當“高遠的立意”遭遇“冰冷的現實”

2012年中考數學連云港卷的壓軸題是一道動態探究性試題.根據閱卷組的統計，該題作為一道總分12分的探究題，全市平均得分僅為0.88，換算成難度系數的話，約為0.07！這個結果嚴重超出了命題人的預料.顯然，本題客觀的統計的結果是不如人意的.然而，這道壓軸題卻又得到很多試題研究者的好評：“重視基礎，突出了核心知識；數學思想的完美展示；逐次遞進，助推能力；突出變與不變的辯證觀念.” [1]并就這幾個方面的特色進了詳細評述，并最終總結認為該題是“一道緊扣課程標準的開放題”.

一方面，試題被賞析者認為立意高遠、緊扣標準；另一方面，試題考查的結果又向我們呈現出了一個“冰冷的現實”.這讓筆者不由得產生這樣的思考：為什么本題的命題立意與現實之間會產生如此大的落差？這個落差所揭示的，是命題的迷失還是教學的遲滯？

1原題呈現

（2012連云港）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.

問題1：如圖1（1），P為AB邊上一點，以PD、PC為邊作平行四邊形PCQD.請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？

問題2：如圖1（2），若P為AB邊上任意一點，以PD、PC為邊作平行四邊形PCQD.請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由；

問題3：若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE.請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由；

圖1

問題4：如圖1（3），若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE=nPA（n為常數），以PE，PB為邊作平行四邊形PBQE.請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由.

2本題究竟難在哪里？

筆者參加了連云港市2012年中考的閱卷工作.就閱卷情況來看，大部分學生在本題給出的解答都只是“能”、“不能”、“存在”之類的判斷語句.當然，如果考生幸運地在問題1后猜中“不能”，也能得到1分！這也就是說，本題如果去除得分中的“運氣”成份的話，得分率更是微乎其微，考查效度也就可想而知了.本題究竟難在哪里？筆者在閱卷的同時也在努力從學生的角度來思考這個問題.

2.1起點過高，缺乏思維鋪墊

就問題1來說，很多學生都只能給出一個正確的判斷，但是能給出推理過程的學生很少.筆者認為，問題1單獨拿出來，也算是一道中檔難度的題目.筆者閱卷中發現，凡是能解答出問題1的學生，采取的思路基本上都可以概括如下：如果對角線相等，那么它應當是矩形；要成為矩形，那么應當有一個角是直角.于是，問題再轉化為∠DPC會不會是直角；接下來，通過勾股關系的存在性或三角形相似的存在性來論證∠DPC會不會是直角.如果我們縱觀本題的四個問題可以發現，問題1的以上探究過程對于問題2、問題3、問題4的解決基本上沒有起到實質性的鋪墊作用.從本題后三個問題的研究中我們可以發現，關注并研究P點運動過程中圖形所具有的不變屬性是解答本題的核心策略，但是，問題1顯然沒有為學生找到這種策略提供有效的思維鋪墊.

其實，在問題1中如果學生不將問題轉化為角，而是直接研究PQ長度的話，對于整題來說卻是“切中要害”的：在圖1（1）中，設平行四邊形PCQD的對角線交點為G，因為一條對角線DC確定，所以G點確定.由平行四邊性質知PQ=2PG，當P點運動至PQ⊥AB時，PG取得最小值，PQ即取得最小值，此時PG為梯形的中位線，易求出長度為2，即PQ最小為4，而DC為定值22，說明PQ與DC長不可能相等.在這樣的解答過程中，學生不僅不需要將問題向“矩形”轉化，而且解題思路似乎是直接而又自然的.但是，筆者在閱卷過程中沒有發現一個學生采取這種方法.實質上，如果用這樣的思路分析問題1就會發現它與問題2基本上是一回事了！

通過以上分析，我們可以得到這樣的認識：如果問題1的立意在于考查特殊四邊形之間的聯系的話，那么它與后續問題沒有形成聯系，相當于一道獨立于其它問題的中檔題；如果問題1的立意是服務于整題核心思想的話，那么它的考查深度甚至高于問題2，以至沒有一個學生達到這樣深刻的認識.于是，本題問題1是一個“高起點”，問題2又是另一個“高起點”，這是導致整題成為一個冷冰冰的“大題目”的重要原因之一.

2.2對學生空間想像能力要求較高

那么，為什么學生在問題1中普遍采取將問題轉化為矩形的方法而沒有采用筆者上述直接研究PQ長度的方法呢？

筆者認為，后者雖然在形式上顯得直接而又自然，但卻存在著本質認識上的困難.之所以沒有一個學生采取這種方法，就是因為這種方法對學生空間想象能力要求過高.空間想像能力，是構成數學素養的重要的基礎能力之一，其實也是課程標準中“空間觀念”這一概念的核心要素.在中考中關注和考查學生的空間想象能力是必須的，但是我們要認識到，初中生的空間想象能力還處于發展初期，個體身心發展的客觀規律決定了他們的空間想象能力還處于較低的水平，這種低水平狀態的一個具體表現就是他們往往只能想象出幾何圖形或物體運動的過程，卻很難對運動變化過程中的細節與整體、動點與從動點之間的空間關系作深層把握.正是因為這一點，初中階段在發展空間觀念的教學中需要從直觀和操作出發并且經常回歸到直觀，教師們總是需要不斷借助實物、模型或多媒體演示來幫助學生分解過程，降低抽象度，這種“扶墻學步”式的教學方法被廣泛采用，不是因為我們膽子不夠大，而是出于對現實和客觀規律的尊重.

在本題中，學生需要通過對P點的運動想象，在頭腦中構建平行四邊形的運動變化過程，在此基礎上分析線段之間的不變關系，進而發現PQ與梯形一邊交點為定點或者P、Q兩點之間距離始終不變，最后將動態問題歸結到靜態問題來解決.實質上，如果學生發現P、Q兩點間距離的不變屬性，必然是對Q點跟隨P點運動變化的軌跡有了較為清晰的認識.筆者認為，這樣的求解過程，對學生空間想象能力的要求過高.事實也證明，初中生的空間想象能力的普遍水平還遠遠低于到命題人的期望水平！