尋易錯之源，覓糾錯之道

在解有約束條件的二元不等式時，很多考生會利用不等式的性質來求解，但由于很多考生對不等式性質和解不等式只停留在機械記憶的層面上，所以很容易把范圍擴大也沒有察覺.究其原因：主要是考生沒有深刻理解不等式證明和解不等式的本質區別，因此我們必須要深刻理解解這類不等式易錯之源，覓其糾錯之道，下面筆者結合典型的例子一起去和大家去尋找其源與流.

一、展示錯解 根深蒂固

有以下這樣的一類解不等式題目，讓諸多考生“屢做屢錯”.

例1. 已知2≤a+b≤4，1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范圍.

錯誤展示1：由1≤a-b≤2…①

2≤a+b≤4…② ，①+②得3≤2a≤6，因此 6≤4a≤12…③，再由②-①得1≤2b≤2，因此-2≤-2b≤-1…④ ，③+④得4≤4a-2b≤11，所以4a-2b的取值范圍為[4，11].

錯誤展示2：由已知得1≤a-b≤2…①

2≤a+b≤4…②，①+②得3≤2a≤6，因此 6≤4a≤12…③，①×（-1）+②得0≤2b≤3，因此-3≤-2b≤0…④，③+④得3≤4a-2b≤12，所以4a-2b的取值范圍為[3，12].

【點評】通過調查發現，以上兩種解法是考生中最為普遍的做法，但讓他們再次仔細分析其過程，他們還是認為解法正確的，百思也不得其解，很難意識到自己的思維出現了問題，找不到問題的根源. 另外，就算有些考生能夠做出正確答案，也是因為用線性規劃來做或以前曾經做過這種類型，只是知其然而不知其所以然，這說明這種錯因具有隱蔽性、深刻性和普遍性的特征，這也足見其錯誤在考生中是根深蒂固的，這些都是由于考生在理解知識方面具有片面性，對深層知識與方法存在理解缺陷，受思維定勢嚴重干擾所致.

二、析錯明因 正本清源

認真分析上面的兩種“推理”的問題所在， 很值得我們深思！下面來進行深度分析，找出問題 “癥結”所在.

分析：錯誤展示1中，很多考生會憑借自己的經驗，其思維受解二元一次方程組的影響，通過消元求a、b的范圍，簡單地利用不等式的基本性質，“想當然”地簡單“拼”出4a-2b的范圍，究其原因，錯誤1中的主要是沒有認識到不等式的性質只能是同向不等式相加，不能相減，用②-①而導致出錯；而錯誤展示2表面看起來每一步都有理有據，很難看出其過程是否有問題.我們不妨來探究一下：當a=，b=0，滿足≤a≤3和0≤b≤這個條件，但是a+b=?[2，4]這就與已知矛盾，從中可以看出錯誤展示2的解法肯定有問題，為什么會產生這樣的情況呢？其實給出的條件中和是互相制約的，有其內在聯系，對求得的≤a≤3，0≤b≤來說，當a取最大值（或最小值）時，b不一定恰好取到最大值（或最小值），這只是求不等式組的必要非充分條件.如果能注意到a和b的制約關系，就會避免單獨解出a和b的取值范圍.再次審視其過程：以上做法的錯誤在于利用不等式性質中的加法法則，而此性質是單向的，不是充分必要條件，不具有可逆性，這樣就把a和b的取值范圍擴大了，這樣所求的取值范圍也隨著擴大.我們找到了問題的“癥結”所在之后，我們再次深度思考，為什么我們會存在這樣的思維“缺陷”和定勢呢？究其原因主要是考生對知識的理解存在缺陷：對不等式證明和解不等式的本質沒有區分開來，我們可以從充分條件、必要條件、充要條件角度來分析：（1）證明不等式本質：不等式的加法性質：“如果a>b，c>d，那么a+c>b+d”，從條件來看，結論a+c>b+d是條件a>b，c>d必要不充分條件，而我們證明不等式時一般是由條件（或從結論出發，逐步尋找結論的充分條件）出發，尋找正確的答案，這時是在尋找已知不等式的必要條件，所以證明不等式時不需要充要條件；（2）而解不等式（即求取值范圍）的本質是解集與已知不等式之間是充要條件關系（后者是前者的充要條件，即解不等式的過程是一個等價轉化的過程）.如解不等式組x≥1，

x≥2的解集為{x│x≥2}，而這個過程每一步都是要等價轉化的，如果由不等式加法性質來求，即2x≥3，從而得到x≥那就錯了.由此可見，我們解不等式（或求取值范圍）時，是從已知出發，逐步尋找充要條件，找每一步都是找前一步的充要條件（即要進行等價轉化，不能擴大或縮小其范圍）.現在我們再回過頭來看錯誤展示2，此題屬于求取值范圍問題，應該是求充要條件（每一步要等價轉化），但整個解題過程尋找的都是必要條件，這樣肯定出錯！

三、探窺解法 拓展提升

經過上述的深度剖析， 相信考生已經明白了錯誤根源所在，那我們對于這類錯誤有何糾錯之道？我們由上面分析可知：求取值范圍時只要保證每一步都進行等價轉化即可，即只要將a和b的值都保持在“函數”里，這樣就可以避免出錯，得如下解法1：設m=a+b，n=a-b，所以得a=

，

b=

，即得4a-2b=m+3n，此問題等價于“已知2≤m≤4，1≤n≤2，求m+3n的取值范圍.”再由2≤m≤4，1≤n≤2得5≤m+3n≤10，所以得4a-2b的取值范圍為[5，10]，此時a=，b=時，4a-2b取得最小值5，a=3，b=1，4a-2b取得最大值10.通過這樣處理我們就可以避免了錯解展示2的那種錯誤做法，我們再進一步審視：由前面的分析可知：a和b相互受到制約，并且由2≤a+b≤4和1≤a-b≤2可知不等式組表示一個可行區域，這時我們可以用線性規劃的方法來解決，得到解法2（利用線性規劃求解）：由已知得1≤a-b≤2，

2≤a+b≤4， 其可行域如上圖所示，即不等式組1≤a-b≤2，

2≤a+b≤4， 對應的實數（a，b）為圖中陰影部分上的點，設z=4a-2b，由圖可知：當在點A（，）時z=4a-2b取到最小值，當在點B（3，1）時z=4a-2b取到最大值，即a=，b=時，4a-2b取得最小值5，a=3，b=1，4a-2b取得最大值10，所以4a-2b的取值范圍為[5，10]，通過線性規劃來求4a-2b的取值范圍，避免了反復使用性質定理而導致范圍擴大，出現增根的現象，結果直觀明了，不易出錯.本題用線性規劃求解盡管不如不等式性質求解簡單，但也體現出以數論形的直觀性，說明線性規劃在解決這類不等式范圍問題中的優越性.為了更好鞏固以上解法，避免再次出錯，我們再來看2道拓展題，拓展1：已知f（x）=ax2-c，-4≤f（1）≤0，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范圍；（這道題容易出現的錯誤答案是10≤f（3）=9a-c≤，用以上同樣的兩種方法可得正確的參考答案是-≤f（3）=9a-c≤20.）拓展2：已知f（x）=ax2+bx+c，-4≤f（1）≤0，-1≤f（2）≤1，0≤f（3）≤3，求f（5）的取值范圍.（用同樣的方法可求得正確答案是

-20≤f（5）≤26.）

四、小試牛刀 刻骨銘心

通過上面的錯解分析和深度剖析，我們已經掌握易錯之源，尋覓到糾錯之道，這時我們只要再趁熱打鐵對下面的練習加以鞏固，那么我們的體會收獲將會更多！

1. 設a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，求a的值.（提示：考生會有這樣的錯誤：轉化為（1）（a-1）x-1≤0，

x2-ax-1≤0 或（2）（a-1）x-1≥0，

x2-ax-1≥0 在x>0時恒成立；正確參考答案：原不等式的等價條件為當x>0時，（a-1）x-1，x2-ax-1同號，記f（x）=（a-1）x-1，g（x）=x2-ax-1，題目就是要求出a使得在x>0時f（x）=（a-1）x-1的符號與g（x）=x2-ax-1的符號始終相同.顯然兩個函數圖像都過同一點（0，-1）.①當a=1時，因為（a-1）x-1<0，由二次函數的圖像知，不等式不成立，所以a≠1；②當a<1時，因為x>0，所以（a-1）x-1<0，不等式化為x>0時均有x2-ax-1≤0，因為二次函數g（x）=x2-ax-1的圖像開口向上，所以x2-ax-1≤0在x∈（0，+∞）上不能恒成立，所以a<1不成立；③當a>1時，函數f（x）=（a-1）x-1在x∈（0，+∞）上單調遞增，且與x軸交點為（，0），即當（0，）時，f（x）<0，當（，+∞）時，f（x）>0，而二次函數g（x）=x2-ax-1的對稱軸為x=>0，則必有g（x）=x2-ax-1與x軸交點與（，0）重合，命題成立.即（，0）在g（x）圖像上，所以有（）2-x-1=0，整理得2a2-3a=0，解得a=，a=0（舍去），綜上可知a=）

2. 若二次函數y=f（x）的圖像經過原點，且1≤f（-1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍.（提示：可用上面介紹的兩種方法來處理，參考答案：[6，10]）

3. 已知-≤α≤β≤，求2α-β的取值范圍.（提示：可用上面介紹的兩種方法來處理，參考答案：[-，]）

4. 已知6

總之，在利用不等式性質求解不等式范圍時，要正確理解其性質，切不可盲目濫用，應注意不等式的應用方向，在解題過程中，要時刻保證等價轉化（可以從充要條件來理解），抓住這一點，就可以避免范圍擴大、性質失效的現象.同樣也可以轉化思路，利用數形結合（線性規劃）的方法來求解.因此用以上兩種方法來求解往往可以避免錯誤的發生，從而達到正確求解的目的.當然這還需要我們不斷去領悟、體會和總結，從而真正尋到易錯之源，覓到糾錯之道.