膜結構大變形分析的向量式有限元4節(jié)點膜單元

摘要：基于向量式有限元基本原理，首先推導了4節(jié)點膜單元的基本公式，詳細闡述了通過逆向運動獲得單元節(jié)點純變形位移的過程，以及進一步通過變形坐標系獲得單元節(jié)點內(nèi)力的求解方法；同時對4節(jié)點膜單元的位置模式和內(nèi)力計算的數(shù)值積分等問題提出了合理可行的處理方法。在此基礎上編制了4節(jié)點膜單元的計算分析程序，通過算例分析驗證了理論公式和所編制程序的正確性和有效性，進而將本文方法應用于氣枕充氣和布料懸垂等膜結構大變形大轉動問題的計算分析。

關鍵詞：膜結構；向量式有限元；4節(jié)點膜單元；變形；位置模式

中圖分類號：TU383

文獻標志碼：A

文章編號：1674-4764（2013）04-0060-08

膜結構是一種被廣泛使用的柔性結構，僅有很小的抗壓或抗彎剛度，面外荷載作用下容易產(chǎn)生大變形大轉動甚至發(fā)生皺折，具有較強的幾何非線性效應。傳統(tǒng)的非線性有限元法基于拉格朗日應變方程和Newton-Raphson迭代技術，采用忽略抗彎剛度的薄膜單元進行膜結構分析。文獻[1]進行了張拉膜結構的找形和荷載分析，文獻[2]對正交異性的預應力膜結構進行了荷載及褶皺分析，文獻[3]比較了平面三角形膜單元和曲面三角形等參元在膜結構找形分析中的優(yōu)劣，文獻[4]對具有自適應網(wǎng)格的布料運動進行了數(shù)值模擬。有限元法計算精度較高，但在大變形大轉動下容易由于剛體位移導致剛度矩陣奇異而迭代不收斂。在建筑膜結構領域，力密度法^[5]和動力松弛法^[6]也是重要的分析方法。力密度法將膜離散為等代的索網(wǎng)結構，引入力密度并轉化為線性方程組問題來獲得近似求解結果。文獻[7]將力密度法由索桿單元擴展至三角形面單元。該法計算簡單，但得到的找形初始位形會存在較大誤差。動力松弛法通過加入阻尼對節(jié)點采用動力學過程來獲得最終靜力平衡狀態(tài)，主要應用于索網(wǎng)結構的找形分析，文獻[8]采用平面三角形膜單元進行了膜結構的找形分析。在布料運動仿真模擬領域，為滿足實時性要求，通常采用簡化的質(zhì)點-彈簧模型^[9-10]進行布料運動數(shù)值模擬。文獻[11]引入對彈簧的約束機制來克服由于彈簧強度過大造成的布料抖動和強度過小造成的超彈性現(xiàn)象。該法計算簡單快速，但在力學建模和數(shù)值計算的精確度上較差。文獻[12]則采用有限體積法對織物布料的運動進行了分析模擬。

向量式有限元^[13-15]是一種基于點值描述和向量力學理論的新型分析方法。該方法以質(zhì)點的運動來描述體系行為，其計算流程是逐點逐步循環(huán)，不存在單元剛度矩陣和矩陣奇異問題，且無需求解復雜的非線性聯(lián)立方程組，即也不存在迭代不收斂問題。通過引入逆向運動和變形坐標系，可消除剛體位移所帶來的數(shù)值誤差。因此向量式有限元非常適合于大變位大轉動的結構和機構運動問題的分析。已有學者在向量式有限元膜單元開發(fā)方面做了一些工作^[16-17]。

本文首先推導4節(jié)點膜單元的向量式有限元基本公式，描述運動解析的原理及變形坐標系下單元節(jié)點內(nèi)力的求解方法，同時對4節(jié)點膜單元的位置模式和內(nèi)力計算的數(shù)值積分等問題提出合理可行的處理方法；編制計算分析程序，并通過算例分析驗證理論公式和程序的正確性和有效性。

1基本公式推導

向量式有限元的基本原理是將結構離散為有質(zhì)量的質(zhì)點和質(zhì)點間無質(zhì)量的單元，通過質(zhì)點的動力運動過程來獲得結構的位移和應力情況，質(zhì)點間的運動約束通過單元連接來實現(xiàn)（本文為平面4節(jié)點4邊形等參單元）。質(zhì)點a的運動滿足質(zhì)點平動微分方程（α=0時即為牛頓第二定律）：

圖12給出了布料在重力作用下幾個典型時刻（t=0.10、 0.20、0.25、0.30、0.35、0.40 s）的懸垂變形圖。由圖12可知，布料在重力作用下四角首先開始出現(xiàn)對稱性懸垂下擺，并出現(xiàn)4條明顯的折痕線；接著布料四角下擺變形逐漸增大，各部分交界處相互靠近趨于明顯；最后布料下擺變形繼續(xù)增大直至角端處于最低點位置的變形狀態(tài)為止。

由于本例并未考慮布料自身的接觸行為，在t=0.30 s后布料各部分交界已出現(xiàn)非真實的相互穿透現(xiàn)象，需通過加入碰撞機制才能進行消除。盡管如此，本例仍體現(xiàn)了本文方法可有效模擬物體運動而進行結構大變形仿真運動分析。

4結論

1） 基于向量式有限元，推導了4節(jié)點膜單元的基本公式，詳細闡述了通過逆向運動處理膜單元的平面內(nèi)、外剛體位移從而獲得單元節(jié)點純變形位移的過程，以及進一步通過變形坐標系獲得單元節(jié)點內(nèi)力的求解方法；同時對4節(jié)點膜單元的位置模式和內(nèi)力計算的數(shù)值積分等問題提出了合理可行的處理方法。

2） 編制了向量式有限元4節(jié)點膜單元的計算分析程序，并通過算例分析驗證了理論推導和所編制程序的正確性和有效性。進而將本文方法應用于氣枕充氣和布料仿真運動模擬，跟蹤獲得其大變形大轉動全過程。

3） 向量式有限元可有效克服傳統(tǒng)有限元中由于剛體運動及大變形引起的剛度矩陣奇異和計算不收斂等問題，在膜結構的大變形大轉動分析中具有一定的優(yōu)勢。

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（編輯郭飛）