以勾股圖為模型的中考試題及其變式探究

勾股定理是刻畫直角三角形三邊關系的一條重要定理，它的發現、驗證、應用蘊含著豐富的文化價值.驗證勾股定理的方法非常多，最常用的方法之一就是利用圖1所示的勾股圖.在近幾年中考中，以勾股圖為模型編擬的中考試題屢見不鮮.本文從近幾年中考試題中選取一些以勾股圖為模型編擬的中考試題，并對這些試題進行變式探究，得到一系列有趣的數學問題，以饗讀者.

1以勾股圖為模型的中考試題

如圖1，以邊長分別分a、b、c的直角三角形的三邊為邊向外作三個正方形A、B、C，其中直角三角形兩條直角邊的長分別為a、b，斜邊長為c，則SA=a2，SB=b2，SC=c2.又因為a2+b2=c2，所以三個正方形A、B、C之間的面積關系為SA+SB=SC.利用這一面積關系可方便地解決下列問題.

圖1圖2例1（2009年達州）圖2是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（ ）

A.13 B.26C.47 D.94

解析由圖1中的面積關系易知，SE=SA+SB+SC+SD=32+52+22+32=47.故選C.

點評此題以勾股圖為模型，將勾股圖變為勾股樹，設計巧妙，主要考查勾股圖中的面積關系SA+SB=SC.由此可見，勾股圖中的面積關系在解決某些問題時非常方便.其實，勾股圖與矩形、直角三角形等圖形以不同的方式組合，可得到一系列有趣的數學問題，能為學生的學習提供更多具有挑戰性和探索性的學習素材，這也許是勾股圖另一個重要的作用.

圖3圖4圖5例2（2012年寧波）勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖3是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理.圖4是由圖3放入矩形內得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（ ）