兩大部類擴大再生產中的廣義拉格朗日乘子

摘 要 在一個帶有非負和不等式約束的優化問題有最優解的情形下，存在著廣義拉格朗日乘子即資源的影子價格.本文探索給出馬克思兩大部類擴大再生產中的影子價格，為經典的馬克思擴大再生產理論增添新的重要內容.首先使用 “價值系數法”替代單純形法，簡便地求得了擴大再生產優化問題的最優解.然后運用庫恩-塔克條件，確立了關于最優解與廣義拉格朗日乘子的互補松弛條件的三個不等式組.進而利用這些不等式組和已知的最優解，簡便地解出廣義拉格朗日乘子，即兩大部類擴大再生產中的影子價格.最后引用和借鑒《資本論》中的兩個舉例，對所獲得的影子價格和目標函數最優值做了計算驗證.

關鍵詞 擴大再生產；影子價格；拉格朗日乘子；最優解；庫恩塔克條件

1 引 言

影子價格是現代經濟理論中的一個重要概念，又為稱“最優價格”，是在市場達到某種最優均衡狀態時的各種資源價格.影子價格對于資源配置具有重要的理論意義[1，2].陶為群、陶川（2012）就一般情形運用單純形法，給出了馬克思兩大部類擴大再生產的線性規劃的最優解[3]，因此可以確定擴大再生產中存在著影子價格.獲得擴大再生產中的影子價格，可以使經典的馬克思擴大再生產理論增添新的重要內容和拓展出新的研究領域.在馬克思兩大部類擴大再生產問題有最優解的情形下，資源的影子價格就是廣義拉格朗日乘子，而庫恩-塔克條件能夠確立關于最優解與廣義拉格朗日乘子的互補松弛條件的不等式組[1，4].陶為群（2012）探索運用拉格朗日乘數法求解兩大部類產品的價值構成[5]，為在社會擴大再生產中尋求廣義拉格朗日乘子提供了啟示.本文首先使用 “價值系數法”簡便地求得馬克思擴大再生產問題的最優解，然后運用庫恩-塔克條件確立了含有最優解與廣義拉格朗日乘子的三個不等式組.運用這些不等式組和已知的最優解，能夠簡便地解出廣義拉格朗日乘子，即兩大部類擴大再生產中的影子價格.

2 兩大部類擴大再生產的簡化線性

方程組和目標函數

馬克思社會再生產理論以社會再生產公式集中體現.經典的再生產公式是一個研究兩大部類社會再生產問題的基本模型.簡略地講，馬克思再生產公式就是表示社會再生產中生產資料、消費資料兩個部類的產品價值構成和生產資料、消費資料總產品的供給與需求怎樣均衡的一組等式.從不同作用的區別來看，這組等式包括了定義方程、行為方程和均衡條件三種類型的方程.再生產公式具有十分明確的結構.把社會再生產中生產生產資料部類、消費資料的分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類，分別以Cj，Vj，Mj，Yj表示第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）的不變資本、可變資本、剩余產品（價值）、新創造產品；以hj，ej表示資本有機構成、剩余價值率.那么按照經典的馬克思再生產公式，在每個部類內部，不變資本、可變資本、剩余產品、新創造產品之間的關系被下面的定義方程所確定.