“一題多解、多變”練思維 “多解、多題歸一”悟本質

近年來，在初中數學教學實踐中，圍繞著培養學生的創造性思維能力問題，已作出了許多有益的探索。系統論指出：整體功能大于部分功能之和。它的啟示是：在數學教學中，如果能以某一主題為中心，注意把“一題多解”、“一題多變”、“多解歸一”、“多題歸一”等方法組成一個互相聯系互相作用的綜合整體，更有助于加深對知識的鞏固與深化，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，增強思維的靈活性、變通性和創新性。

一、一題多解，激活學生思維的發散性

一題多解，培養學生求異創新的發散性思維。通過一題多解的訓練，學生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路。

例1：有兩個完全相同的長方體恰好拼成了一個正方體，正方體的表面積是30平方厘米。如果把這兩個長方體改拼成一個大長方體，那么大長方體的表面積是多少？

【解法1】30-30÷6+30÷6×2=30-5+10=35（平方厘米）。

或：30+30÷6×（2-1）=30+5=35（平方厘米）。

【解法2】30+30÷6=30+5=35（平方厘米）。

【解法3】30÷6×（6+1）=30÷6×7=35（平方厘米）。

【評注】比較以上三種解法，解法2和解法3是本題較好的解法。

在數學解題過程中，可以通過“一題多解”訓練拓寬自己的思路，在遇到新的問題時能順利挖掘出新舊知識間的相互關系和內在聯系，培養求異思維，使自己的思維具有流暢性。

二、一題多變，激勵學生思維的變通性

一題多變，培養學生思維的應變性。把習題通過條件變換、因果變換等，使之變為更多的有價值、有新意的新問題，使更多的知識得到應用，從而獲得“一題多練”、“一題多得”的效果。

這種習題，有助于啟發引導學生分析比較其異同點，抓住問題的實質，加深對本質特征的認識，從而更好地區分事物的各種因素，形成正確的認識，進而更深刻地理解所學知識，促進和增強學生思維的深刻性。在講完等腰梯形的概念后，可通過以下幾道變式的題目進行鞏固：

1.等腰梯形的兩底長分別為3cm和7cm，高為4，則它的腰為 。

2.等腰梯形的兩底長分別為3cm和7cm，∠B=600，則它的腰為 。

3.等腰梯形的兩底長分別為3cm和7cm，AC⊥BD，則它的腰為 。

通過“一題多變”在碰到相關問題時觸類旁通，達到做一題通一類的目的，有助于使思維具有變通性。發展了邏輯思維，提高了學生分析、解答應用題的能力。

三、多解、多題歸一，激活學生思維的收斂性

多解、多題歸一，培養學生的思維聚合性。任何一個創造過程，都是發散思維和聚合思維的完美結合。而多解、多題歸一的訓練，則是培養聚合性思維的重要途徑。多數學習題，雖然題型各異，研究對象不同，但問題的實質相同，若能對這些“型異質同”或“型近質同”的問題歸類分析，抓住共同的本質特征，掌握解答此類問題的規律，就能觸類旁通，達到舉一反三、事半功倍的教學效果，從而擺脫“題海”泛舟的苦惱。

例2：拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），設拋物線的頂點為D。（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線頂點D的坐標；（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

例3：如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得ΔPDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標。

多題歸一，體會不同背景下蘊含的相同數學本質，達到以不變應多變的效果，最終讓學生形成利用二次函數解決實際問題的思路是：

（1）將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造常用輔助線，設出解析式，轉化為方程的問題）；

（2）根據條件特點，運用等腰三角形、相似三角形的判定、平行等知識進行解答；

（3）得到數學問題的答案，思考驗證后得到實際問題的答案。

碰到類似問題時不要一解了之，而要緊緊抓住相關的各個概念，進一步去考慮還能提出哪些問題，深化對概念的理解，使自己的思維更加嚴密，培養思維的概括性，達到將類似的題目歸一。

一題多解、一題多變、多解歸一、多題歸一的訓練，達到使學生鞏固與深化所學知識，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，增強思維的靈活性的目的。通過訓練，使學生達到對新知識認識的全面性；同時還要解重視反思、系統化的作用，通過反思，引導學生回顧數學結論概括的整個思維過程，檢查得失，從而加深對數學原理、通性通法的認識；通過系統化，使新知識與已有認知結構中的相關知識建立橫向聯系，并概括出帶有普遍性的規律，從而推動同化、順應的深入。這樣的教學方法有利于培養學生思維的靈活性，增強應變能力。

（作者單位：浙江省金華市南苑中學）