探究式教學(xué)在保形映射中的應(yīng)用

摘 要 在保形映射的教學(xué)過程中，我們采用探究式教學(xué)法，通過舉例法闡述了這種教學(xué)法的若干種應(yīng)用，讓學(xué)生枯燥的學(xué)習(xí)變得具有創(chuàng)新性。

關(guān)鍵詞 探究式教學(xué) 保形映射 舉例法

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Application of Inquiry-based Teaching in Conformal Mapping

Abstract In the teaching process of conformal mapping， we use the probing type teaching method， through the example， talks about some applications of this teaching method， make students' learning not a dull thing but become innovative.

Key words probing type teaching； conformal mapping； example

探究教學(xué)法不同于講授法等其他灌輸式的教學(xué)方法，即教師將知識(shí)重點(diǎn)直接傳授給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生自己針對(duì)所學(xué)的概念、定理、數(shù)學(xué)思維方法或者一些實(shí)際生活中的問題等，主動(dòng)地反復(fù)地思考、探究，也可以以小組的形式集體討論，得出一些有用的結(jié)論，甚至將自己所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題。我們強(qiáng)調(diào)的是這是一種學(xué)生主動(dòng)參與的教學(xué)方法。既可以對(duì)一般的學(xué)習(xí)內(nèi)容或方法展開探究，也可以針對(duì)與實(shí)際聯(lián)系比較緊密的某個(gè)數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生產(chǎn)生問題，或者教師提出問題，條件允許的話，還可以為學(xué)生提供必要的一些條件和環(huán)境，然后學(xué)生針對(duì)這些問題，通過猜想、邏輯推理、計(jì)算機(jī)上運(yùn)行計(jì)算等活動(dòng)， 得出相關(guān)的結(jié)論，這樣就能在探究活動(dòng)的基礎(chǔ)上建構(gòu)起對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)（如：保形映射）的全面理解和方法、技能等，甚至解決某些實(shí)際問題。

在保形映射的教學(xué)過程中，我們可以采用探究式教學(xué)法，來達(dá)到很好的效果。首先，在學(xué)生學(xué)習(xí)了保形映射之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到其前繼課程：高等數(shù)學(xué)，給學(xué)生提出一個(gè)問題：現(xiàn)在學(xué)的映射跟高等數(shù)學(xué)里的有何不同，學(xué)生于是開始認(rèn)真探究其相同或不同點(diǎn)。比如，學(xué)生通過對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)，反演映射w=1＼z —— 一個(gè)特殊的分式線性映射，可以看成由關(guān)于單位圓的對(duì)稱映射和關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映射復(fù)合而成，它具有保形性，這是一種很好的性質(zhì)，在具體應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常用到這種映射。而高等數(shù)學(xué)里面一個(gè)倒映射，如y=1＼x，就沒有以上這些性質(zhì)，在坐標(biāo)系中可以用簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的圖表示出來，當(dāng)然它的用處也很廣泛。又比如，在“唯一決定分式線性映射的條件”這一小節(jié)中，在給出某個(gè)前提條件后，我們可以得到唯一的分式線性映射。有個(gè)定理說，在z平面上任給三個(gè)不同的點(diǎn)，在w平面上也任給三個(gè)不同的點(diǎn)，則存在唯一的分式線性映射，把前三個(gè)點(diǎn)分別依次地映射為后三個(gè)點(diǎn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在實(shí)數(shù)域里面，很難找到這樣“唯一”的映射，學(xué)生驚喜地體會(huì)到復(fù)變函數(shù)的這些優(yōu)勢(shì)。

對(duì)工科學(xué)生來說，在學(xué)習(xí)保形映射基本概念、定理、方法之后，可以進(jìn)一步探究一下對(duì)自己專業(yè)知識(shí)的影響，或探尋它對(duì)我們的實(shí)際生活的一些影響。在速度場(chǎng)、熱流場(chǎng)和靜電場(chǎng)等平面場(chǎng)中，經(jīng)常用保形映射的方法求得復(fù)勢(shì)函數(shù)，即將已知的平面區(qū)域映射為上半平面、圓域或者帶形區(qū)域等，從而利用此復(fù)勢(shì)求得其它的一些量。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究時(shí)，學(xué)生對(duì)于保形映射不是很熟悉，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如對(duì)高等數(shù)學(xué)那樣熟練，因此在應(yīng)用這一層面上，可能走得有點(diǎn)艱難，這時(shí)，教師不妨設(shè)定一些具體的專業(yè)問題，或者與實(shí)際息息相關(guān)的題目，如，有一條很深的河流，河底有一高度為h的河堤，在遠(yuǎn)離河堤的流源處的流速是已知的，問此河流中，流速的分布情況如何？設(shè)問目的是為了激起學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生體會(huì)到如何由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題。這樣一來，有了具體的問題，學(xué)生的方向目標(biāo)更加明確，研究起來更加有信心、有動(dòng)力了。并且一個(gè)問題的解決可以激發(fā)對(duì)其它問題的探究興趣，教學(xué)起到了促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的作用。反過來，對(duì)實(shí)際問題的深入研究可以鞏固所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生對(duì)于保形映射的內(nèi)容的記憶深度絕對(duì)強(qiáng)于一般的灌輸式教學(xué)。學(xué)生既可以從容面對(duì)考試，也可以將保形映射的研究方法應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問題。諸如這類的數(shù)學(xué)探究課，讓學(xué)生體驗(yàn)用所學(xué)數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用理論及其應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度看待世界的習(xí)慣。

最后，學(xué)生應(yīng)反思，學(xué)了保形映射最大的用途是什么，為何要花大量時(shí)間學(xué)它呢？經(jīng)過思考、討論以及查閱相關(guān)資料，總結(jié)出它能將復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單，將復(fù)雜的圖形變得簡(jiǎn)單、“標(biāo)準(zhǔn)”。在工程中有這樣一個(gè)例子，在研究飛機(jī)機(jī)翼的剖面外部區(qū)域時(shí)，因?yàn)橐芯繖C(jī)翼剖面輪廓線形狀以及它在空中飛行時(shí)所受的阻力、上升力，如按原來的圖形進(jìn)行計(jì)算的話，那么過程會(huì)很復(fù)雜，但通過保形映射，可將原圖變?yōu)閱挝粓A，問題轉(zhuǎn)化為研究單位圓外部的性質(zhì)。

我們還可以為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)有利于探究教學(xué)的環(huán)境。多采用多媒體及實(shí)驗(yàn)室等現(xiàn)代教學(xué)手段。特別地，在整個(gè)大學(xué)學(xué)習(xí)期間，不管是數(shù)學(xué)專業(yè)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，都十分熱衷于數(shù)學(xué)建模，探究式教學(xué)有助于激發(fā)數(shù)學(xué)建模的熱情，加快數(shù)學(xué)建模的步伐，我們可以觀察到，有的時(shí)候，數(shù)學(xué)探究過程中，數(shù)學(xué)建模的過程就已經(jīng)完整地展現(xiàn)出來了。探究式教學(xué)已經(jīng)滲透在大學(xué)的其它各種課程中，它的實(shí)用性非常強(qiáng)，它讓學(xué)生習(xí)慣用數(shù)學(xué)的思維去思考周圍的方方面面，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、創(chuàng)新能力，從而更好地實(shí)踐于實(shí)際應(yīng)用中，真正做生活的主人。

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