借分類討論的管 窺高等數學的美

摘 要 分類討論是數學中一種非常重要的思想，本文借用分類討論這一工具，讓學生感受高等數學的嚴密性和巧妙性，見識高等數學的美。從而激發學生的學習熱情，產生對數學的興趣。

關鍵詞 分類討論 數學思想 高等數學

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

By the Tube of Classification to Glimpse the Beauty of Higher Mathematics

Abstract Classification discussion is a kind of important mathematics thought， this paper use classification discuss the tools， let the students feel the higher mathematics the leakproofness and clever sex， see the beauty of higher mathematics. To stimulate students' learning enthusiasm， have interest in mathematics.

Key words classification； mathematical thought； higher mathematics

分類討論是數學中一種非常重要的思想，①它是指在解決一個問題時，無法用同一種方法去解決，而需要一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題——加以解決，從而使問題得到解決。分類討論的實質，是將整體問題化為部分問題來解決，以增加題設條件。分類討論的原則是不重復、不遺漏。討論的方法是逐類進行，還必須要注意綜合討論的結果，以使解題步驟完整。目前關于分類討論在初等數學中的應用的文章比較多，而它在高等數學中應用的研究卻微乎其微。而高等數學作為理工類、管理性院校一門重要的基礎學科，素以高度的抽象性和嚴密的邏輯性而使學生忘卻止步。本文借用分類討論這一工具，讓學生感受高等數學的嚴密性和巧妙性，見識高等數學的美。從而激發學生的學習熱情，產生對數學的興趣。

1 借分類討論的管，窺有限與無限之美

《高等數學（上冊）》②在講解“無窮小的運算性質”時，有一個定理為：有限個無窮小的代數和仍是無窮小。補充說明了無限多個無窮小的代數和未必是無窮小，并舉例予以說明。但在講解另一個定理：有界函數與無窮小的乘積是無窮小的推論：有限個無窮小的乘積是無窮小時。但對于無限個無窮小的乘積的結果，卻沒有涉及。無限多個無窮小的結果是什么呢？不由引起了學生的反問，也激起了筆者的思考。事實上，無限多個無窮小的結果是未定型，下面以結果為無窮大的例子來佐證。

例③：設函數當→0時，是無限多個無窮小量，但是對于任意的＞0，…都不收斂（實際趨于無窮大），事實上，如果設0＜＜1，則存在正整數≥2，使＜≤，于是，對于任意正整數 ≥，有，，，， …

所以 … = …≥，因此，對于任意 ＞0，取 ，則當 ＞時，有…＞。這就說明，對于任意的0＜＜1，當時，…趨于無窮大。

2 借分類討論的管，窺正負無窮之美

在講解高等數學“兩個重要極限”時，有一個重要的極限為，而在證明函數極限時，一般的證明思路如下：

先考慮取正整數，且的情形。設 = ，下證數列{}單調增加且有界 = 1 + 1 + + + … + …

= 1 + 1 + + + … + … + …

得＞（=1，2，3…）

即{}為單調增加數列。再證{}有界，因

1 + 1 + + + … + ＜1 + 1 + + + … + ＜3

由單調有界數列必有極限知，，再利用夾逼準則得出，對于一般的實數，有，而一些資料就直接下了的結論。事實上，前者自變量的取值趨向是+，而后者自變量的取值趨向是。從數學的嚴密性出發，這兩者不能等價，應按照分類討論不重不漏的原則，要作一補充證明。④

令，則有 。

所以，得證。

3 借分類討論的管，窺微分與積分之美

《高等數學（下冊）》⑤在講解“冪級數”時，其中涉及計算冪級數的和函數時，有的學生不知是從。事實上，利用分類討論這一工具，根據和函數的特征，就很容易理解掌握。

定理：設冪級數的收斂半徑為，則

（1）冪級數的和函數在其收斂域上連續；

（2）冪級數的和函數在其收斂域上可積，并且在上有逐項積分公式 = = =，且逐項積分后得到的冪級數和原函數有相同的收斂半徑；

（3）冪級數的和函數在其收斂域上可導，并且在上有逐項求導公式===，且逐項求導后得到的冪級數和原函數有相同的收斂半徑；

例：求下列冪級數的和函數：

（1） （2）

解：（1）先求收斂域，得（-1，1]，再設和函數為，則有

==1…++…=

由積分公式=，得=+==

因題設級數在時收斂，所以=（-1

（2）先求收斂域，得（，1），再設和函數為，則有=====

在上式兩端求導，得所求和函數=

登山必有徑，涉川必有津。在我們日常教學過程中，只有不斷總結、不斷思考，將書本上的知識排列重組，形成一種新的知識框架，一方面有利于自身對知識的掌握、理解和應用，另一方面也有利于學生對知識的認識，對知識的渴望，激發學生的學習熱情，從而產生對知識的渴求。

注釋

① 張志淼.數學學習與數學思想方法[M].鄭州：鄭州大學出版社，2008.

② 吳贛昌.高等數學上冊（理工類·第四版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

③ 羅桂鑾.關于無限多個無窮小量乘積問題的探討[J].浙江工貿職業技術學院學報，2003：68-68.

④ 樊映川等.高等數學講義（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2002.

⑤ 吳贛昌.高等數學下冊（理工類·第四版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.