2013年高考廣東理科數學模擬試題

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 設全集U={ 1，2，3，4，5}，集合A={ 3，5}，B={y│y =log2（x-1），x∈A}則集合（C∪A）∩（C∪B）=（ ）

A.{4，5，2} B.{ 4，5}

C.{2，4，5} D.{4}

2. 若將負數■表示為a+bi（a，b∈R，i是虛數單位）的形式，則a+b等于（ ）

A. 0 B. 1 C. -1 D. 2

3. 設？琢 和？茁是兩個不重合的平面，給出下列命題：

①若？琢內兩條相交直線分別平行于？茁內的兩條直線 ，則？琢∥？茁；

②若？琢外一條直線l與？琢內一條直線平行，則l∥？琢；

③設？琢∩？茁=l，若？琢內有一條直線垂直于l，則？琢⊥？茁；

④直線l⊥？琢的充要條件是l與？琢內的兩條直線垂直.

上面的命題中，真命題的序號是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④

4. 函數y=cos（■-x）cos（？仔+x）+■cos2x-■圖像的一條對稱軸為（ ）

A. x=■ B. x=■ C. x=■ D. x=■

5.如果正數a，b，c，d滿足a+b=cd=4，那么（ ）

A. ab≤c+d且等號成立時a，b，c，d的取值唯一

B. ab≥c+d且等號成立時a，b，c，d的取值唯一

C. ab≤c+d且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一

D. ab≥c+d且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一

6. 運行如圖所示的程序框圖，若輸出的m的值為16，則判斷框中應填的語句是（ ）

A. n>5 B. n≤5 C. n>6 D. n≤6

7. n=10是（■+■）n的展開式中存在常數項的（ ）

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件

C. 充要條件

D. 既不充分也不必要條件

8. 如右圖，它的第一行是首項為1，公差為3的等差數列，第一列與第一行完全相同，以后各行均成等差數列.記第i行第j列的數為Aij，對任意正整數為Aij，必有正整數C使得Aij+C為合數（合數的定義是：合數是除了1和它本身還能被其他的正整數整除的正整數，除2之外的偶數都是合數），則這樣的C可以是（ ）

A. 20 B. 11 C. 8 D. 4

二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.

（一）必做題（9～13題）

9. 已知直線y=kx是函數f（x）=x3+2的切線，則k

的值為________________.

10. 函數f（x）=x2-x+■，x≥02x+1，x<0則f（a）=■，則實數a的值為________________.

11. 在某次考試中，學號為i（i=1，2，3，4）的同學的考試成績f（i）∈{85，87，88，90，93，94}，

f（1）

12. 在約束條件x≥0，y≥0，x+y≤s，y+2x≤4下，當3≤s≤4時，目標函數z=3x+2y的最大值的變化范圍是 ________________.

13. 如下圖在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的M、N，若■=m■，■=n■，則mn的最大值為________________.

二、選做題（14—15題，考生只能從中選做一題）

14.（坐標系與參數方程選做題）.已知直線3？籽cos？茲+4？籽sin？茲+a=0與曲線x=1+cos？茲，y=sin？茲（？茲為參數）有且僅有一個公共點，則正實數a的值為________________.

15.（幾何證明選講選做題）如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，延長AB和DC相交于點P.若■=■，■=■，則■的值為________________.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分13分）在△ABC中，內角A，B，C對邊分別是a，b，c，已知c=1，C=■.

（1）若cos（？琢+C）=-■，0<？琢<■，求cos？琢；

（2）若sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面積.

17.（本小題滿分13分）2012年4月15日，央視《每周質量報告》曝光某省一些廠商用生石灰處理皮革廢料，熬制成工業明膠，賣給一些藥用膠囊生產企業，由于皮革在工業加工時，要使用含鉻的鞣制劑，因此這樣制成的膠囊，往往重金屬鉻超標，嚴重危害服用者的身體健康.該事件報道后，某市藥監局立即成立調查組，要求所有的藥用膠囊在進入市場前必須進行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售，兩輪檢測是否合格相互沒有影響.

（1）某藥用膠囊共生產3個不同批次，經檢測發現有2個批次為合格，另1個批次為不合格，現隨機抽取該藥用膠囊5件，求恰有2件不能銷售的概率；

（2）若對某藥用膠囊的3個不同批次分別進行兩輪檢測，藥品合格的概率如下表：

記該藥用膠囊能通過檢測進行銷售的批次數為X，求X的分布列及數學期望EX.

18.（本小題滿分14分）如下圖，多面體中A1B-ABC，△ABC和△AA1C都是邊長為2的正三角形，四邊形ABB1A1是平行四邊形，且平面A1AC⊥底面ABC.

（1）求證：A1B⊥AC；

（2）在線段BB1上是否存在點M，使得過CM的平面與直線AB平行，且與底面ABC所成的角為45°？若存在，請確定點M的位置；若不存在，請說明理由.

19.（本小題滿分14分）設數列{an}的前n項和為Sn，如果■為常數，則稱數列{an}為“幸福數列”.（1）等差數列{bn}的首項為1，公差不為零，若{bn}為“幸福數列”，求{bn}的通項公式；（2）數列{cn}的各項都是正數，前n項和為Sn，若c31+c32+c33+…+c3n=S2n對任意n∈N？鄢都成立，試推斷數列{cn}是否為“科比數列”？并說明理由.

20.（本小題滿分14分）已知橢圓E1 ：■+■=1，E2：■+■=1（a>b>0）.E1與E2有相同的離心率，過點F（-■，0）的直線l與E1，E2依次交于A，C，D，B四點（如圖）.當直線l過E2的上頂點時， 直線l的傾斜角為■.

（1）求橢圓E2的方程；

（2）求證：│AC│=│DB│；

（3）若│AC│=1，求直線l的方程.

21.（本小題滿分14分）已知函數f（x）同時滿足如下三個條件：①定義域為[-1，1]；②f（x）是偶函數 ；③當x∈[0，1]時，f（x）=■-■，其中a∈R.

（1） 求f（x）在[0，1]上的解析式，并求出函數f（x）的最大值；

（2） 當a≠0，x∈[0，1]時，函數g（x）=（■+x-2-■）[e2x-f（x）]，若g（x）的圖像恒在直線y=e上方，求實數a的取值范圍.（其中e=2.71828……）

2013年高考廣東理科數學模擬試題

參考答案

一、選擇題

1.D.由U={1，2，3，4，5}，∵A={3，5}，∴C∪A={1，2，4}.

又∵B={y│y =log2（x-1），x∈A}={1，2}，

∴ C∪B={3，4，5}，∴（C∪A）∩（C∪B）={4}.

2. B.由■=■=■=i，則a=0，b=1？圯 a+b=1.

3. C.對于①，其實就是兩面平行的判定理的直接應用；對于②，其實就是線面平行的判定理；對于③，其實是兩面垂直的判定理；至此即可產生答案C.

4. D.對原式進行三角恒等變換，則y=sinxcosx+■cos2x=cos（2x-■），故其對稱軸為2x-■=k？仔，∴ x=■+■，k∈Z，當k=0時選項D符合.

5. A.由c+d-ab=c+■-a（4-a）≥4+a2-4a=（a-a）2≥0，等號成立時a=c=b=d=2.

6. B.對于程序框圖的運算，若n=1，m=1+1=2，

n=2；m=1+1+2=4，n=3；…

n=5；m=1+1+2+3+4+5=16，n=6，終止循環，

故應填入的條件為n≤5.

7. A.由Tr+1=Crn（■）n-r·（■）r=Crn·3r·■，顯然n=10時，（■+■）n的展開式中存在常數項；反過來，不一定.

8.C.由ai1=1+3（i-1）=3i-2，

aij=ai1+（i+2）（j-1）=3j-2+（i+2）（j-1）=ij+2i+2j-4=（i+2）（j+2）-8.

顯然，aij+8=（i+2）（j+2）一定是合數.

二、填空題

9. 3.設切點為（x0，x30+2），又k=y′■=3x20.

于是，切線方程為y=3x20（x-x0）+x30+2，即y=3x20x-2x30+2.

由k=3x30，-2x20+2=0？圯k=3.

10. -2或■.當a≥0，則a2-a+■=■，所以a=■；當a<0，則2a+1=■，則a=-2.

11. 15種.從85，87，88，90，93，94這六個數任取4個，僅有一種情況符合要求，故所有情況為C26=15種.

12. 7≤z≤8.由x+y=s，y+2x=4？圯x=4-s，y=2s-4，交點為B（4-s，2s-4）.

又由直線x+y=s及y+2x=4得與坐標軸的交點為A（2，0），C（0，s），C′（0，4）.

當3≤s≤4時可行域是四邊形OABC，此時，7≤z≤8.

13. 1.對于M，O，N三點共線，則■=？姿■，

因此可化為■+■=？姿（■+■），

而O為BC的中點，因此■+■（■+■）=？姿

（■+■），

即有■+■（m■+n■）=？姿（■+■），

因此有1-■m=？姿，■n=？姿，∴m+n=2，mn≤（■）=1.

14. a=2，或a=-8.由x=1+cos？茲，y=sin？茲，消參數得普通方程為：（x-1）2+y2=1，

直線3？籽cos？茲+4？籽sin？茲+a=0的直角坐標方程為：3x+4y+a=0，又圓與直線相切，所以■=1解得：a=2，或a=-8.

15. ■.因為四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，

所以∠PBC=∠D，又∠BPC=∠DPA，

所以△BPC∽△DPA.于是■=■=■.

因為■=■，■=■，所以■·■=（■）2，

從而■·■=（■）2，于是■·■=（■）2=■·■=■，■=■.

三、解答題

16.（1）∵cos（？琢+■）=- ■，■<？琢+■<？仔，

∴ sin（？琢+■）=■=■，

∴ cos？琢=cos[（？琢+■）-■]=■.

（2）∵ sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB=6sinB

cosB，

∴ cosB=0或sinA=3sinB，∴ B=■或a=3b.

若B=■，則s=■c·ctanA=■.

若a=3b，由余弦定理得a2+b2-ab=1，b2=■，S=■absinC=■■.

17.（1）依題知，隨機抽取一件該藥品為合格的概率為■，不合格的概率為■，則記5件藥用膠囊恰有2件不能銷售的概率為事件A，則P（A）=C25（■）2（■）3=■.

（2）記該藥用膠囊的3個批次分別進行兩輪檢測為合格記為事件A1，A2，A3，

P（A1）=■×■=■，P（A2）=■×■=■，P（A3）=■×■=■.

該藥用膠囊能通過檢測進行銷售的批次數為X的可能取值為0，1，2，3.

P（X=0）=P（A 1A 2A 3）=（1-■）×（1-■）×（1-■）=

■；

P（X=1）=P（A1A 2A 3+A 1A2A 3+A 1A 2A3）

=■×（1-■）×（1-■）+（1-■）×■×（1-■）+（1-■）×（1-■）×■=■；

P（X=2）=P（A1A2A 3+A 1A2A3+A1A 2A3）

=■×■×（1-■）+（1-■）×■×■+■×（1-■）×■=■；

P（X=3）=P（A1A2A3）=■×■×■=■.

則隨機變量的分布列為：

則EX=0×■+1×■+2×■+3×■=■.

18.方法一（空間向量法）

（1）證明：取AC中點O，連結A1O，BO，

∵△ABC和△AA1C都是正三角形，

∴ A1O⊥AC，BO⊥AC.

∵平面A1AC⊥底面ABC，平面A1AC∩底面ABC=AC，∴A1O⊥平面ABC， 如上圖，以OB，OC，OA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A（0，-1，0），B（■，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，■），

∴ ■=（■，0，-■），■=（0，2，0），

∴ ■·■=0，∴ ■⊥■，即A1B⊥AC.

（2）假設點M存在，且■=？姿■（0≤？姿≤1），設過CM且與AB平行的平面交AA1于N，連結MN，NC，則AB∥MN，四邊形ABMN是平行四邊形， ■=■，■=■. 又■=（0，1，■），∴ ■=？姿■=（0，？姿，■？姿），∴N（0，？姿-1，■？姿），■=（0，？姿-2，■？姿），又■=（■，1，0），∴■=（■，1，0）.

設平面CMN的法向量為■=（x，y，z），由■·■=0，■·■=0，∴（？姿-2）y+■？姿z=0，■x+y=0，∴■=（1，-■，■），又平面ABC的法向量為■=（0，0，1），且平面CMN與底面ABC所成角為45°，∴cos45°=■=■，∴？姿=-2（舍去）或？姿=■.

∴在線段BB1上存在點M，當BM=■BB1時，平面CMN與直線AB平行，且平面CMN與底面ABC所成角為45°.

方法二（幾何法）

（1）證明：取AC中點O，連結A1O，BO，

∵△ABC和△AA1C都是正三角形，∴A1C⊥AC，BO⊥AC.又A1O∩BO=0，A1O？奐平面A1OB，BO？奐平面A1OB，∴AC⊥平面A1OB，又A1B？奐平面A1OB，∴A1B⊥AC.

（2）存在滿足題意的點M，證明如下：

設BM=？姿，過CM且與AB平行的平面交AA1于N，連結MN，NC，則AB∥MN，則四邊形ABMN是平行四邊形，則AN=BM=？姿.

設平面MNC與底面ABC的交線為l，在平面A1AO內過點N作A1O的平行線NT交AO于T，過T作l的垂線TR，分別交AB于S，交l于R，連接NR.

∵A1O⊥底面ABC，∴NT底面ABC.

∴NT⊥l，而TR⊥l，∴ l⊥平面NTR，∴ l⊥NR.

∴∠NRT為平面MNC與底面ABC所成二面角的平面角，∴∠NRT=45°，∴NT=TR，

∴ ∠A1AO=60°，∴AT=■，NT=■？姿，

∴ TR=SR-ST=■-■AT=■-■？姿，由NR=TR，∴ ？姿=■.

∴ B1B=A1A=2，∴ BM=■B1B.

∴ 在線段BB1上存在點M，當BM=■BB1時，平面CMN與直線AB平行，且平面CMN與底面ABC所成角為45° .

19.（1）設等差數列{bn}的公差為d（d≠0），■=k，因為b1=1，

則n+■n（n-1）d=k[2n+■·2n（2n-1）d]，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d.

整理得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0.

因為對任意正整數n上式恒成立，則：

d（4k-1）=0，（2k-1）（2-d）=0，解得d=2，k=■.

故數列{bn}的通項公式是bn=2n-1.

⑵ 由已知，當n=1時，c31=S21=c21.因為c1>0，所以c1=1.

當n≥2時，c31+c32+c33+…+c3n=S■n，c31+c32+c33+…+c3n-1=S2n-1.

兩式相減，得c3n=S■n-S■n-1=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=cn·（Sn+Sn-1）.

因為cn>0，所以c■n=Sn+Sn-1=2Sn-cn.

顯然c1=1適合上式，所以當n≥2時，c■n-1=2Sn-1-cn-1.

于是c2n-c■n-1=2（Sn-Sn-1）-c■+c■=2c■-c■+c■=c■+c■.

因為c■+c■>0，則c■-c■=1，

所以數列{c■}是首項為1，公差為1的等差數列.

所以■=■=■不為常數，故數列{c■}不是“幸福數列”.

20. （1）∵ b=1，■=■，∴ a=2，b=1，因此橢圓E2的方程為E2：■+y2=1.

（2）當直線l垂直x軸時，易求得A（-■，-■），C（-■，-■），D（-■，■），B（-■，■），

因此│AC│=│DB│.

當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-■），

由y=k（x-■），■+y2=1？圯（1+4k2）x2+8■k2x+12k2-4=0……①

由y=k（x-■），■+■=1？圯（1+4k2）x2+8■k2x+12k2-10=0……②

設A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），則x3、x4是方程①的解， x1、x2是方程②的解. ∵x1+x2=x3+x4=■，∴線段AB，CD的中點重合，∴│AC│=│DB│.

（3）由（2）知，│AB│=│CD│+2，當直線l垂直x軸時，不合要求；當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-■），由（2）知，x1+x2=x3+x4=■，x1x2=■，x3x4=■.

│CD│=■

=■

=■，

│AB│=■

=■

=■.

∴ ■+2=■，

化簡可得：8k4-2k2-1=（4k2+1）（2k2-1）=0？圯k=±■ .

于是，直線l的方程為y=±■（x+■）.

21.（1）任取x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，f（-x）=■-■.

又f（x）是偶函數，故x∈[0，1]時，f（x）=e2x-aex.

由f（x）是定義域為[-1，1]的偶函數可知， f（x）在x∈[0，1]的最大值即為f（x）的最大值.

當x∈[0，1]時，得1≤ex≤e，此時f（x）=（ex-■）2-■，那么：

若■≤■即a≤1+e時，fmax（x）=（e-■）2-■=

e2-ae；

若■>■即a>1+e時， fmax（x）=（1-■）2-■=1-

a.

綜上可知：a≤1+e時，fmax（x）=e2-ae；a>1+e時，

fmax（x）=1-a；

（2）由g（x）=（■+x-2-■）[e2x-f（x）]

=（■+x-2-■）（e2x-e2x+aex）=（■+x-2-■）·aex=（x2+ax-2a-3）ex.

要x∈[0，1]時，函數g（x）的圖像恒在直線y=e上方， 即x∈[0，1]時， gmin（x）>e成立，由于g′（x）=（x-1）（x+a+3）ex，令g′（x）=0得x1=1，x2=-a-3.

①當-a-3≤0即a≥-3且a≠0時，得x∈[0，1]時，g′（x）≤0，此時g（x）在區間[0，1]單調遞減，得gmin（x）=g（1）=（-a-2）e，由（-a-2）e>e？圯a<-3，矛盾.

②當0<-a-3<1即-4e，g（1）>e？圯-2a-3>e，（-a-2）e>e？圯a<-3，此時，得a的范圍是-4

③當-a-3≥1即a≤-4時，得x∈[0，1]時，g′（x）≥0，此時g（x）在區間[0，1]單調遞增，得gmin（x）=g（0）=-2a-3，由-2a-3>e？圯a<-■，此時，得a的范圍是a≤-4.

綜上可知：a<-3時，g（x）的圖像恒在直線y=e上方.

（本試題由中山市第一中學高三數學備課組擬制）

責任編校 徐國堅