利用位移互等定理改進(jìn)的超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算方法

doi：10.11835/j.issn.1005-2909.2013.03.017

收稿日期：2012-10-12

作者簡介：王達(dá)詮（1977-），男，重慶大學(xué)土木工程學(xué)院講師，碩士，主要從事結(jié)構(gòu)力學(xué)研究，（E-mail）wwwdq@yeah.net。

摘要：結(jié)構(gòu)力學(xué)中，超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算常使用單位荷載法，即利用超靜定的實(shí)際位移狀態(tài)與虛擬單位力狀態(tài)相配的傳統(tǒng)方法計(jì)算位移。該方法用于計(jì)算承受復(fù)雜荷載的超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，計(jì)算工作量巨大。利用位移互等定理改進(jìn)的單位荷載法——位移互等算法，將原結(jié)構(gòu)承受的荷載作用于靜定的任一力法基本結(jié)構(gòu)上所得的狀態(tài)，與作用于原結(jié)構(gòu)的虛擬單位力狀態(tài)相配計(jì)算位移。由于荷載轉(zhuǎn)為作用在靜定基本結(jié)構(gòu)上，有效降低了計(jì)算工作量。該方法在結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)中有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，為師生提供了一種可選的新方法，豐富了結(jié)構(gòu)力學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：互等定理；位移；單位荷載法；超靜定結(jié)構(gòu)

中圖分類號(hào)：G642.0；TU311.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1005-2909（2013）03-0064-04 結(jié)構(gòu)力學(xué)中，一般采用單位荷載法計(jì)算結(jié)構(gòu)指定截面的位移，計(jì)算時(shí)需針對(duì)所求位移假設(shè)虛擬單位力狀態(tài)，從而利用虛力原理求得實(shí)際位移狀態(tài)中指定截面的位移。該方法亦可用于超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算，虛擬單位力既可以施加在原超靜定結(jié)構(gòu)（后簡稱原結(jié)構(gòu)）上，也可以施加在原結(jié)構(gòu)的任一力法基本結(jié)構(gòu)（后簡稱基本結(jié)構(gòu)）上[1-2]。后一種方法由于只需解算一次原超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，即實(shí)際位移狀態(tài)中原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，而被更廣泛地采用。例如，求解圖1（a）中的豎向位移ΔK，則虛擬單位力狀態(tài)既可選為圖1（b）所示狀態(tài)，也可選為圖1（c）所示狀態(tài)，而取后者，解算更簡單。

圖1 超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的傳統(tǒng)方法

一、位移互等算法的證明

利用圖1（a）中的結(jié)構(gòu)加以說明。如圖2（a）所示，將圖1（a）中原結(jié)構(gòu)的荷載作用于圖1（c）所示的基本結(jié)構(gòu)上，記作狀態(tài)T；再取圖1（b）的虛擬單位力狀態(tài)（重繪于圖2（b）中，記作狀態(tài)S）與之匹配，來應(yīng)用單位荷載法。現(xiàn)需證明：按這一方法求得的位移就是實(shí)際位移。

將單位化后的荷載F1（記作1）單獨(dú)作用于原結(jié)構(gòu)上，如圖2（c）所示。此時(shí)，1引起的K截面豎向位移記作δS1。根據(jù)位移互等定理，該位移應(yīng)等于狀態(tài)S中對(duì)應(yīng)F1作用方向上的位移δ1S，即δ1S=δS1。

圖2 位移互等算法的證明

為求得δ1S，應(yīng)假設(shè)虛擬單位力狀態(tài)。而求δ1S使用的廣義荷載正是1，于是可將其作用于圖1（c）所示的靜定基本結(jié)構(gòu)上，如圖2（d）所示，形成虛擬單位力狀態(tài)與狀態(tài)S相配。至此，1已轉(zhuǎn)換作用于基本結(jié)構(gòu)上，記此狀態(tài)為狀態(tài)1。

根據(jù)線彈性的物理?xiàng)l件，由F1單獨(dú)作用所引起的K截面的豎向位移ΔK1=F1δS1，再將位移互等定理代入，可得ΔK1=F1δ1S。推而廣之，對(duì)于單獨(dú)作用于原結(jié)構(gòu)的任一荷載，均可將之單位化后，作用于基本結(jié)構(gòu)上。若記相應(yīng)狀態(tài)為狀態(tài)i（i=1，2，…），可得ΔKi=FiδSi=FiδiS。

再利用疊加法，可求得K截面豎向位移為

ΔK=∑iΔKi=∑iFiδSi=∑iFiδiS，（1）

式中，F(xiàn)i表示單獨(dú)作用于原結(jié)構(gòu)上的第i個(gè)荷載；ΔKi表示Fi單獨(dú)作用于原結(jié)構(gòu)時(shí)，引起的K截面的豎向位移；δiS表示狀態(tài)S中施加于K處的單位荷載，所引起的原結(jié)構(gòu)第i個(gè)荷載作用方向上的廣義位移。

δiS的計(jì)算使用前述傳統(tǒng)的單位荷載法，對(duì)于桿件結(jié)構(gòu)，其計(jì)算公式為

δiS=∑∫iMSEI ds+∑∫NiFNSEA ds+

∑∫μQiFQSGA ds，（2）

式中，i、Ni和Qi分別代表狀態(tài)i中的彎矩、軸力和剪力；MS、FNS和FQS分別代表狀態(tài)S中的彎矩、軸力和剪力；EI、EA和GA分別代表各桿段的抗彎剛度、軸向剛度和剪切剛度；μ表示剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)；ds代表在桿段上所取的微段。式中的積分符號(hào)代表對(duì)單根段積分，而求和符號(hào)則代表對(duì)結(jié)構(gòu)中的全部桿段求和。

將式（b）代入式（a）并去單位化，再運(yùn)用積分運(yùn)算與求和運(yùn)算的加法結(jié)合律，則式（a）變?yōu)?/p>

ΔK=∑iFiδiS=∑iFi∑∫iMSEI ds+

∑∫NiFNSEA ds+∑∫μQiFQSGA ds=

∑i∑∫MiMSEI ds+∑∫FNiFNSEA ds+

∑∫μFQiFQSGA ds=∑∫MSEI∑iMi ds+

∑∫FNSEA∑iFNids +∑∫μFQSGA∑iFQids， （3）

而由疊加法可知，式（3）中的∑iMi、∑iFNi和∑iFQi正是狀態(tài)T的內(nèi)力。

式（1）表明了該方法求得的位移與傳統(tǒng)方法相等，而式（3）的得出證明了利用狀態(tài)T和狀態(tài)S相配就可求得所需的位移，至此證明完畢。

二、位移互等算法的計(jì)算步驟

第一步：選取原結(jié)構(gòu)的任一力法基本結(jié)構(gòu)，將原結(jié)構(gòu)所受荷載全部作用于此靜定結(jié)構(gòu)上，即獲得狀態(tài)T，并求出相應(yīng)內(nèi)力。

第二步：在原結(jié)構(gòu)上施加與所求位移相應(yīng)的廣義單位荷載，獲得虛擬狀態(tài)S，并求出相應(yīng)內(nèi)力。

第三步：利用單位荷載法的計(jì)算公式，求出所需位移。

三、算例

如圖3（a）所示剛架，其柱BA承受半跨均布荷載q的作用，求該柱正中截面D的水平位移ΔDH。

圖3 算例

此例為等截面直桿構(gòu)成的剛架，可不計(jì)軸向變形和剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)。位移計(jì)算時(shí)，可采用圖乘法。下面分別用傳統(tǒng)方法和位移互等算法進(jìn)行比對(duì)計(jì)算，驗(yàn)證位移互等算法的正確性。

（一）傳統(tǒng)方法

第一步：求實(shí)際狀態(tài)內(nèi)力。

利用超靜定結(jié)構(gòu)解法（如力法、位移法等），求出原結(jié)構(gòu)在荷載作用下的最終彎矩圖，如圖3（b）所示。

第二步：確定虛擬狀態(tài)，并求內(nèi)力。

選取原結(jié)構(gòu)的任一力法基本結(jié)構(gòu)，在其上施加與所求位移相應(yīng)的單位力FP=1，并求得彎矩圖，如圖3（c）所示。

第三步：利用圖乘法計(jì)算ΔDH。

ΔDH=1EI12·l2·l23·43-13·44+

23·48·l12·l2+

12·l2·l23·43-13·62ql2384=

27ql4768EI（→）

（二）位移互等算法

第一步：確定狀態(tài)T。選取原結(jié)構(gòu)的任一力法基本結(jié)構(gòu)，將所有荷載作用于此結(jié)構(gòu)上并作出彎矩圖，如圖3（d）所示。

第二步：確定虛擬狀態(tài)S。在原結(jié)構(gòu)上施加與所求位移相應(yīng)的單位力FP=1，并求得彎矩圖，如圖3（e）所示。

第三步：利用圖乘法計(jì)算ΔDH。

ΔDH=1EI23·ql28·l·129l32-l8+

12·ql22·l23·5l16-13·9l32=

27ql4768EI（→）

此例中，兩種方法的計(jì)算結(jié)果完全一致，驗(yàn)證了位移互等算法的正確性。

四、位移互等算法的優(yōu)勢(shì)

位移互等算法把對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力求解置于虛擬狀態(tài)中，這使其相對(duì)于傳統(tǒng)方法具有以下特點(diǎn)。

第一，如果原結(jié)構(gòu)承受復(fù)雜荷載作用，采用傳統(tǒng)方法，需求解復(fù)雜荷載作用下，該超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，這將帶來繁重的工作量；而采用位移互等算法，一方面內(nèi)力求解變成了簡單的靜定問題，另一方面還可以通過運(yùn)用力法基本結(jié)構(gòu)的選取技巧，進(jìn)一步降低復(fù)雜荷載帶來的內(nèi)力求解困難。

第二，用于位移求解所設(shè)的虛擬單位力狀態(tài)中，一般僅包含1個(gè)或1對(duì)廣義單位力，因此即便在此狀態(tài)中求解原超靜定結(jié)構(gòu)，也不會(huì)導(dǎo)致工作量的過多增加。

綜上，鑒于實(shí)際荷載一般比虛加廣義單位力要復(fù)雜得多，因而利用位移互等算法，將超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力解算轉(zhuǎn)移至虛擬狀態(tài)中，就可以達(dá)到降低計(jì)算工作量的目的。

五、結(jié)語

利用位移互等定理改進(jìn)的單位荷載法——位移互等算法，可將傳統(tǒng)方法中原結(jié)構(gòu)最終內(nèi)力的解算，轉(zhuǎn)化為荷載作用下靜定的力法基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力解算，并將超靜定內(nèi)力解算轉(zhuǎn)移至虛擬狀態(tài)中。在教學(xué)中，位移互等算法可作為傳統(tǒng)方法的補(bǔ)充，豐富結(jié)構(gòu)力學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容。該方法還可有效減低受復(fù)雜荷載作用的超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的工作量，在實(shí)際運(yùn)用中有著明顯意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] 蕭允徽，張來儀.結(jié)構(gòu)力學(xué)（Ⅰ）[M].1版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

[2] 李廉錕.結(jié)構(gòu)力學(xué)上冊(cè)[M].1版.北京：高等教育出版社，2004：112-150.

[3] 龍馭球，包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)教程（Ⅰ）[M].1版.武漢：高等教育出版社，2000：287-375.

An improved displacement calculation method of statically

indeterminate structures based on displacement reciprocal theorem

WANG Daquan， WEN Guozhi

（College of Civil Engineering， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China）

Abstract： The unit-load method is often used to calculate the displacement of statically indeterminate structure in structural mechanics to find the actual displacement state and the virtual unit-load state and combine both states to solve displacement. However， the enormous workload will arise when this method is used to solve the statically indeterminate structures bearing complex loads. A new unit-load method， which was improved by the displacement reciprocal theorem， put the loads acted on the original structure to any one of its force-method primary structures， and combined this state with the virtual state whose unit-load acted on the original structure to solve displacement. Since the primary structure was statically determined， the workload would be efficiently decreased. Thus， the improved method is valuable in practical application of structural mechanics teaching and provides a new option for teachers and students as an addition of the course contents.

Keywords： reciprocal theorem； displacement； unit-load method； statically indeterminate structure

（編輯 梁遠(yuǎn)華）