例談平面幾何教學案例設計

歷次數(shù)學課程改革中，爭議最大的往往是平面幾何的改革.我國最近一次數(shù)學課程改革中，將原來初中教材中比較難的平面幾何內容放到高中選修課中，[1，2]高考數(shù)學試題中重現(xiàn)了平面幾何的考題，由于是選做題，大多數(shù)學校并沒有將其納入課堂教學當中，從考試情況來看，平面幾何題目相對容易而得分率很低.教師普遍認為，現(xiàn)在的中學生，幾何論證能力比之以往下滑嚴重.

著名數(shù)學家李大潛指出：“培養(yǎng)邏輯推理能力這一重要的數(shù)學素養(yǎng)，最有效的手段是學習平面幾何，學習平面幾何自然要學一些定理，但主要是訓練思維，為此必須要學習嚴格的證明和推理.”^[3] 古今中外的不少科學家，正是因為通過平面幾何的學習才喜歡上數(shù)學，進而走向數(shù)學或科學研究的道路的.平面幾何對于培養(yǎng)學生推理論證能力、邏輯思維能力、直覺思維能力、想象能力等，激發(fā)數(shù)學學習興趣都具有不可替代的作用.

在此，我們暫且不談平面幾何如何改革，這個話題太大.我們從幾個方面探討如何設計平面幾何教學案例，不是針對新授課，而是針對復習課、課題學習和課后拓展.設計意圖不完全針對考試，而是點燃學生數(shù)學學習熱情，培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)新思維.

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采用問題串設計教學案例

圍繞一兩個主題，設計問題串，采用從點到面，由此及彼，從特殊到一般，歸納出相應結論.當然，平面幾何學習過程中，也有很多知識的習得是由一般到特殊，例如，先研究平行四邊形，再研究特殊平行四邊形，也可以類似設計問題串.

案例1：幾何圖形的內角和與外角和

1-1. 求三角形的內角和與外角和；

1-2. 求凸四邊形的內角和與外角和；

1-3. 求凸五邊形的內角和與外角和；

1-4. 求凸n邊形的內角和與外角和；

1-5. 總結出幾何圖形的內角和與外角和的一般規(guī)律；

1-6. 能定義圓周的幾何圖形的內角和與外角和嗎？

設計背景與目的：

1980年，世界著名數(shù)學家陳省身教授在北京大學的一次講學中說：“人們常說，三角形內角和等于180°，這是不對的！”接著，他解釋道：“說三角形內角和等于180°不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應該說三角形外角和等于360°.” ^[4] 凸n邊形的外角和等同于某個物體在凸n邊形邊上逆時針行走一周角度的改變量，其值恰為常數(shù)360°.相對而言，外角和才反映了事物變化中的不變，更為本質和一般.

設計本案例，旨在培養(yǎng)學生由特殊到一般的數(shù)學思維方法，變化中的不變量思維方法，換個角度看問題的轉換思想.

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采用專題形式設計教學案例

平面幾何教學中，我們往往采用專題的形式進行小結、復習、拓展.例如，線段相等、直線平行、四點共圓、三線共點、三點共線等都可以作為一個專題.圍繞一兩個專題，將不同知識、多種方法集結，目的是培養(yǎng)學生融會貫通、舉一反三的遷移能力.

案例2：三線共點與三點共線問題

2-1. 三角形的三條角平分線交于一點；

2-2. 三角形的三條高交于一點；

2-3. 三角形的三條中線交于一點；

2-4. 三角形的三條中垂線交于一點；

2-5. （歐拉定理）三角形的外心、重心、垂心三點共線，且外心與重心的距離等于重心與垂心距離的一半.

2-6.（塞瓦定理）如圖1，設X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于一點的充要條件是

設計背景與目的：

三角形的三條高、中線、中垂線、角平分線分別交于一點，而且三角形的外心、重心、垂心三點共線，體現(xiàn)了幾何圖形的對稱性、和諧性、優(yōu)美性和奇異性.學生在學習這些知識的過程中，一定會得到數(shù)學美的熏陶，激發(fā)強烈的學習興趣，進而探究它們?yōu)槭裁磿挥谝稽c，又為什么外心、重心、垂心三點共線.這些問題的共同之處就是三線共點或三點共線，平面幾何中有大量的此類問題，下面給出的一種證明方法要利用面積作為工具，證法簡單、優(yōu)美.

設計本案例，旨在讓學生欣賞到數(shù)學美，培養(yǎng)推理論證能力.

[TPysx-1.tif，BP][TS（][JZ][HTK]圖1 圖2[TS）]

2-5的證明：

證明：如圖2，作直徑BK，取BC中點M，連接OM、CK、AK，則∠KCB=∠KAB=90°，從而KC∥AH，KA∥CH四邊形CKAH是平行四邊形AH=CK=2MO.

由OM∥AH，且AH=2OM，設中線AM與OH交于點G，則△GOM∽△GHA，故得MG∶GA=1∶2，從而G為△ABC的重心.且GH=2GO.

2-6的證明：

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采用核心知識設計教學案例

核心知識具有統(tǒng)領作用，能夠把各個知識有機串聯(lián)起來.在中學數(shù)學中，函數(shù)、方程、不等式等就扮演著這樣的角色.在平面幾何中，長度、角度、面積、體積等都可以作為核心知識看待.我們可以圍繞著某個核心知識，從知識和方法的角度設計系列題組或問題，使學生能夠綱舉目張，掌握核心知識，領會方法要領.

案例3：面積——平面幾何的利器

3-1. 能利用面積來表示平行嗎？

3-2. P是△ABC中∠A的平分線上任意一點，過C作CE∥PB，交AB延長線于點E，過B作BF∥PC，交AC延長線于點F.求證：BE=CF.

3-3.（共邊定理）設直線AB與PQ交于點M，則

設計背景與目的：

根據(jù)古希臘學者希羅多德的研究，古埃及幾何學產生于尼羅河泛濫后土地的重新丈量，通過測量來確定損失地段的確切面積.從一開始，面積就成為幾何學的核心概念，同時面積法是解決許多幾何問題的有力武器.我國現(xiàn)代著名數(shù)學家張景中院士從面積出發(fā)所創(chuàng)立的消點法為幾何定理可讀證明發(fā)揮了關鍵作用，為面積這一核心概念譜寫了新的篇章.

設計本案例，旨在讓學生認識到面積概念在平面幾何中的重要性，欣賞到數(shù)學的簡潔美，培養(yǎng)推理論證能力，體會數(shù)學學科與計算機科學的交叉融合，進行愛國主義教育.

[TPysx-2.tif，Y][TS（][JZ][HTK]圖3[TS）]

3-2的證明：

證明：如圖3，連結PE、PF，由BF∥PC有S△PCF=S△PBC.又因為CE∥PB有S△PBE=S△PBC.所以S△PCF=S△PBE.而P是∠A的平分線上一點，則P點到BE及CF的距離相等，即△PCF的CF邊上的高等于△PBE的BE邊上的高，從而BE=CF.

3-4的證明：

證明：由共邊定理得

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通過引申拓展設計教學案例

歐幾里德平面幾何為幾何學的學習和研究奠定了基礎，在此基礎上，結合數(shù)學其他學科知識和思想方法，派生和發(fā)展了射影幾何，球面幾何，微分幾何、分形幾何，代數(shù)幾何等等學科.鑒于知識儲備的不足和課時的限制，我們不可能過多涉足這些學科領域，當然，如果選取適當?shù)乃夭模捎们‘數(shù)姆绞剑覀円部梢韵驅W生引申拓展平面幾何內容與方法，激發(fā)學生幾何學習興趣.

案例4：幾何圖形的平移和旋轉

4-1. 如圖4，點C是線段AB上一點，△ACD和△BCE是兩個等邊三角形，點D、E在AB同旁，AE、BD分別交CD、CE于G、H.求證：GH∥AB.

[TPysx-3.tif，BP][TS（][JZ][HTK]圖4 圖5[TS）]

4-2. 如圖5，在等邊△ABC內任取一點P，連接PA、PB、PC，求證：以PA、PB、PC為邊可以構成一個三角形.

4-3. 已知六邊形AC1BA1CB1中， AC1=AB1，BC1=BA1，CA1=CB1，

∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，求證：△ABC的面積是六邊形AC1BA1CB1面積的一半.

4-4. （蝴蝶定理）AB是⊙O的一條弦，M為AB中點，CD，EF為過M的任意弦，CF，DE分別交AB于P，Q.求證：PM=MQ.

設計背景與目的： 1872年，德國數(shù)學家克萊因在題為《近代幾何研究的比較評述》的演講中，首次用變換的觀點來看待幾何.他認為，每種幾何都由變換群所刻畫，并且每種幾何所要做的事情就是在這個變換群下考慮其不變量.^[7]克萊因的觀點對數(shù)學教育產生了重大影響.許多國家都強調用近代數(shù)學觀點來改造傳統(tǒng)的中學數(shù)學內容.在我國《全日制義務教育數(shù)學《標準》（實驗稿）》也滲透了幾何變換思想，但是力度不是太大.

設計本案例，旨在進一步滲透幾何變換思想，培養(yǎng)學生秉持變化中的不變量思維方法，換個角度看問題的轉換思想.

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利用數(shù)學史料設計教學案例

古今中外的幾何知識的發(fā)展，為我們留下了許多寶貴的文化精神財富.我們看到幾何概念的提出，幾何知識的形成有著某種順其自然的規(guī)律，而不是遙不可及的天外來物.幾何研究者留下的美妙定理和佳話，一直為后來者津津樂道.我們不妨在幾何歷史發(fā)展的長河中攫取一朵朵奇葩，一定會成為學生的一道豐盛的大餐.

案例5：勾股定理的證明

5-1. 勾股定理敘述.

5-2. 勾股定理的歷史.

5-3. 勾股定理證法欣賞.

5-4. 勾股定理應用舉例.

5-4. 勾股數(shù)與費馬定理介紹.

設計背景與目的：

勾股定理：直角三角形兩直角邊上正方形面積的和等于斜邊上正方形的面積.中國古代稱直角三角形的直角邊為勾和股，斜邊為弦，故此定理稱為勾股定理.這個定理在中國古代和西方早已被發(fā)現(xiàn).數(shù)學史上普遍認為最先證明這個定理的是畢達哥拉斯，因此該定理也稱為畢達哥拉斯定理.在中國，最早是三國時代東吳趙爽在注《周髀算經(jīng)》時，用弦圖證明了這個定理.^[8]兩千多年來，勾股定理由于其優(yōu)美性和重要性，吸引了眾多人進行研究，對它的證明已達數(shù)百種之多.

設計本案例，旨在讓學生接受數(shù)學史、數(shù)學文化的熏陶，培養(yǎng)學生一題多解的發(fā)散性思維.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.7.

[2]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）[M].北京： 人民教育出版社，2003.4

[3]李大潛.在上海市中小學教學改革研討會的發(fā)言[J].數(shù)學教學，2003，（1）：6-10.

[4]張景中.數(shù)學家的眼光[M].北京：中國少年兒童出版社，2002.1.

[5]張景中.新概念幾何[M].北京：中國少年兒童出版社，2002.1.

[6]張景中.計算機這樣解幾何題[M].廣州：暨南大學出版社，2000.5.

[7]沈文選.平面幾何證明方法全書[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學大學出版社，2005.9.

[8]李文林.數(shù)學史教程[M].北京：高等教育出版社，2000.8.