在探究中深化對概念的理解在探究中深化對概念的理解

【摘要】本文以一道古典概型題目的教學為例，再現了學生疑問產生、探究以及最終解決的過程，闡述了在概念教學中引導學生進行探究的重要性，并提出了自己教學的感悟.

【關鍵詞】探究；概念教學

數學探究是高中新課程中引入的一種新的學習方式，基于“授人以魚不如授人以漁”的出發點，提倡在教學中培養學生自主發現問題，并通過實驗、調查、相互交流等形式最后解決問題，從而獲得自身的提升.對于這一觀點，筆者雖然早有耳聞，但在實踐中卻感受不深.直到在一次古典概型例題教學的課堂中，基于學生提出的一個問題，進而和學生共同探究，直至最終解決問題后，才深刻體會到新課程這一提法的內涵，體會到探究學習對學生了解數學概念、結論產生過程的重要性，體會到探究學習對學生內化所學知識的意義.

一、問題呈現

人教版教材必修3“§3.2.1古典概型”一節中有兩道這樣的例題：

例1從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件？

解所求基本事件共有6個：A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}.

例5某種飲料每箱裝6聽，如果其中2聽不合格，問：質檢人員從中隨機抽出2聽，檢測出不合格產品的概率有多大？

解……把每聽飲料標上號碼，合格的4聽分別記作：1，2，3，4，不合格的2聽分別記作：a，b……全部基本事件的總數為30，所以……

二、提出疑問

對于例1，用列舉方法求基本事件的個數，學生很好理解.在例5之前，教材還安排了一個拋兩顆骰子問題的例3，求解時給兩顆骰子進行了編號，并且花了大量的篇幅解釋了有無順序對解題的影響，所以，對例5的編號求解也是水到渠成，學生都能接受.就在筆者準備結束這個例題的講解時，學生A卻站了起來，提出疑問：

“老師，我仿照例1用列舉的方法，從6聽飲料中抽出2聽的基本事件的總數為15，這是為什么呢？”

三、欲擒故縱

筆者馬上意識到，這是一個很有價值的問題，也是一個很好的探究機會！

教師：是嗎，老師還沒發現呢！

首先肯定了A同學的鉆研精神！

教師：是不是A同學在列舉的時候沒有統計正確呢？大家也都來幫忙計算一下.

引導學生開始探究，通過學生的動手實踐，增強疑問，激發進一步探究的興趣.

果然，一會兒過后，同學們開始議論起來，因為統計的結果和A同學一樣，都是15個基本事件！

學生B：會不會是教材編寫有問題了？

學生C：肯定是教材出錯了.這兩個例題的解法在基本事件的統計上存在明顯的矛盾.

面對質疑教材的聲音，教室里面的氣氛一下子熱烈了，大家都討論起來……

學生D：我覺得教材應該沒有問題.因為我繼續計算后發現，最后的結果是一樣的，檢測出不合格產品的概率也是0.6.

教師：結果一致究竟是巧合，還是有什么規律我們沒有發現呢？

教室頓時又都安靜下來.筆者請學生C談他發現的矛盾.

學生C：矛盾在于在例1的解答中，認為抽出來的{a，b}和{b，a}是同一基本事件，也就是無序的；而在例5的解答中，卻把抽出來的{1，2}和{2，1}看成是2個基本事件，也就是有序的.我們統計出的15個基本事件就是按照無序來計算的.

教師：觀察得非常仔細！

同學們也都點點頭，恍然大悟.

教師：那為什么計算出的概率不變呢？是不是有無順序對求解概率問題沒有影響呢？

將討論引向問題的實質.學生繼續討論、思考……

學生E：當然有影響呀！剛才例3的骰子問題不是還特別強調了兩顆骰子的順序嗎？

四、探究釋疑

此時，同學們都陷入了沉思.筆者提議學生仔細閱讀教材“思考：為什么把兩個骰子標上記號？如果不標上記號會出現什么情況？……”后面一段的解釋.

學生F：求解概率題目時，是否考慮順序要視情況而定.像骰子問題中，則必須看成有順序，否則基本事件的發生就不是等可能的了，這一點課本也解釋得非常清楚.而在例5中，有無順序基本事件的發生都是等可能的.只是基本事件的總數和某事件包含的基本事件的個數同時擴大了一倍或縮小了一半，因而比值不變，也即概率不變.

學生G：那什么情況下要考慮順序，什么情況下有無順序都可以呢？

學生F：……

至此，基本探究到了問題的核心所在.學生G的疑問，將這一問題的討論引向了更一般化.最后師生共同總結，可以得出：

“古典概型中，若抽樣是不放回的，是否考慮順序，基本事件的發生都是等可能的，因此計算出的概率均不變；若抽樣是有放回的（骰子問題可理解成有放回），則必須考慮順序，否則基本事件的發生就不滿足等可能的條件了.”

整個問題根源就在于對古典概型下基本事件的發生必須“等可能”的理解.學生之前的理解應是表層的和淺顯的，通過系列探究后，才可謂是真正的理解透徹，進而最終得到“古典概型題目求解，是否需要考慮順序的關鍵在于抽樣是否放回”這一認識也是水到渠成的事情了.

五、教學感悟

1.教師要充分挖掘教材

使用教材是教師教學活動中重要的組成部分，也是教師備課的一個重要環節.而新課程下的教材具有多樣性、思想性、問題性、時代性與應用性等特點，傳統的“教教材”已很難適應新課程的需要.這就要求教師要深入研究教材，準確理解教學內容，把握教學要求，把握教材的整體框架.備課時，既要立足教材，細致分析一節課的重、難點和關鍵，把教材完全化成自己的東西，再深入淺出地講解給學生，還要不拘泥于教材，對教材進行創造性的再加工，及時挖掘教材背后的主題和內涵.概率教學中常發現學生具有較多的錯誤觀念，因為學生過去接觸的主要是確定性事件，對不確定事物的認識非常有限，所以教師在概率的概念教學中應特別注意，盡量領會教材編寫意圖，洞察可能問題所在.像本節課教材在兩個例題的安排上給學生理解可能造成的混亂，教師在備課時要有足夠的警覺，而這種“警覺”則一定來自教師對教材深入的研究和挖掘.

2.課堂要重視概念教學

蘇聯數學教育家斯托利亞爾說過：“數學教學是數學活動（思維活動）的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學.”所以只有當學生自主參與數學活動，探究結果形成過程，在探究中不斷經歷正確與錯誤交替出現的體驗，形成正反兩面的活動經驗以提高感悟數學的水平，讓學生不斷經歷從“假無疑”到“真無疑”的過程，這樣才能糾正錯誤觀念，形成正確的認識.

對于古典概型問題下基本事件發生的等可能性，教材用定義的形式直接給出，若教師只是簡單的用“一定義二要點三注意”的形式講解，不讓學生通過親身體驗，何謂“等可能”、何謂“不等可能”，學生可能也只是停留在一知半解的層面上.因此，教師在教學設計上就必須重視概念教學，在課堂上安排適當的探究活動，引導學生在探究中交流，在交流中充分暴露思維的過程，讓學生在失誤的過程中建立起正確的知識結構.

3.教師要具有探究意識、探究精神和探究技能

數學探究提倡學生主動獲取、應用知識并解決問題.因此，在課堂實踐中，有按照教師事先的設計進行的探究，也有教師預設之外的、“突發”的探究（就如前面的案例）.這就要求教師，一是要有敏銳的探究意識，對學生提出的“質疑”“異類”等信息進行準確的捕捉，并以此為契機引導學生進行探究；二是要尊重教學的“開放性”“自主性”，要改變“按照教學計劃來完成教學目標”的傳統教學觀念，改變一味地追求“嚴謹”“有序”“完整”教學過程，從而把教學過程真正視為一個“動態的”“開放的”系統，這樣學生才能真正成為教學活動的主體，探究才得以真正實施.像本節課中，若教師對學生質疑置之不理或是輕描淡寫地跳過，可能會完成事先設定的教學任務，但這個課堂只是老師的課堂，而沒能真正成為學生的課堂.

也正因為課堂的開放性，探究教學往往需要大量的時間，而教學效果可能是隱性和長期的，再加上現有評價體系的缺陷，所以，探究教學更需要教師具有超前意識和探究精神，相信在探究活動中學生的素質和能力也一定會大大提升，長期的積累也一定會考出優異的成績.當然，真正的探究課堂也還需要教師進行大量的探究理論和探究技能的學習，讓探究真正成為培養學生思維能力、反思意識等的手段，讓探究過程成為真正提升學生數學思維的過程.