以形助數(shù)，對等差數(shù)列前n項和Sn的最值分析

由于數(shù)列本身就是定義域為正整數(shù)集（或其有限子集{1，2，3，…，n}）的特殊函數(shù)，故在解決等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，若能借用初等函數(shù)已有的圖像性質(zhì)來求最值，以形助數(shù)，或許會收到事半功倍的效果.

下面將從Sn固有的函數(shù)關(guān)系式的圖像入手，分析等差數(shù)列前n項和Sn的最值問題.

一、問題提出

【例題】等差數(shù)列{an}中，a1<0，Sn為前n項和，且S3=S16，則Sn取最小值時，n的值為（ ）

A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11

【分析】注意到等差數(shù)列中Sn=n2+a1

-n，設(shè)Sn所對應(yīng)的二次函數(shù)為f（x）=x2+a1

-

x，x∈R，易知其必有一個零點為0；由S3=S16可知d>0（否則必有S3≠S16），故f（x）的二次項系數(shù)為正，拋物線開口向上；因a1=S1<0，故（1，S1）位于第四象限；又因S3=S16，故其對稱軸方程為x=，即x=.綜合以上特點，Sn的圖像應(yīng)類似圖1中依附在拋物線上的孤立的點.觀察此圖，Sn取最小值時，正整數(shù)n的值應(yīng)取最靠近對稱軸的n，即n取9或10.

【解答】由上面分析可知，答案選C.

【點評】以形助數(shù)，方便快捷.由于二次函數(shù)圖像的對稱性，一旦給出關(guān)系式Sm=Sn，則可以知道拋物線的對稱軸方程為x=！結(jié)合拋物線開口向上，便知Sn應(yīng)在拋物線頂點附近取得最小值.倘若不借助圖形信息，僅依靠邏輯推理與運算來求Sn的最值，過程大致為：

由S3=S16需推出d=-a1>0，再推算出Sn=-n（n-19），經(jīng)過配方可得，當(dāng)n的值為9或10時Sn取最小值.若想完滿解決，不具備一定的推理與運算能力還真不行.

二、最值分析

在等差數(shù)列中，課本常見的前n項和Sn的兩種形式為：

（1） Sn=；（2） Sn=na1+d.

而第（2）種形式整理得： Sn=n2+a1

-n. 設(shè)f（x）=x2+a1

-x，x∈R，下面通過對f（x）的分析來更好的認(rèn)識Sn：

①由于f（x）中常數(shù)項為零，故其圖像始終經(jīng)過坐標(biāo)原點O（0，0）；

②當(dāng)d≠0時，f（x）的圖像為拋物線，與橫軸的兩個交點為O（0，0）、1

-，0，其對稱軸方程為x=-，過兩交點的中點. d>0時，拋物線開口向上，如圖2；d<0時，拋物線開口向下；

③當(dāng)d=0（a1≠0）時，f（x）=a1x為正比例函數(shù).

（一）Sn的最值分析

由f（x）的圖像可得Sn的最值情況：

1. 當(dāng)公差 d>0，首項a1>0時，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=-<，因為n∈N?，故在對稱軸右邊Sn單調(diào)遞增，S1最小，無最大值.其圖像如圖3.

2. 當(dāng)公差 d>0，首項a1=0時，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=，故在對稱軸右邊Sn仍然單調(diào)遞增，S1=0最小，無最大值.其圖像如圖4.

3. 當(dāng)公差 d>0，首項a1<0時，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=->，故Sn在對稱軸左邊單調(diào)遞減，在對稱軸右邊單調(diào)遞增，所以Sn存在最小值，無最大值.當(dāng)取最靠近對稱軸的正整數(shù)n的值時，Sn最小；若正整數(shù)n1、n2都同樣較靠近對稱軸，則當(dāng)n=n1或n=n2時，Sn最小，此時，（Sn）min= = ，如圖5.

4. 當(dāng)公差 d<0，首項a1>0時，拋物線開口向下，對稱軸方程為x=->，故Sn在對稱軸左邊單調(diào)遞增，在對稱軸右邊單調(diào)遞減，所以Sn存在最大值，無最小值.當(dāng)取最靠近對稱軸的正整數(shù)n的值時，Sn有最大值；若正整數(shù)n1、n2都同樣較靠近對稱軸，則當(dāng)n=n1或n=n2時，Sn最大，此時，（Sn）max= = ，如圖6.

在求等差數(shù)列的前項n和Sn的最值時，應(yīng)理解把握a1d<0時出現(xiàn)的第3、第4種情形.

5. 當(dāng)公差d<0，首項a1=0時，拋物線開口向下，對稱軸方程為x=，因為n∈N?，故在對稱軸右邊Sn單調(diào)遞減，S1=0為最大值，無最小值.其圖像如圖7.

6. 當(dāng)公差d<0，首項a1<0時，拋物線開口向下，對稱軸方程為x=-<，故在對稱軸右邊Sn單調(diào)遞減，a1=S1為最大值，無最小值.其圖像如圖8.

7. 若公差d=0，Sn=a1n，當(dāng)首項a1>0時，S1=a1最小，Sn無最大值；當(dāng)首項a1<0時，S1=a1最大，Sn無最小值.

（二）Sn的變式

若知道拋物線f（x）頂點的橫坐標(biāo)為n0，如圖9，則拋物線的兩個零點必為0、2n0，這時等差數(shù)列的前n項和Sn可設(shè)為Sn=An（n-2n0），再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù)A的值，從而求得Sn的具體表達(dá)式，以解決實際問題.

三、練習(xí)實踐

結(jié)合前面的分析，完成下面三組練習(xí)，用實踐來檢驗自己.

【題組一】

1. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1>0，S3=S15，該數(shù)列前多少項的和最大？

2. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前項n和為Sn，且Sp=Sq，求Sp+q的值.

3.已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99.以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是（ ）

A. 21 B. 20 C. 19 D. 18

【參考答案】

1. 由已知可得d<0，Sn所對應(yīng)的拋物線開口向下；又由S3=S15可得拋物線的對稱軸方程為n=9，所以該數(shù)列前9項的和最大.

2. 在d=a1=0這一特殊情況下，Sp+q=0；若d≠0時，Sn為二次函數(shù)，所對應(yīng)的圖像為拋物線.無論拋物線的開口向上還是向下，由Sp=Sq得拋物線對稱軸方程為x=，故拋物線與橫軸的兩個交點中，除原點外的另一個交點坐標(biāo)為（p+q，0），故Sp+q=0.綜合可得：Sp+q=0.

3. a1+a3+a5=105……①，a2+a4+a6=99……②，由②-①得d=-2，代入①得3a3=3（a1+2d）=105，解得：a1=39，由對稱軸方程為x=-，即x=-，即x=20，故選B.

【題組二】

1. 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=15，S7=S9，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值.

2. 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1>0，且a7=3a11，則Sn中最大的是（ ）

A. S12 B. S14 C. S12或S13 D. S13或S14

3. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，則當(dāng)Sn取最小值時，n等于（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【參考答案】

1. 由S7=S9可得Sn所對應(yīng)的拋物線的對稱軸方程為x=，即n=8，故拋物線的兩個零點為0和16.設(shè)Sn=An（n-16），由S1=A×1×（1-16）=a1=15，得A=-1，∴n=8時，（Sn）max=-1×8×（8-16）=64.

2. 由a7=3a11，得a1+6d=3（a1+10d），化簡為=-12，因為a1>0，故d<0，Sn所對應(yīng)的拋物線開口向下，由對稱軸方程x=-，即x=-（-12），即x=12，所以S12或S13最大，故選C.

3. 在等差數(shù)列中，由a4+a6=2a5=-6，得a5=-3，又a1=-11，故d==2.因為d>0，所以Sn所對應(yīng)的拋物線開口向上，故Sn有最小值.由拋物線的對稱軸方程x=-，即x=6可知應(yīng)選A.

【題組三】

1. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S10<0，S11>0，則S1，S2，…，S10中值最小的是 （ ）

A. S4 B. S5 C. S6 D. S10

2. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S15<0，a7+a10>0，求當(dāng)n為何值時，Sn最小.

3.設(shè)Sn是公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是（ ）

A. 若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項

B. 若數(shù)列{Sn}有最大項，則 d<0

C. 若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意的n∈N?，均有 Sn>0

D. 若對任意的n∈N?，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

4. 數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an>0，=（an+2）.若bn=an-22，求數(shù)列 {bn}的前n項和Tn的最小值.

【參考答案】

1. 由Sn的特點與S10<0，S11>0，可得Sn所對應(yīng)的拋物線開口向上.設(shè)拋物線的對稱軸方程為x=x0，則拋物線的兩個零點為0和2x0. 因為S10<0，S11>0，則2x0∈（10，11），即x0∈（5，5.5），由于正整數(shù)n=5離對稱軸最近，故S5的值最小，選B.

2. 由于S16=×16=×16，根據(jù)已知可得：S16>0，又S15<0，故Sn所對應(yīng)的拋物線開口向上，設(shè)拋物線的對稱軸方程為x=x0，則拋物線的兩個零點為0和2x0，因為S15<0，S16>0，則2x0∈（15，16），即x0∈（7.5，8），由于正整數(shù)n=8離對稱軸最近，故當(dāng)n=8時，S8的值最小.

3. 選C.設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，由Sn=n2+a1

-n可知Sn有最大值時d<0，故A、B正確；因為數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，不妨舉一反例：-1，0，1，2，3，…但S1=-1<0，故C錯誤；對任意n∈N?，均有Sn>0時，a1>0，d>0，數(shù)列{Sn}必是遞增數(shù)列，D正確.

4. 由=（an+2），得Sn=（an+2）2，又由an+1=Sn+1-Sn=（an+1+2）2-（an+2）2，得8an+1=（an+1+2）2-（an+2）2，即（an+1-2）2-（an+2）2=0，即（an+1+an）（an+1-an-4）=0，由于an>0，所以an+1+an>0，故an+1-an=4，因此數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為4.由a1=S1=（a1+2）2，解得a1=2.所以an=4n-2，故bn=2n-23，數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列，由b1=-21，公差為d=2>0，可知Tn所對應(yīng)的拋物線開口向上，由拋物線的對稱軸方程x=-，即x=11，可知當(dāng)n=11時，T11有最小值.此時T11=11×（-21）+×2=-121.

四、感悟升華

當(dāng)公差 d=0時，等差數(shù)列{an}的前n項和Sn的最值問題如前面所述相對簡單；當(dāng)公差d≠0時，在求Sn的最值中，必需熟練掌握 d>0，

a1<0與 d<0，

a1>0的求解最值的方法，要求達(dá)到想圖或畫圖即能作答的境界.為更好把握這兩種情況，熟練求出Sn=n2+a1

-n的最值，請理解并記憶下面的圖形的最值情況，在實踐中靈活運用.如圖10.

以形助數(shù)，在解決等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，借用已有的函數(shù)圖像性質(zhì)，的確能事半功倍！