經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過程，獲得“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”

【教學(xué)內(nèi)容】人教版四年級(jí)下冊(cè)P85。

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 通過測(cè)量、剪拼、折紙等活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷探索和驗(yàn)證“三角形內(nèi)角和等于180°”的過程。

2. 在應(yīng)用三角形內(nèi)角和知識(shí)解決問題的過程中促進(jìn)學(xué)生的推理能力與數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

3. 在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、探索、交流、對(duì)比中經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程并體驗(yàn)成功的喜悅，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神。

【教學(xué)過程】

一、課前談話（略）

二、知識(shí)導(dǎo)入，關(guān)注數(shù)學(xué)文化

師：今天這節(jié)課的內(nèi)容就從這位數(shù)學(xué)家帕斯卡開始，他從小癡迷于數(shù)學(xué)，喜歡自己琢磨。在帕斯卡12歲的時(shí)候就發(fā)現(xiàn)了改變他一生的數(shù)學(xué)問題。

師：此時(shí)此刻，你最想知道什么？

師：改變帕斯卡一生的數(shù)學(xué)問題就是三角形的內(nèi)角和。

師板書：三角形的內(nèi)角和。

【設(shè)計(jì)意圖】用數(shù)學(xué)家的勵(lì)志故事導(dǎo)入新課，從情緒上感染學(xué)生，激發(fā)興趣，喚起求知欲，同時(shí)也為數(shù)學(xué)文化的引出做了必要的鋪墊。

三、自主探究，學(xué)習(xí)新知

1.認(rèn)識(shí)“內(nèi)角”與“內(nèi)角和”。

師：既然是三角形的內(nèi)角和（貼銳角三角形），一個(gè)三角形有幾個(gè)內(nèi)角？

師：3個(gè)內(nèi)角在哪里？你能上來指給大家看嗎？

師：為了便于交流，把這三個(gè)內(nèi)角標(biāo)出來（邊說邊標(biāo)），∠1、∠2、∠3就是這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角。

師：那像直角三角形、鈍角三角形（貼在黑板上）的內(nèi)角你能標(biāo)出來嗎？（學(xué)生標(biāo)注）。

師：內(nèi)角找到了，那內(nèi)角和的意思是？

生：就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角加起來呀！

師：那三角形的內(nèi)角和是多少呢？

生：180°。

師：你們?cè)趺粗朗?80°呢？

【設(shè)計(jì)說明】“內(nèi)角”是相對(duì)于“外角”而言的。三角形相鄰兩邊所構(gòu)成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。三角形的角的一邊的反向延長(zhǎng)線與它相鄰邊組成的角叫做三角形的外角。小學(xué)只要求學(xué)生顧名思義，能指認(rèn)三角形的內(nèi)角即可。

2.探究，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過程。

（1）交待要求。

師：三角形的內(nèi)角和是不是180°呢？你有什么好辦法說明給大家看嗎？

師：咱們這樣，先任意畫一個(gè)三角形，把三角形的內(nèi)角像這樣標(biāo)出來，看看我們今天帶來了這么多的學(xué)習(xí)工具（剪刀、直尺、量角器），想一想，我要用什么辦法進(jìn)行研究，想好了就行動(dòng)。

（2）學(xué)生活動(dòng)，教師巡視。

（3）匯報(bào)交流。

師：好了，同學(xué)們，到了我們一起分享實(shí)驗(yàn)成果的時(shí)候了，誰愿意先來匯報(bào)你的實(shí)驗(yàn)成果？

【設(shè)計(jì)說明】筆者沒有直接給學(xué)生在課前準(zhǔn)備好三角形，這是因?yàn)閷W(xué)生畫的三角形更易出現(xiàn)測(cè)量誤差，而測(cè)量有誤差才能凸顯剪拼的優(yōu)勢(shì)。無論誰畫的三角形都能通過剪拼、折拼成平角，從而讓學(xué)生確信無疑：任何三角形的內(nèi)角和都是定值。

①量。

生：我是用量角器量出來的。

教師板書：量。

師：三個(gè)角分別是多少呢？

師：世界真是奇妙啊，畫的三角形不一樣，量出來的卻都是180°。

師：那咱們班有沒有量出來不是180°的呢？

師：看來，三角形的內(nèi)角和不確定啊。有時(shí)量出來剛好是180°，有時(shí)量出來不是180°，這是怎么回事呢？

師：哇，這位同學(xué)真的是投入研究了，他感受到有誤差。同學(xué)們回想一下，咱們量的時(shí)候，會(huì)不會(huì)碰到不是整度數(shù)的情況。有時(shí)比整度數(shù)多一點(diǎn)，算了，多一點(diǎn)的度數(shù)就……

生■：省略。

師：有時(shí)比整度數(shù)少點(diǎn)，干脆……

生：往前入一位。

師：是啊，同學(xué)們都有這樣的體會(huì)。正如這位同學(xué)所說，咱們?cè)诹康臅r(shí)候或多或少會(huì)有些誤差。

教師板書：誤差。

師：正是因?yàn)闇y(cè)量有誤差，僅靠量的辦法就得出結(jié)論，行嗎？

②剪拼。

師：那咱們班有沒有不同的方法？

師：呵，還真有啊，我很期待，趕快上來介紹介紹。

生■在展示臺(tái)上操作，先還原成三角形。

生■：我是把三角形的三個(gè)角剪下來，然后拼在一起，就是180°。

師：哦，剪拼成180°，三角形的三個(gè)角可以拼成什么角？（平角）

師：這倒是個(gè)新發(fā)現(xiàn)。是啊，其實(shí)咱們?cè)诓碌絻?nèi)角和是180°的時(shí)候，就應(yīng)該想到……（平角）

師：這么好的方法，我也想試一試。

教師示范過程如下：

圖2中∠2、∠3為剪下的部分，圖3、圖4為拼的過程。

師：你們“哇”什么呢？

生■：這么好的辦法，不用量，而且又方便。

師：你很會(huì)欣賞同學(xué)，善于向他人學(xué)習(xí)。

師：那對(duì)于這位同學(xué)的研究，你有什么問題要問他嗎？

生■：我就想知道拼成的那個(gè)角你說是平角，你有辦法驗(yàn)證嗎？

師：提得好，看起來像平角可不行，你有什么辦法驗(yàn)證嗎？

生■拿一把尺子驗(yàn)證。

師：是平角嗎？這個(gè)角的兩邊正好在同一條直線上，果然是平角。

③折拼。

師：除了剪拼法，其他同學(xué)還有不同的方法嗎？

生■：我還有，我就是這樣折在一起。

師：聽起來很有意思，能用我黑板上的大三角形演示給大家看嗎？

師：這位同學(xué)在剛才那位剪拼法的啟發(fā)下，又想到了折拼法，太棒了，這種方法你們能想到嗎？

師：這么有創(chuàng)造性的想法，你們想不想折折看？

師：那我們先一起來分享他是怎么折的。（把三角形還原，呈現(xiàn)三條折痕）

師：這位同學(xué)，折了3次，有3條折痕，上面這條，經(jīng)過了這兩點(diǎn)。（如圖5所示，紅筆標(biāo)上兩個(gè)紅點(diǎn)）

師：這個(gè)點(diǎn)在這條邊的什么位置？

生：中點(diǎn)。

師：好眼力。右邊這個(gè)點(diǎn)呢？

生：也是中點(diǎn)。

教師邊演示邊說：把這兩個(gè)中點(diǎn)連接起來，就是這條折痕。（如圖6所示）

師：那另外兩條折痕呢？

教師畫“┒”提示。（如圖7所示）

生：哦，中點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段。

師：沿著這三條線段進(jìn)行折拼，就能保證頂點(diǎn)對(duì)頂點(diǎn)，邊對(duì)邊。（圖7）

師：表面上看來簡(jiǎn)單的三條折痕里面卻隱藏著這么豐富的內(nèi)容。

（4）人人動(dòng)手實(shí)驗(yàn)。

師：剪拼法、折拼法能證實(shí)這幾位同學(xué)畫的三角形內(nèi)角和是180°。那么這兩種方法能證明你畫的三角形的內(nèi)角和是180°嗎？能還得……

生：動(dòng)手試試看。

師：說得好，那就請(qǐng)你們挑其中的一種方法來試試看，實(shí)驗(yàn)好了，可以和組內(nèi)的同學(xué)說一說。

學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)并交流。

師：你們的坐姿告訴我你們交流好了。

師：同學(xué)們，那直角三角形除了像剛才那樣折3次，還可以怎樣折拼？

生：只要折2次就好了。（學(xué)生示范直角三角形折拼法）

師：真是會(huì)學(xué)習(xí)的表現(xiàn)，在這位折拼法的啟發(fā)下，又想到了新的折拼法，看來同學(xué)們是越學(xué)越智慧。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在通過剪拼、折拼法得到什么結(jié)論（邊說邊板書：剪拼，折拼）。

生：得到三角形內(nèi)角和真的是180°。

【設(shè)計(jì)說明】通過“學(xué)生演示→教師及時(shí)示范（引導(dǎo)學(xué)生理解折拼法中三條折痕的由來）→人人動(dòng)手實(shí)驗(yàn)→再次交流實(shí)驗(yàn)新收獲”，讓學(xué)生在活動(dòng)中提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)閷W(xué)生個(gè)體之間的差異較大，因而學(xué)生之間的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也有很大的差異，而讓學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆磸?fù)體驗(yàn)，將感性、粗淺的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)通過數(shù)學(xué)化、邏輯化加以提升，形成對(duì)今后類似情境與活動(dòng)的指導(dǎo)。

（5）“帕斯卡方法”。

生：其實(shí)我還有一種方法，先畫一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形4個(gè)角都是直角，長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°，那么三角形的內(nèi)角和就是180°。

師：這個(gè)方法怎樣？

生：可以，但是只能證明直角三角形的內(nèi)角和啊，其他的三角形呢？

師：老師很欣賞這位同學(xué)，他和我們的數(shù)學(xué)大家帕斯卡前半部分想到的方法是一樣的，我們一起來看。（課件展示）

師：像這位同學(xué)一樣，他任意畫了一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°，把一個(gè)長(zhǎng)方形分成兩個(gè)完全一樣的直角三角形，其中一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是180°。那么他也像這位同學(xué)一樣，在思考，任意一個(gè)三角形呢？于是，他任意畫了一個(gè)三角形，并作高，誰看懂了他的意思？

生：任意一個(gè)三角形都可以被高分成兩個(gè)直角三角形。

師：這位同學(xué)的話抓到關(guān)鍵。任意一個(gè)三角形都可以被高分成兩個(gè)直角三角形。

生：兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和加起來等于360°，再減去多加的平角，剩下的∠1+∠2+∠3+∠4=180°，那么任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和就是180°。

師：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)常常需要比較，那么我們今天量、折拼、剪拼的方法和帕斯卡的方法有什么不一樣呢？

生：我們量的辦法有誤差，剪拼、折拼的方法需要用剪刀或者直尺。

師：帕斯卡的方法不需要量，不需要靠實(shí)驗(yàn)，只用我們數(shù)學(xué)中的推理、證明的方法。（板書：證明）

【設(shè)計(jì)說明】探索三角形內(nèi)角和的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力和科學(xué)探索精神的過程。不但讓學(xué)生掌握基本知識(shí)和基本技能，更重要的是讓學(xué)生獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法。通過與“帕斯卡證明過程”的比較，讓學(xué)生經(jīng)歷“已知→驗(yàn)證→實(shí)驗(yàn)→證明”的過程，而這也是數(shù)學(xué)化的過程。

四、小結(jié)

師：一起回顧這節(jié)課堂之旅，一開始同學(xué)們覺得三角形的內(nèi)角和是180°，然后通過量的方法，發(fā)現(xiàn)有誤差，之后又用了實(shí)驗(yàn)（剪拼、折拼）的方法來驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和真的是180°，帕斯卡的方法也能證明這一點(diǎn)。

師：那同學(xué)們能用今天所學(xué)的知識(shí)和方法來解決一些問題嗎？

五、練習(xí)

1. 基本練習(xí)。

已知三角形的兩個(gè)角，求另一個(gè)角的度數(shù)。

2. 綜合練習(xí)。

（1）求特殊三角形中未知角的度數(shù)。

（2）已知三角形的一個(gè)外角和其中一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，求未知角的度數(shù)。

3. 拓展練習(xí)。

（1）證明四邊形的內(nèi)角和。

（2）證明五邊形的內(nèi)角和。

4. 延伸（課外）練習(xí)。

證明六邊形、七邊形……n邊形的內(nèi)角和。

【設(shè)計(jì)說明】分層練習(xí)，滿足不同層次學(xué)生的認(rèn)知需求。從而以“容量”支持“質(zhì)量”，憑“坡度”促進(jìn)“效度”，體現(xiàn)務(wù)實(shí)有效的練習(xí)設(shè)計(jì)的態(tài)度，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)思維的發(fā)展。

（作者單位：上海市閔行區(qū)明強(qiáng)小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）