“兩位數加兩位數進位加法”教學探索

【關鍵詞】兩位數 進位加法 數學模型

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）03A-

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數學建模是建立數學模型并用它解決問題這一過程的簡稱，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用。筆者以《兩位數加兩位數進位加法》一課教學為例，談談如何在低年級計算教學中建構數學模型。

一、數形結合，展露“1”

【片段一】師：你能猜出“34 + 16”的結果是多少嗎？

生1：是“50”，我是這樣想的“34加6”得“40”，“40再加10”就得“50”。

生2：我也算得“50”。我用“30加10”得到“40”，“4加6”得“10”，然后合起來也是“50”。

師：有什么好辦法能證明這個結果是對的呢？

生1：擺小棒、撥計數器試試。

生2：列豎式再算一遍。

師：這些方法都不錯，我們先來擺小棒試試。如果用小棒表示“34加16”，怎樣擺比較合適呢？先和同桌商量好后再操作。

生：我先擺3捆和4根，再擺1捆和6根，4根加6根是10根，10根可以再捆成1捆。這樣就一共有了5捆，也就是“50”。

師：擺放的位置有什么要求呢？

生：捆對捆，根對根，就像這樣（如圖）。

師：你這樣擺有什么好處？

生：看得清楚、明白。

師：4根和6根合成1捆后，這一捆你們覺得位置該放在哪兒最合適？

生1：不清楚，隨便放吧。

生2：就在后面吧。

生3：也可以擺在下面吧。

師：能說明理由嗎？

生3：前面都是整捆的，這樣對齊好看。

師：你說的意思是這樣的嗎？（出示圖片）

【反思】在一些觀摩課中我們可以看到，很多教師在執教這段內容時常常按教材要求“先用小棒擺一擺或用計數器撥一撥，再想想用豎式怎樣計算”，為學生準備多樣的學具，以小組合作的形式讓學生自由選擇學具隨意操作，然后全班匯報總結各種操作方法。然而，基于低年級學生好動、好玩的特點，他們一會兒擺小棒、一會兒撥算珠，再來寫豎式，試圖將所有方法都擺弄一次，導致自由操作過程出現淺嘗輒止的問題。學生由于缺乏深入的思考，知識的獲得多數來自直接的信息傳遞。

數學家康托爾說：“數學的本質在于思考的充分自由。”沒有數學思考就沒有真正意義的數學學習。上述案例中，教者要求學生只選用擺小棒這一種學具，重點突出“如何擺小棒，如何移一捆的小棒”。“擺小棒”使學生從現實生活的具體情境中抽象出數學問題（即現實問題數學化），由現實問題經過簡化抽象后建立數學模型。在數形結合中培養學生具有數學“簡化”的潛意識，這恰恰是數學建模的第一步。例如，“怎樣用小棒擺34與16比較合適呢？”不僅給學生創造了積累活動經驗的寶貴機會，更重要的是讓學生借助直觀活動，“捆與捆對齊，根與根對齊”，滲透數位對齊的思想方法，在無形中經歷了縝密思考過程。再如，“4根和6根合成1捆后，這一捆你們覺得位置該放在哪兒最合適？”這一問題的探討，讓學生自主地去討論、思索，使學習過程更多地成為學生發現問題、研究問題、解決問題的過程，也讓學生較好地理解了兩位數加法中“滿十進一”背后的道理。

二、位值體驗，領會“1”

【片段二】師：通過擺小棒我們很快得到了正確結果是“50”，借助計數器你怎么驗證？

生1：我先在十位上撥3個珠子、個位上拔4個珠子，這樣就是“34”。如何“加16”，就在十位上撥1個珠子、個位上撥6個珠子。

師：個位上的10個

珠子就不動啦？就像屏

幕上的圖示，這時怎么讀？

生1：這樣數就不怎么好讀，四個10，十個1。

生2：不行，一定要把個位上10個珠子向前進一位。

師：不進位行嗎？

生：不行，一定要“滿十進一”。

師：怎么撥？

生：把個位上的10個珠子去掉，在十位上再撥一個。

師：10個珠子就換1個珠子呀？

生：因為它們的位置不同，“1”在十位上哦，是1個十。

【反思】計數器上的算珠能清楚顯示數位，讓學生在計數器上撥算珠比擺小棒而言更容易過渡到豎式計算。學生在撥珠說數的過程中，由最初抽象的幾何圖形到現在的數學表達式，恰恰體驗了數學模型的建構過程。

首先，學生要在計數器上定好數位，然后再撥上“36”，還要思考“加16”該怎樣在計數器上表示出來。緊接著“這時怎么讀？”這一問題的提出，將學生的思維由矛盾沖突又一次引向深入。隨后計數器個位與十位上珠數的變化過程，讓學生在珠、數連結中體現“滿十進一”迫切需要。這樣教學不僅可以讓學生直觀地看到“10個一”是“1個十”，“10個十”是“一個百”，還擴展到“哪一位上相加滿十，都要向它的前一位進1”，從而形成了“滿十進一”整數加法的數學模型。

建構主義認為：“學習是學生以原有的知識經驗為基礎的主動建構知識的過程。”可以看出，這種基于經驗的對進位加法算式的理解，有效地幫助學生直觀體會數位的意義，主動建構“位值制”，既是進一步探索筆算方法的邏輯前提，也是連結相關教學段落的核心知識，培養了學生的建模意識。

三、算法嘗試，變臉“1”

【片段三】師：用豎式該怎樣表示呢？

生1：我是這樣想的，十位上“3加1等于4”，就是“40”，個位上的“6加4等于10”，這個“10”我把它放在心里，“40加10就等于50”。

生2：個位“4加6得10”，“十位3加1得4”，“10和4”合起來就是“410”。

師：你想的“410”其實是多少呢？

生：“50”呀。

師：應該用“40加10”才得到“50”哦。這個“1”可以寫在哪兒呢？

（學生改寫豎式）

生1：我覺得“1”一定要和十位上的數對齊哦。

師：這個“1”與原來的數要有點區別，我們要讓它像“孫悟空72變”那樣變！變！變！你們覺得變得大好還是變小好呢？

生1：我覺得大比較明顯。

生2：太大就和數字一樣，分不清。

生3：還是小的好，寫起來方便。

師：放在哪兒合適呢？

生1：放在十位上。

生2：放在橫線上面吧。

師：說的有道理，書上表示的方法和你們想的一樣嗎？（學生閱讀書本，驗證自己的想法）

【反思】通過擺小棒與撥珠的實踐活動，學生已經深刻理解“滿十進一”的計算原理。然而，由于首次接觸進位加法的豎式寫法，進位的“1”寫在哪兒，怎么寫，為什么這樣寫等問題，學生在頭腦中還未形成深刻的概念。案例中將“1”的寫法拋給學生，“是變大還是變小”這一簡單的問話引發學生在觀察、猜測、實驗、推理與交流等數學活動中，逐步形成對豎式計算格式的需要和建構，感悟豎式計算所特有的數學思維方式，引發學生對進位加法計算道理的深刻理解。

數學建模的本質在于它更突出地表現了原始問題的分析、假設、抽象的數學加工過程。以上案例顯示，學生在經歷數學化過程中，將現實問題（擺小棒）抽象成數學問題（滿十進一），再結合算珠建立數學模型、通過（變大變小）修正數學模型并再建立數學模型。為此，教學中要基于學生特點，合理設計問題促進學生的數學理解，引導學生逐漸體會建構數學模型的優勢，學會建構簡單的數學模型。

（責編 黎雪娟）