概念、法則、定理中的數學活動素材的開發

《義務教育數學課程標準》在課程總目標中要求：通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基本活動經驗.它反映了數學課程與教學改革的要求，對教師是嚴峻的挑戰，廣大教師對此高度關注，他們滿懷熱情，積極開發數學活動素材，讓學生積累數學活動經驗.廣大教師在實踐中也逐步認識到數學活動的開展可以培養學生的學習素養和良好的心理品質，可以轉變學生的學習方式，讓學生從動手操作中感悟數學思維活動、從更高層次上鞏固所學的知識，在實踐活動中培養創新意識，進而提高學生的綜合素質.然而筆者在調查中也發現雖然認識到位，但實踐中不少教師仍然采取輕過程重結論的教學方法.究其原因，主要是教師對教材中數學活動素材的開發感到困難.從而使得數學活動已成為當前初中數學課堂教學中最薄弱的環節.為此，文章著重對概念、法則、定理中的數學活動素材的開發進行闡述，以期對深化教材改革、提升數學教學質量有所助益.

1數學活動的涵義

數學活動首先是“數學”的，所從事的活動要有明確的數學目標，沒有數學目標的活動不是“數學活動”.

其次是“活動”的，蘇聯著名數學教育家斯托利亞爾認為：數學教學是數學活動的教學，也是思維活動的教學.那么包括抽象思維、數學證明、數學解題在內的整個數學教學活動都是“數學活動”，這種說法過于泛化.我理解的數學活動主要是對數學材料的具體操作和形象操作探究活動.

概念、法則、定理屬于“客觀性知識”，教學的目標，更重要的是過程的教學，必須結合具體內容讓學生在數學學習活動中去“經歷過程”，重視對數學活動經驗的積累.

2 概念、法則、定理中的數學活動素材開發的原則

概念、法則、定理中的數學活動數學活動主要是設計具有思維價值的問題鏈，引導學生進行自主參與為主的探索活動，幫助學生積累數學活動經驗，培養學生的歸納能力和創新意識.數學活動素材的開發應遵循一定的原則才能體現數學活動的教學目標與教育價值.

2.1活動素材的呈現——注意探究性與層次性

選取好的活動素材，應圍繞問題主題的展開過程.我們應盡可能地使素材呈現方式具有一定的探索性和研究性，讓學生經歷一個實踐、探索和研究的歷程；素材還要具有一定的開放度、解決問題的多樣化等；要有一定的層次性，注意不同層次學生活動方式與能力的差異，激發學生的活動興趣，這樣才能為全體學生提供深入探究和創造的機會，發展他們的鉆研精神.

2.2活動素材的展開——注重主體性與實踐性

學生是學習的主體，這一特點在數學活動中更為突出，活動實施應以問題為載體、以學生自主參與為主.它有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授.它是教師通過問題引領、學生全程參與、實踐過程相對完整的學習活動.

在教學中應突出“動”和“用”兩個字，引導學生在活動中思考，在實踐中應用.在教學活動中，給學生以探索的空間和適當的時間，讓學生用自己的思考、策略去解決問題.對探索有困難的同學，教師可以給予適當地指導，使其積極參與進來，防止學生之間產生分化.通過這樣的活動過程，更好地感受知識的價值.

2.3活動素材的選擇——呈現多樣性和靈活性

根據數學活動的特點，素材的具體內容呈現應多樣性，要采取靈活的教學模式：采用豐富的活動形式，包括觀察、實驗、操作、調查、分析、交流和總結等；素材的來源也可以是學生從活動的過程中發現新的問題，學生可以通過查閱相關的資料，尋找自己感興趣的問題提出問題；活動的主體可以是個人，也可以以小組的形式開展活動.在教學中，我們不僅關注學生獲得的結果，更關注學生解決問題的過程和情感體驗，發揮組織者、引導者、合作者的作用.

總之，數學活動素材的開發應該是開放的.組織的活動素材應使學生在學習過程中都有一定的自主性，應給各種不同意見的學生以充分表達的機會，積極拓展學生的學習空間.

3概念、法則、定理中的數學活動素材開發方法

根據以上原則，概念、法則、定理中的數學活動素材開發應注重新課程標準強調的要“關注概念、法則、定理的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶的學習方式.”

3.1利用概念的形成過程，開發概念教學中的數學活動素材

概念是數學知識體系中的基本元素，數學概念的教學與對學生概念思維能力的培養有密切的聯系.我們通過對概念形成的過程，可開發概念教學中豐富的數學活動素材.概念的活動素材一般從這幾個方面展開：（1）概念的引人（情境設計），在教學中應當從實際事例或學生已有的數學知識出發引人新的概念，這樣做符合初中生的認知規律；（2）概念的形成，這是把感性認識提高到理性認識的階段，是概念教學的中心環節；（3）深入剖析，揭示概念的本質；（4） 通過變式，突出比較，鞏固對概念的理解；（5）注重應用，加深對概念的理解，培養學生的數學能力.

比如函數概念，學生很難理解課本中給出的定義，首先選取具體事例，使學生體會函數能夠反映實際事物的變化規律.如讓學生指出下列問題中哪些是變量，變量之間的關系用什么方式表達：①火車的速度是每小時60千米，在t小時內行駛的路程是s千米；②用表格給出的某水庫的存水量與水深；③等腰三角形的頂角與一個底角；④由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻.然后讓學生反復比較，得出各例中兩個變量的本質屬性：一個變量每取一個確定的值，另一個變量也相應地唯一確定一個值.再讓學生自己舉出函數的實例，辨別真假例子，抽象、概括出函數定義，在概念教學活動中，我們應重視正例和反例教學，特別是在數學概念理解的深化階段，反例發揮著重要作用.至此學生能體會到函數“變”，但變化規律如何？我們必須揭示其本質特征，進行逐層剖析：①“存在某個變化過程”——說明變量的存在性；②“在某個變化過程中有兩個變量x和y”——說明函數是研究兩個變量之間的依存關系；③“對于x在某一范圍內的每一個確定的值”——說明變量x的取值是有范圍限制的，即允許值范圍；④“y有唯一確定的值和它對應”——說明有唯一確定的對應規律.由以上剖析可知，函數概念的本質是對應關系.最后給出練習，通過練習要深刻揭示定義的內涵和外延，提高學生的應用能力，加深對概念的理解.這樣活動素材就很豐富了.

3.2利用定理的發現過程，開發定理教學中的數學活動素材

數學定理是數學的靈魂，也是學習數學的航標，而初中階段正是學生系統學習數學定理的開始，初中數學定理是初中數學的重要教學內容，是培養學生數學推理能力、邏輯思維能力和創新意識的重要途徑.其數學活動開發和利用的途徑有：創設數學定理的發現情景，引導數學定理的描述方法，例舉數學定理的驗證手段，解讀數學定理的展示方式，提升數學定理的思想方法等.因此，在定理教學活動中，教師應該充分注重定理的發現過程，精心創設定理情景，引導學生去探索、去研究.活動過程應是一個再發現、再創造的過程.比如“三角形中位線定理”教學，教學中教師首先要引導學生置身于問題情境中，揭示知識背景，從數學家的廢紙簍里尋找探究痕跡，讓學生體驗數學家們對一個新問題是如何去研究創造的.首先教師設問：A、B兩點被建筑物隔開，怎樣知道A、B兩點之間的距離呢？這時學生會想到全等三角形、勾股定理等方法，還有別的方法嗎？學生產生認知沖突，有強烈的學習動機.然后設計三個數學活動，活動一：操作——觀察——探索，操作1：把一個等邊三角形剪成四個全等的三角形，操作2：把一個任意三角形剪拼成一個平行四邊形，操作的目的一是能出現三角形中位線，引出本節的課題；二是為證明三角形中位線性質的證明埋下伏筆.活動二：探索三角形中位線的性質，請學生動手操作，去發現中位線與第三邊的關系，然后引導學生用簡潔的文字歸納出猜想.最后要求學生動手操作，尋求證明定理的方法，驗證自己的猜想，這些系列活動既滿足了學生探求新知的欲望，獲得成功的體驗，又刺激學生進行更深入的探求.活動三：三角形中位線性質的初步應用，先讓學生嘗試練習，通過一組層次遞進的訓練，由直接給出性質的基本圖形到包含基本圖形，學生分解圖形后使用性質，再到通過添加輔助線構造基本圖形來使用性質，學生逐步學會運用性質來解決問題，在活動中學生的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高，最后設計開放性探索活動，給出的問題應是條件與結論之間無法建立直接的聯系，學生易產生思維障礙，因此教學中需要將難度分解，把問題慢慢引向三角形中位線的性質上，讓學生進一步感受轉化思想的重要性，同時要給學生充分的時間和空間思考、探索.這樣的活動不僅培養了學生應用數學知識，解決數學問題的能力，而且還培養了學生的歸納推理，猜測論證能力，親身體驗數學活動充滿著探索性、創造性和趣味性.

定理的學習，要作為一種學生積極主動獲取知識的發現定理的過程.學生通過動腦、動手、動口等活動，積極主動建構知識，從多個渠道有效得獲得數學活動經驗.

3.3利用法則的認知結構，開發法則教學中的數學活動素材

法則教學是初中數學教學的重點，如何讓學生真正理解法則，掌握法則是教學的難點.教學中如何讓學生在自己的認知結構中建構正確的運算法則顯得尤為重要.其“根”、“本”就是讓學生親歷法則的形成過程，將帶有生硬規定性的法則變成學生的自然生成，充分淡化生硬的規定痕跡.義務教育數學課程標準指出：教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎.因此，立足學生的生活經驗、數學學習經驗、已有知識水平，通過讓學生對巧妙設計的問題情境的解決，順利的促進法則的生成及學生的發展.其基本步驟可歸納為：巧設情境，活用經驗，法則生成.

比如在零指數與負整數指數法則的學習活動中，教師可創設情境，調動學生已經能夠解決的問題：組織學生計算：53÷53，a4÷a4（a≠0），33÷35，a2÷a6（a≠0）.學生用同底數冪除法法則計算，出現了零指數與負整數指數情況，這個是結果嗎？引起了認知沖突，學生迫不及待地要展開探究活動.面對新的情境、新的問題，學生需要調動自己已有的適當的經驗去同化這個新的情境與新的問題，把它與自己原有的知識形成合理和本質的聯系.法則的教學活動就是要依賴學生原有的認知結構和經驗.這時教師引導學生討論a0（a≠0），a-p（a≠0，p為正整數）應表示怎樣的結果，在這個過程中各小組派代表提出解決的方案（可以爭論）；然后在教師的幫助下學生選擇較合理的解決辦法（即零指數與負整數指數冪的法則）；這時學生可能還會產生疑問，再討論，驗證上述法則的正確性、合理性，底數的適合范圍；最后總結，零指數與負整數冪的法則.通過學生自己的觀察、思考、比較、猜想、證明等活動，發現了法則，體會到發現和解決問題的重要的方法，嘗到了探索成功的喜悅.總之，數學法則的形成應是依賴學生的已有生活經驗、數學活動經驗、已有數學知識，兩方面考慮解決問題，形成等式，觀察分析等式，歸納概括出數學法則.

開發數學概念、法則、定理教學活動中的活動素材，必須重視知識形成的過程，培養學生的動手、動腦的習慣.要徹底摒棄那種只重結果、輕視過程的教學方法，讓學生體驗知識的形成過程，從而體驗獲得成功的快樂，體驗數學活動充滿著探索與創造，讓學生從數學活動中積累數學活動的經驗.

數學活動的目的在于改變學生以單純地接受教師傳授知識為主的學習方式，構建一種有助于學生參與社會生活、主動探求、發現與體驗、獲取信息、處理信息、重視問題解決的積極的學習方式，培養學生的創新精神和實踐能力.同時改變教師的教育觀念和教學行為，使教師成為學生學習的促進者、組織者和指導者，建立新型的師生關系.要有效開發數學活動的素材，還有待于廣大同仁在實踐中進一步探索.

作者簡介：孫友權，男，江蘇泰州人，1979年9月生，中學一級教師.泰州市“311工程”培養對象.先后獲得江蘇省青年教師優質課評比一等獎、泰州市優秀班主任、高港區首屆十佳青年教師，發表10多篇論文.顧廣林，男，江蘇泰州人，1964年5月生，中學高級教師.全國杰出中小學中青年教師、全國模范教師、江蘇省特級教師.在省級以上主流刊物發表70多篇論文.主持國家級課題1項、省級課題 5項.