淺議函數(shù)與方程思想在解題中的運用

函數(shù)是集合與對應(yīng)思想的體現(xiàn)，反應(yīng)不同變量因素之間的對應(yīng)關(guān)系.從數(shù)學(xué)行為上來說屬于定性表征變量之間的從屬關(guān)系.方程的思想，就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，定量地表示各個變量之間的關(guān)系，借助數(shù)學(xué)語言將實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型.從解決方法上講，大大增加了求解問題的可操作性.通常情況下，函數(shù)關(guān)系的確立是解決問題的首要條件，而后根據(jù)不同函數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系建立抽象的定量數(shù)學(xué)模型，亦即通常所說的方程或者方程組，這樣就達(dá)到了轉(zhuǎn)換問題的目的，使得求解過程更為簡潔.

一、函數(shù)與方程思想中的基本要素分析

初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)與方程思想的掌握是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基本技能.首先必須對初中階段函數(shù)類型和性質(zhì)有較為深刻的理解，熟悉函數(shù)與方程思想解題時所涉及的基本元素.初中階段最為常見的函數(shù)包括一次函數(shù)和二次函數(shù).在實際題目中，這兩種函數(shù)的考查頻率也相對較高.因此，一次函數(shù)和二次函數(shù)的基本概念和表達(dá)式成為函數(shù)與方程思想中的首要元素.

1.函數(shù)要素分析

對函數(shù)基本表達(dá)式的理解是掌握函數(shù)與方程思想的先決條件.比如，表達(dá)式：（1）y=kx+b；（2）y=ax2+bx+c中，要使（1）成為一次函數(shù)，必須k≠0.這是對一次函數(shù)最起碼的理解.要達(dá)到熟練應(yīng)用的程度，必須進(jìn)一步挖掘該解析式中一次項系數(shù)k決定的圖像類型，結(jié)合坐標(biāo)軸構(gòu)建清晰的數(shù)學(xué)模型，（2）式成為二次函數(shù)的先決條件是a≠0.函數(shù)對應(yīng)的具體形狀曲線隨a的取值不同隨之改變.按照教材內(nèi)容中對該類函數(shù)基本概念的解釋，從圖像上構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，結(jié)合圖形能夠加深對函數(shù)知識的掌握.具體如下：（1）式中，根據(jù)k、b的正負(fù)取值可以構(gòu)建不同形狀的函數(shù)曲線；（2）式中可以根據(jù)a的正負(fù)確定二次曲線的開口方向等，合坐標(biāo)系可以得到以下圖像：

圖（a）圖（b）圖（c）圖（d）

從以上基本知識的梳理中可以看出，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是對簡單函數(shù)知識深刻理解的有效途徑，通過對關(guān)鍵系數(shù)的分類思考，可以全面掌握函數(shù)思想在解題過程中所具備的基本要素，實際題目中涉及的函數(shù)知識點往往圍繞以上關(guān)鍵系數(shù)展開.因此學(xué)會采用數(shù)學(xué)模型方法，以數(shù)形結(jié)合的方式鞏固基本知識，是熟練掌握函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).

2.方程要素分析

方程是解決問題的直接入手點，也是定量求解實際問題的必經(jīng)之路.求解題目首先要挖掘隱含條件.構(gòu)建方程的首要任務(wù)是尋找題目中的等量關(guān)系.設(shè)想在題目所給條件下，存在一個類似方程式的等式，其中包括若干未知量和已知量.能否順利應(yīng)用函數(shù)與方程思想，取決于尋找方程所需要的對等條件.任何方程的求解，可以視為是對函數(shù)值為0時的自變量方程求解.比如，一元一次方程kx+b=0可以看做是y=kx+b的函數(shù)值為0時，自變量x的表達(dá)式.方程思想的應(yīng)用在一定程度上拓寬了解題思維，使得對方程式的求解更加形象具體，某種意義上賦予了一定的數(shù)學(xué)含義，對學(xué)生來說更加具有啟發(fā)性.

二、函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用

方程與函數(shù)本身就有必然的聯(lián)系，方程可以視為是函數(shù)賦予特值后的自變量表達(dá)式.因此，方程與函數(shù)有著相同的思路和解題方法，都是通過建立相等關(guān)系，求出未知數(shù)的值.兩者結(jié)合的思想關(guān)鍵就是找出相等關(guān)系，建立變量之間的等量關(guān)系，這是輕松求解函數(shù)問題的基礎(chǔ)，可以使數(shù)學(xué)問題變得簡潔、清晰.

通常情況下，函數(shù)與方程思想的應(yīng)用涉及方程組的求解，此類題目的一般解題步驟是盡可能挖掘題目所含條件，根據(jù)上文所提到的函數(shù)和方程所具備的基本元素，限定特征方程解析式對應(yīng)的等式條件，將互相制約的各個方程聯(lián)立起來，構(gòu)建具有共解的方程組，以下實例具體說明.

【實例】一條拋物線y=-12x2+（5-m2）x+m-3與x軸有兩個交點A、B，點A在x軸的正半軸上，點B在x軸的負(fù)半軸上，且OA=OB.求m的值.

分析：A，B為兩交點且關(guān)于x軸對稱，可知該拋物線對稱軸x=-b2a為y軸，再結(jié)合特殊點位置x=0時，y>0，可輕松建立方程組求解.即

5-m2=0m-3>0聯(lián)合求解即可.該題在求解過程中首選根據(jù)拋物線特征參數(shù)，亦即對稱軸方程確定關(guān)于m的方程式，再結(jié)合拋物線定點特征，限定m的取值范圍，通過二者之間的制約關(guān)系，建立方程組求解，是典型的函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，是初中數(shù)學(xué)解題中的有效途徑.

三、結(jié)語

初中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的特征是采用運動和變化的觀點，準(zhǔn)確地把互相關(guān)聯(lián)的變量以方程（組）的形式體現(xiàn)出來，進(jìn)而分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系.函數(shù)和方程思想的基本元素是函數(shù)對應(yīng)的典型圖像特征，以及基本定義限定的特征參數(shù)的閾值范圍，最終聯(lián)合分析關(guān)聯(lián)方程，從而增加了數(shù)學(xué)問題的可操作性.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）