圓與梯形珠聯璧合

如下圖，⊙O的直徑AB=12cm，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于D，交BN于C，設AD=x，BC=y，求y與x的函數關系式，畫出它的圖像。（新人教版數學九年級上冊第123頁《圓的總復習》第14題）

點撥：輔助線靈感來源于梯形，點O為AB的中點，連接DO并延長與CB的延長線相交，構造全等三角形AOD與BOF，構造[RtΔ]COF，再用三角形相似來求解。

解法三：如下圖，連接DO、CO，過點O作BC的平行線交CD于點F.

點撥：輔助線靈感來源于圓與切線的位置關系，連接OE，可得OE⊥CD，再連接OD、OC，利用全等構造[RtΔ]OCD，再利用三角形相似來求解。

【觀察與結論】

解法一：僅作一條輔助線，應用勾股定理建立方程；

解法二：作三條輔助線，使用全等和三線合一性質，再用勾股定理列方程；

解法三：作三條輔助線，用到了梯形的中位線定理，再用勾股定理列方程；

解法四：作三條輔助線，利用角平分線和三角形相似列方程。

這四種解法中輔助線的作法各有千秋，但都是通過圖形分割構造直角三角形來解決問題。解法中運用了梯形的有關知識、圓切線的性質定理、圓切線長定理、勾股定理及方程思想。通過對該題的探究，不僅能有效地加深對梯形與圓的知識的理解，還能提高我們思維的靈活性、變通性，從形到數，完美地體現于圓與梯形的結合之中。