例談解題思路的尋找

在考試中，經常看到同學們對所謂的“難題”無法下筆解答，實在感到非常遺憾！其實這些題并不難，而且還是常規的，真正的難點是同學們不能“準確”尋找到解題的入口.所以，如何撩撥掉入口的“遮蓋物”就成為了關鍵.下面，通過對教學實踐中同學們比較難找到解題入口的兩道題的解題思路分析，來舉例說明如何尋找解題思路.

題目1. 如果不等式■>（a-1）x的解集為A，且A？哿{x|0

思路1：因為A是不等式的解，所以我們可以從解不等式入手，但首先必須保證不等式左邊有意義，即必須4x-x2≥0，得0≤x≤4.

①當a-1<0，即a<1時，不等式對0≤x≤4恒成立，所以不等式的解集為A={x|0≤x≤4}，不滿足題意；

②當a-1=0，即a=1時，不等式對0

③當a-1>0，即a>1時，不等式可等價轉化為0≤x≤4，4x-x2>（a-1）2x2，則0

綜上所述，a≥0.

評注：該解法應該是同學們最容易想到的方法，但在實際解題中常會因為對解的情況討論的不完備而出錯；最典型的錯誤是不加分類討論就兩邊平方求解，從而得a≥2，或a≤0.

思路2：注意到不等式可以理解為函數y=■的圖像（以（2，0）為圓心，2為半徑的x軸上方的半圓）在x∈（0，2）上全部或部分在函數y=（a-1）x的圖像的上方.作出兩函數圖像如圖1所示，直線l應繞原點逆時針旋轉逐漸接近y軸正半軸（即l1型直線），故得斜率關系a-1≥1，即a≥2.

評注：該解法的思想來源于解方程的題型這里進行了合理的類比遷移運用，但在解題時同學們常會弄錯旋轉的方向，認為是順時針旋轉（即l2型直線），其實，這樣的話原題中條件A？哿{x|0（a-1）x在{x|0

思路3： 如思路2評注后半部分，原問題實際上等價于不等式■>（a-1）x在{x|0

評注：該解法的思維含量比較高，要求同學們有較強的問題分析能力和綜合能力.

題目2. 設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a5=-3，S10=-40.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若數列{ab■}為等比數列，且b1=5，b2=8.令cn=

■，若對任意的n∈N？鄢，有cn≥ck成立，求正整數k的值.

解析：第（1）問用基本量思想就可以求得an=7-2n；第（2）問，由ab■=a5=-3，ab■=a8=-9，得ab■=-3·3n-1=-3n，所以7-2ab■=-3n，故cn=■=37-2n·（7-2n）.因為對任意的n∈N？鄢，有cn≥ck成立，由恒成立問題知（cn）min≥ck，又因為（cn）min就是數列{cn}中的項，所以（cn）min=ck，即原問題就是求數列{cn}中的最小項是第幾項.按照不同的理解，就可以有以下三個思路：

思路1：由cn=37-2n·（7-2n），知c1>0，c2>0，c3>0，c4<0，c5<0，…由此可以猜測第四項是最小項，故只要說明從第四項開始，數列{cn}是遞增數列.而當n≥4時，cn+1-cn=35-2n·（5-2n）-37-2n·（7-2n）=35-2n·（16n-58）>0恒成立，即數列{cn}是從第四項開始的遞增數列，且各項值為負，從而知k=4.

思路2：因為問題就是求數列{cn}中哪一項是最小的項，故可以用不等式組的方法求解.由ck≤ck-1，ck≤ck+1，即37-2k·（7-2k）≤39-2k·（9-2k），37-2k·（7-2k）≤35-2k·（5-2k），化簡得■≤k≤■，又因為k∈N，所以k=4.

思路3：因為數列也是函數，所以可以用求解函數最值的方法來解決.對通項求導得cn′=（37-2n）′·（7-2n）+37-2n·（7-2n）′=37-2nln3·（-2）·（7-2n）+37-2n（-2）=2·37-2n[（2n-7）ln3-1]，令cn′=0，解得n=■，所以cn在（0，■）遞減，（■，+∞）遞增，則知c1>c2>c3>0，c4

條條道路通羅馬，一個數學問題的解法往往也會有多種，這多個方法如何來想到，需要同學們聯系平時學習、復習中的相關常見知識點及題型的常見解法；另一方面，在這多種解法中，同學們一定要有選擇的理解，重點掌握“貼近”同學們的解法（如上述兩題中解法就是按照“貼近”同學們的程度排列的），因為“貼近”同學們的，才能使同學們“既聽得懂，課后自己又會做”.

（作者單位：浙江省紹興縣越崎中學 ）

責任編校 徐國堅