幾何直觀，運算概念教學的有效通道

一、幾何直觀有利于運算概念的引入

“數與代數”領域中的運算概念，呈現線性的教學結構體系，根據同一領域內容的先后順序縱向展開。如果把這塊知識和“圖形與幾何”領域的內容結合，就能使知識點的學習環環相扣，形成一個網狀的知識結構，而兩者的結合點，就是利用幾何直觀對應形與數，使學生在理解形與數的關聯的基礎上，有效建構運算概念。

在教學乘法分配律后，我們總會遭遇學生運算錯誤的情況，主要形式有：①“（a×b）×c”與“（a+b）×c”混淆；②“（a+b）×c”演算成“a+b×c”。出現困難的學生往往只建立了運算概念的表象，并沒有將其本質納入自身的知識結構中。在課堂上，如果僅僅只讓學生經歷從“數”到“數”，從“算”到“算”的乘法分配律建構過程，只讓學生用“數”表征“數”，用“算”表征“算”，那么他們對乘法分配律的理解就會停留在識記與模仿的層面上。這既給學生帶來記憶負擔，又導致學生在多種運算律學習齊全后，胡亂應用。

那么，用什么來表征乘法分配律，以什么來引入乘法分配律的建構呢？在學生的學習過程中，數與形一方面分別以不同的方式存在于各自的領域；一方面卻又緊密相連。就像長方形的周長就與乘法分配律相連。學生在三年級時已經學習了長方形的周長，是否可以利用長方形周長的計算經驗與直觀的線段圖來引出抽象的乘法分配律？筆者進行了嘗試，收到了意想不到的效果。

1. 以形引數，以數表形。

師：用兩種方法求出圖1的周長。

生：5×2+3×2=16，（5+3）×2=16。（從形到數，是抽象概括）

師：指一指，式子中每一步運算表示的是圖上的哪一部分？[“指一指”是從數到形，發現每一步運算代表的直觀意義，借助直觀理解（5+3）×2=5×2+3×2]

2. 借助直觀理解乘法分配律的基本模型。

教師改變數據：現在，你還能算這個長方形（圖2）的周長嗎？

生：（長+寬）×2。長×2+寬×2。

師：左邊乘了一個2，右邊乘了兩個2，怎么左右會相等？（長+寬）×2=長+寬×2看起來更合理。

生：不是的。（長+寬）×2，是長方形一條長與一條寬先合起來，然后有這樣的兩份。長+寬×2只有一條長兩條寬，變成一個殘疾長方形了。長×2+寬×2是兩條長，兩條寬，還是這個長方形。

師：你們能把自己的意思畫出來嗎？

學生原本對乘法分配律中數的變化并不在意，對這個“2”也不關注，他們很清楚用兩種方法求出的周長肯定相等，可現在他們就不得不把所有的注意力都集中到式子中唯一的數字“2”上。他們經歷了剛才的“指一指”，對每一步運算代表的直觀意義有了清晰的解讀，因此能很快畫出直觀圖表示（長+寬）×2、長+寬×2、長×2+寬×2所代表的意義。在這個過程中，學生自己利用直觀形象予以解釋，對乘法分配律的基本模型有更深刻的理解，無形中減少類似（5+3）×2=5+3×2的錯誤的出現率。

師（將圖形變化，如圖3所示）：當長方形的長和寬變成a和b，周長怎樣算？

生：（a+b）×2，a×2+b×2。

師：a和b可以是幾？你能舉例嗎？

師：觀察，這些式子里，誰總是不變呢？

生：“2”，沒有變。

師：那如果“2”也變了，比如說變成了3，兩個式子還會相等嗎？請舉例，并用作圖的方式證明你的看法。（個別學生板演，如圖5所示）

生：（a+b）×3=a×3+b×3。

師：既然這個2也可以變，可以是3，可以是4……那我們可以用一個怎樣的式子加以概括？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：觀察一下你們畫的圖形，a和b有什么特點？

生：a和b兩種線段一樣多。

師：當a和b數量相等時，我們總能得到這樣的兩個相等的式子嗎？當a和b都有10份？（a+b）×10=a×10+b×10。

師：誰自己來舉例？

生：當a和b都有99份時，（a+b）×99=a×99+b×99。

師：能看圖說嗎？

生：（5+12）×3=5×3+12×3。

師：（5+12）×3，從圖6上怎么看？5×3+12×3又是怎么看？

師：為什么（a+b）×c=a×c+b×c？大家都能理解。但這（a+b）×c=a×c+b×c，還表示著一種運算律，叫做乘法分配律。

在這一系列寫、說、畫之后，學生自然地發現，當a和b數量相等時，我們總可以寫出這樣的兩個相等式子。借助幾何直觀一步一步提取了基本模型，提取后再從數到形用幾何直觀加以表征，式與形也就結合起來共同納入學生的認知系統。在數與形獨立、對應的基礎上，讓兩者承接內聯，相互作用、影響，便于學生更深刻地理解知識，更全面地揭示知識的本質。

二、幾何直觀有利于運算規律的應用

在小學運算概念中，主要有積變化的規律和商不變的規律。積變化規律一課的教學目標是讓學生探索因數變化引起積的變化規律，感受發現數學中的規律。

教材以兩組乘法算式為載體，試圖引導學生通過觀察、口算、計算、說理、交流等活動，歸納出積的變化規律，并會用數學語言描述這個規律，感悟函數的思想方法。因此，在教學中，大多是從口算引入，然后舉例驗證，最后應用。但我們發現，學生經過觀察、歸納看似比較順利地歸納出積的變化規律后，在實際應用的時候，卻出現了這樣的問題。

例題1：

習題中，第二個因數依次擴大到原數的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍，學生做題的正確率較高。可一旦將算式順序打亂，將題目重新排列，錯誤率卻大幅攀升。而當學生遇到下題時，僅個別學生是自發運用積的變化規律去計算的。

例題2：

這說明學生從探究到應用所使用的材料都是以組為單位并按一定規律排列的乘法算式，學生易于發現規律，導致其對規律沒有學習的需求。而且從數到數，他們只看到積的0一個個多起來了，卻沒有深刻領悟0因誰而多起來，為什么多起來，也無法將其與圖形幾何自發關聯。很多學生并不具備靈活應用積的變化規律的能力。

積的變化規律是小學階段第一次概括運算規律，并應用規律。教師應注意在歸納和應用的過程中讓學生經歷一個從直觀到抽象的過程，讓形成為數的支撐。讓學生經歷因自發需要探究規律、運用規律的過程，讓探究需要成為規律歸納與應用的動力，使學生能將規律靈活應用于解決實際問題。

第一步，計算中渴求規律。呈現多個長方形，無序擺放，讓學生求出它們的面積（如圖8所示）。

給出的數據需要筆算，而又要連續進行四次計算，學生自然會感到很麻煩。教師加以引導：“看誰動作快，一邊算，可以一邊觀察哦！發現了數學的秘密，你就不會覺得計算麻煩了。”當有個別學生發現秘密后，強烈地刺激了剩下的學生。此時，應允許同桌交流，擴大規律的探究面。

第二步，結合幾何直觀描述規律。讓學生上來匯報他們的發現與思考。在學生回答時，教師緊扣“誰變了，誰不變，誰跟著變？”將式子中的數與圖中的數據對應，從數的變化推論圖形面積的變化，又用圖形形狀和面積的變化來直觀地體現式子中數的變化。在學生描述發現的過程中，將圖8變成圖9，使學生認識到一條邊的長度不變，另一條邊擴大幾倍，面積也擴大相應的倍數。

借助形的支撐，學生很快歸納出一個因數不變，另一個因數擴大幾倍，積也擴大相應的倍數這一運算規律。

第三步，以形表數，靈活應用。教師提出問題：“看到120×23，你想到了什么樣的圖形？”學生在數與形的轉換中完全掌握規律，隨后做變化題（例題2）。

對比544÷8×24與544×（24÷8），在計算上544×（24÷8）優勢明顯，凸顯運用規律的便捷性。方法不同，僅僅是解決問題策略多樣化，并未能為運算規律的應用提供助力。

在小學數學運算概念教學中，如果能充分挖掘運算概念中幾何內涵，優化幾何直觀教學行為，打通數與形之間的通道，必將會使學生更深刻地理解運算概念，更全面地揭示概念的本質，學習也必將更為直觀和更具數學味。

（作者單位：浙江省奉化市實驗小學浙江省奉化市教師進修學校）