250分時(shí)，y全

師：這種解法也利用了圖像，我們也把它叫做圖解法，那么除了以上三種方法以外你還有其他方法嗎？

生：我還有一種代數(shù)法，在得到兩種計(jì)費(fèi)方式的差y=y全-y神=-0.2x+50后，用方程和不等式對(duì)y進(jìn)行分類討論.

師：非常好，掌聲鼓勵(lì)！（教師多媒體展示解法四）

解法四：設(shè)每月通話時(shí)間為x分鐘，則全球通每月話費(fèi)：y全=0.4x+50；神州行每月話費(fèi)：y神=0.6x.兩種計(jì)費(fèi)的差為：y=y全-y神=-0.2x+50.

當(dāng)y>0時(shí)，即-0.2x+50>0 ，所以x<250；

當(dāng)y=0時(shí)， 即-0.2x+50=0，所以x=250；

當(dāng)y<0時(shí)，即-0.2x+50<0 ，所以x>250.

答：當(dāng)0≤x<250分時(shí)，選擇“神州行”較為省錢；當(dāng)x=250分時(shí)，“神州行”和“全球通”一樣；當(dāng)x>250分時(shí)，選擇“全球通”較為省錢.

設(shè)計(jì)意圖對(duì)同一問題多種解法的思考，意在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力以及勇于創(chuàng)新的精神.對(duì)解法的形象命名：代數(shù)法、圖解法又有利于學(xué)生記憶方法，掌握方法.

師：同學(xué)們的回答非常漂亮，不僅解決了老師的猶豫，而且還給出了四種方案，可惜就是晚了十年.那么，為了使顧客們能夠毫不猶豫的選擇套餐，同學(xué)們對(duì)電信公司有什么好的建議嗎？

生：在計(jì)費(fèi)方案旁邊配上函數(shù)圖像和文字說明，用數(shù)形結(jié)合的方式告訴顧客選擇最優(yōu)方案的方法.

師：非常好，對(duì)此老師也有一首小詩要送給大家：生活之中常比較，選擇較優(yōu)很需要；列出函數(shù)畫圖象，數(shù)形結(jié)合顯功效.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生對(duì)電信公司的建議，可讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)的有用性，生活中處處都有數(shù)學(xué)，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).教師歸納小詩，可讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的重要地位.

二、 推陳出新，深化課題

師：又是一年圣誕，老師聽說中國電信在搞活動(dòng)，又推出了兩款新的套餐，很劃算，于是又去看了看……

電信營業(yè)員說：我公司對(duì)手機(jī)話費(fèi)推出了兩款新的套餐：

A套餐B套餐每月基本服務(wù)費(fèi)30元50元每月免費(fèi)通話時(shí)間120分200分超出后每分收費(fèi)0.4元0.4元請(qǐng)問您需要哪一款套餐？

設(shè)計(jì)意圖圣誕穿梭于課堂的始終，讓學(xué)生時(shí)刻感受節(jié)日的氛圍，時(shí)刻保持活躍的思維.套餐的變更既是知識(shí)的鞏固又是知識(shí)的拓展，它激發(fā)了學(xué)生思考的欲望，引導(dǎo)著學(xué)生對(duì)新問題的自主思考.

師：電信公司犯的還是老毛病，數(shù)缺形時(shí)少直觀，我該選擇哪種套餐？（學(xué)生眾說紛紜）怎么設(shè)未知數(shù)？利用什么方法解決？代數(shù)法還是圖解法？

（先學(xué)生自主思考嘗試解決，再教師投影展示成果，并對(duì)注意點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)調(diào)）

解法一：設(shè)每月通話時(shí)間為x分，A，B兩種套餐每月話費(fèi)分別為yA元，yB元，則yA=30（0≤x≤120）

0.4x-18（x>120）yB=50（0≤x≤200）

0.4x-30（x>200）圖3

在同一坐標(biāo)系中畫出圖象（如圖3），

觀察圖象得：

當(dāng)0≤x<170時(shí)，yA

當(dāng)x=170時(shí)，yA=yB，兩種套餐可任選一種；

當(dāng)x>170時(shí)，yA>yB，應(yīng)選擇B套餐.

師：這里的yA、yB叫做分段函數(shù)，注意畫分段函數(shù)的圖像要根據(jù)自變量的取值范圍.這種求最省話費(fèi)的方法，我們可以把它叫做什么法？

生：圖解法.

師：你還有其他方法嗎？

生：代數(shù)法.

師：試試看.

（先學(xué)生自主思考嘗試解決，再教師投影展示成果，并對(duì)注意點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)調(diào)）

解法二：設(shè)每月通話時(shí)間為x分，A，B兩種套餐每月話費(fèi)分別為yA元，yB元，

則yA=30（0≤x≤120）

0.4x-18（x>120）

yB=50（0≤x≤200）

0.4x-30（x>200）

當(dāng)0≤x≤120時(shí)；yA=30，yB=50，選擇A套餐；

當(dāng)120

令yA

令yA=yB，即0.4x-18=50，x=170，所以當(dāng)x=170時(shí)，兩種套餐可任選；

令yA>yB，即0.4x-18>50，x>170，所以當(dāng)170

當(dāng)x>200時(shí)；yA=0.4x-18，yB=0.4x-30，yA>yB，選擇B套餐；

綜上所述，當(dāng)0≤x<170時(shí)，應(yīng)選擇A套餐；當(dāng)x=170時(shí)，兩種套餐可任選一種；當(dāng)x>170時(shí)，應(yīng)選擇B套餐.

師：只要思路清晰，本題也可用代數(shù)法來解決，只是在分類討論時(shí)應(yīng)先劃分清楚自變量的取值范圍.針對(duì)本題，兩種方法哪種更簡便？

生：圖解法.

師：所以當(dāng)一個(gè)題目有多種方法可以選擇時(shí)，我們也要象本節(jié)課的課題一樣，選擇較優(yōu)方法.因?yàn)樗茏屛覀兪r(shí)間，少犯錯(cuò).

設(shè)計(jì)意圖本題為本課題的核心，對(duì)本題進(jìn)行多解法思考可以開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力以及勇于創(chuàng)新的精神.本題的兩種解法讓學(xué)生自主探索既是對(duì)前面知識(shí)的鞏固和拓展，又可以檢查學(xué)生知識(shí)的掌握情況，便于教師有的放矢的教學(xué).在兩種解法得出后，對(duì)解法優(yōu)劣的判斷又可以幫助學(xué)生選擇較優(yōu)解法.

師：現(xiàn)在的老師享受著老套餐，又渴望著新套餐，心中的問題仍沒有解決，面對(duì)新套餐，同學(xué)們，你們說老師的套餐是換還是不換？

觀察圖象得：

當(dāng)0≤x<50 分時(shí)，選“神州行”；

當(dāng)x=50分時(shí)，選“神州行”和“A套餐”均可；

當(dāng)50

當(dāng)x=170分時(shí)，選“A套餐”和“B套餐”均可；

當(dāng) x >170 分時(shí)，選“B套餐”.

師：同學(xué)們真是太棒了，現(xiàn)在老師可以毫不猶豫的去選擇套餐了.

設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生對(duì)新套餐的較優(yōu)選擇問題提出兩種解決方案后，教師進(jìn)一步提出自己的手機(jī)套餐“換還是不換”將課堂推向了高潮，小組合作交流，又能在生生之間擦出智慧的火花，實(shí)現(xiàn)生生間的互助，讓更多的同學(xué)掌握較優(yōu)方案的選擇方式.

三、小結(jié)反思，升華課題

師：老師的套餐有著落了，那么同學(xué)們?cè)趲椭蠋熯x擇套餐的同時(shí)是否也收獲了一些知識(shí)？接下去，我們一起來共享收獲.

（學(xué)生各抒己見）

師：這節(jié)課我們解決了一個(gè)問題：選擇較優(yōu)方案的問題；得出了兩種方法：代數(shù)法和圖解法；滲透了多種思想：數(shù)學(xué)建模思想、函數(shù)的思想、方程不等式的思想、分類討論的思想、轉(zhuǎn)化化歸的思想……

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生總結(jié)收獲，可培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)小結(jié)反思的習(xí)慣，也有利于學(xué)生理清思路，整理經(jīng)驗(yàn).教師在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步小結(jié)內(nèi)容，可提綱挈領(lǐng)，提升課堂品味.

四、 拓展領(lǐng)域，鞏固課題

師：選擇較優(yōu)方案問題不僅在話費(fèi)問題中出現(xiàn)，在其他很多領(lǐng)域中都有所涉及.本節(jié)課的作業(yè)主要是較優(yōu)方案在其他一些方面的應(yīng)用，當(dāng)然較優(yōu)方案的應(yīng)用還遠(yuǎn)不止這些，只要我們悉心觀察，數(shù)學(xué)就在我們身邊，如若我們能用數(shù)學(xué)來分析身邊的問題，我們會(huì)變得更加聰明.

參考文獻(xiàn)

[1]范良火.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）[M].杭州：浙江教育出版社，2008.

[2]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.