巧用裂項相消法求數列{f（n）·qⁿ}的前n項和

若一個數列的每一項都可以化為兩項之差，并且前一項的減數恰與后一項的被減數相同，求和時中間項互相抵消，這種數列求和的方法就是裂項相消法.常見的裂項公式有：

（1）■ =■-■ ；

（2） ■= ■（■-■）；

（3） ■= ■[■-■] ；

（4）■ =■（■-■）；

（5）Cnm-1 =■-Cnm；

（6）n·n！=（n+1）！-n！.

裂項相消法就是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.上述幾個裂項公式比較簡單也很常見，近幾年高考出現了一些比較復雜的數列求和的問題，譬如數列的通項里含有指數形式.下面筆者以具體實例談談如何巧用裂項相消法求數列{f（n）·qn}的前n項和.

一、巧用裂項相消法求數列{f（n）·qn}（f（n）為整式的前n項和

例1. 求數列{（2n-1）·3n}的前n項和Sn.

解析：令（2n-1）·3n=（An+B）·3n+1-[A（n-1）+B]·3n，整理得：（2n-1）·3n=（2An+A+2B）·3n，比較系數易得：A=1，B=-1，∴（2n-1）·3n=（n-1）·3n+1-（n-2）·3n，

∴Sn=■[（2i-1）·3i]=■[（i-1）·3i+1-（i-2）3i]=（n-1）·3n+1+3.

點評：差比數列求和的通法是錯位相減法，但并不是唯一方法，從教學反饋中可以看出，考生在使用錯位相減法做題時，在運算過程中容易出錯，但是如果能夠熟練掌握好裂項相消的技巧，就可以化難為易，化繁為簡，減少運算量，提高正確率.凡是求差比數列{（kn+b）·qn}（k≠0，q≠1）的前n項和，都可以利用如下思路，巧妙裂項而達到順利求和的目的.

設（kn+b）·qn=（An+B）·qn+1-[A（n-1）+B]·qn，整理得：（kn+b）·qn=[（q-1）An+A+（q-1）B]·qn，比較系數即可得：A=■，B=■.于是，利用裂項相消法即可求得差比數列{（kn+b）·qn}的前n項和為Sn=（An+B）·qn+1-B·q.正所謂“解需有法而解無定法”，只要我們掌握了扎實的基礎知識和基本技能，那么解決問題就可以打破思維定勢，不拘一格.值得一提的是，上述方法也不僅僅局限于差比數列的前項和的求解問題.

變式1. 求數列{n2·2n}的前n項和Tn.

解析：設an=n2·2n=（An2+Bn+C）·2n+1-[A（n-1）2+B（n-1）+C]·2n.

利用系數對比的方法易得an=n2·2n=（n2-2n+3）·2n+1-[（n-1）2-2（n-1）+3]·2n，所以Tn=（n2-2n+3）·2n+1-6.

二、巧用裂項相消法求數列{f（n）·qn}（f（n）為分式）的前n項和

例2. 等比數列{an}的各項均為正數，2a4，a3，4a5成等差數列，且a3=2a22.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2） 設bn= ■an，求數列{bn}的前n項和Sn.

解析：（1）數列{an}的通項公式為an=（■）n.（n∈N？鄢）（過程略）

（2）由（1），得bn= ■·an=■·■.

令2n+5=A（2n+3）-B（2n+1），利用系數對應相等可得：A=2，B=1，所以bn=■·■=（■-■）·■=■-■.

所以Sn=b1+b2+…+bn=（■-■）+（■-■）+…+[■-■]=■-■，故數列{bn}的前n項和Sn=■-■.

點評：此題的求解，首先要考慮f（n）這個分式中，分子與分母的兩個因子之間的線性關系，這是關鍵的一步，然后再利用了分式的性質恒等變形而達到了裂項的目的，可謂巧妙絕倫，這對裂項相消法提出了更高的要求.從近幾年的全國各地的高考數學題來看，類似于求數列{f（n）·qn}的前n項和的問題也屢見不鮮，但只要明確了上述方法的基本原理，復雜的問題就可以由難變易，迎刃而解.

變式2. 求數列{■}的前n項和.

解析：先探究分子與分母的兩個因子之間的線性關系，即n+2=2（n+1）-n，所以■=■=

■-■，所以數列{■}的前n項和Sn=4-■.

要想牢固掌握好求數列{f（n）·qn}的前n項和的具體解法，我們在解題過程當中，首先要善于觀察數列通項的基本特征，找到正確的解題方向.任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關系.要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路；其次，我們要善于轉化，就是要把一個完整的式子巧妙地轉化為兩個式子的差的形式.數學家波利亞在《怎樣解題》中說過：數學解題是命題的連續變換.可見，解題過程是通過問題的轉化才能完成的，轉化是解數學題的一種重要的思維方法.只要做到這兩點，我們在解題過程當中，就可以體會到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的解題效果.

（作者單位：廣州市第二中學）

責任編校 徐國堅