淺談一個(gè)幾何模型及其應(yīng)用

現(xiàn)如今，隨著素質(zhì)教育的進(jìn)展，“數(shù)形結(jié)合”的思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用程度越來越大，同時(shí)對(duì)于教學(xué)的改革產(chǎn)生深遠(yuǎn)和積極的影響。本文以北師大初中數(shù)學(xué)教材為例，系統(tǒng)論述幾何模型的具體應(yīng)用方法。

一、通過幾何模型更直觀清晰地找到數(shù)量關(guān)系，有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的拓寬

幾何模型在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用甚廣，更為重要的是，學(xué)習(xí)幾何根本就離不開模型。借由幾何模型，學(xué)生們會(huì)在理解數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，更好地理清其中的數(shù)量關(guān)系，也能加深學(xué)生們對(duì)幾何概念、模型的印象。

例如，學(xué)習(xí)北師大初中數(shù)學(xué)“平行線的性質(zhì)定理”時(shí)，教師就要先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)教材中的平行線模型（圖一），并拿之前學(xué)過的“相交”的概念，通過兩種模型的比照，生動(dòng)形象地引出平行線的定義。學(xué)生們通過仔細(xì)觀察、分析幾何模型，便知道平行線是不相交的兩條直線，并且還是在同一個(gè)平面內(nèi)，稱其中一條直線是另外一條直線的平行線。學(xué)生們只有在認(rèn)識(shí)、了解平行線概念后，教師才會(huì)擴(kuò)大平行線模型的應(yīng)用范圍，學(xué)生們通過模型，便能理解、熟悉平行線的性質(zhì)——“兩直線平行，同位角相等”。與此同時(shí)，驗(yàn)證一個(gè)定理后，也能利用該模型證明其他平行線的性質(zhì)，通過“∠3=∠4”這個(gè)數(shù)量關(guān)系，根據(jù)“對(duì)頂角相等”和等量代換，得出∠3的對(duì)頂角和∠4相等，這也驗(yàn)證了“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”。相應(yīng)地，∠3的補(bǔ)角與∠3的和是180度，∠3=∠4，進(jìn)而推導(dǎo)出∠3的補(bǔ)角和∠4之和是180度，也就是說：“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”。由此表明，由幾何模型，學(xué)生們學(xué)起幾何來便不用死記硬背概念，往往通過證明一個(gè)性質(zhì)，便能觸類旁通、推而廣之，有利于驗(yàn)證更多的定理，并加深理解，進(jìn)而發(fā)揮幾何模型對(duì)定理證明的作用。

二、由幾何模型證明定理或公式的嚴(yán)密性和準(zhǔn)確性

眾所周知，初中數(shù)學(xué)的不少定理、公式均由幾何模型證明而來，幾何模型的應(yīng)用本身便帶有濃郁的邏輯色彩，成為活躍學(xué)生數(shù)學(xué)基本學(xué)科思維、培養(yǎng)自主創(chuàng)新能力的重中之重。

例如，學(xué)習(xí)北師大數(shù)學(xué)教材“四邊形內(nèi)角和定理”時(shí)，作為一個(gè)全新的內(nèi)容，學(xué)生們難免會(huì)產(chǎn)生陌生的情緒。幸好有幾何模型這一輔助工具，可使幾何知識(shí)學(xué)起來不再感到單調(diào)與乏味，而是變得異常豐富與生動(dòng)。在學(xué)習(xí)時(shí)，教師不能讓學(xué)生單單記住定理的內(nèi)容，更重要的是理解、學(xué)會(huì)了多少，這才是衡量初中數(shù)學(xué)教學(xué)效益的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生們學(xué)會(huì)推導(dǎo)、證明這個(gè)幾何命題是教學(xué)的重中之重，大家也要充分地意識(shí)到掌握幾何模型的分析方法比熟練記憶同樣的定理更有意義、更能鍛煉數(shù)學(xué)邏輯思維。教師可分小組請(qǐng)學(xué)生們探討任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和，起初，學(xué)生們會(huì)顯得束手無策，想到既然證明、便要用幾何方法構(gòu)筑一個(gè)新模型。教師可提醒正在熱烈爭論的學(xué)生：必要時(shí)可運(yùn)用一些“幾何解題手段”，三角形的內(nèi)角和定理算是一個(gè)已知條件，學(xué)生們便會(huì)根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度，想到在四邊形里構(gòu)造出三角形，由此轉(zhuǎn)化為“三角形的內(nèi)角和”問題，大家想到可做幾何輔助線（如圖三），延長BA、CD相較于一點(diǎn)E，則有可在一個(gè)大三角形BCE中，很容易的找到角之間的數(shù)量關(guān)系，相減便得到四邊形的內(nèi)角和是360度；另外一種輔助線的做法是連接四邊形的任意兩條對(duì)角線，將四邊形分成兩個(gè)三角形，則證得任意四邊形內(nèi)角和是360度。

三、借由多媒體展示幾何模型，方便學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)的理解和掌握

現(xiàn)如今，在素質(zhì)教育的新形勢(shì)下，運(yùn)用多媒體這一前沿的網(wǎng)絡(luò)技術(shù)手段展示幾何模型已成為初中數(shù)學(xué)教改的必然趨向。眾所周知，多媒體因其視聽結(jié)合、圖文并茂、展現(xiàn)信息量大的優(yōu)勢(shì)特征，在教育界深受好評(píng)。毋庸置疑，初中生的好奇心強(qiáng)烈，數(shù)學(xué)智力已獲得相當(dāng)程度的開發(fā)，因而運(yùn)用多媒體教學(xué)對(duì)于幾何模型的應(yīng)用是非常必要的。

例如，學(xué)習(xí)北師大數(shù)學(xué)版本“直線、線段、射線的定理”時(shí)，教師可用多媒體展現(xiàn)生活中的幾何場景，讓學(xué)生們“對(duì)號(hào)入座”，從生活中了解幾何模型。只見有三張圖片：一張是高速公路、一張是一根筷子、還有一張是手電筒的光束。依據(jù)多媒體關(guān)于三個(gè)新幾何概念的定義，再結(jié)合生活中的“幾何模型”，學(xué)生們心中便能理清從往兩端無限延伸的是直線、固定兩個(gè)端點(diǎn)的是線段、固定一端向另一端無限延長的是射線。在營造趣味化的幾何模型時(shí)，學(xué)生們運(yùn)用幾何模型的 自主探索的積極性會(huì)有大幅度提高。

四、由模型進(jìn)行相應(yīng)的“幾何變換”，拓寬幾何研究的領(lǐng)域

充分運(yùn)用各種教學(xué)插圖，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)資源的配置，嚴(yán)格根據(jù)幾何模型完成相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，從模型中獲得啟發(fā)、完成相應(yīng)的幾何知識(shí)點(diǎn)的拓展空間。

例如，學(xué)習(xí)“正方形的性質(zhì)特征”時(shí)，教師可先拿一個(gè)平行四邊形作為研究的幾何模型，接著加上“四個(gè)角均是直角”這一條件，則成了矩形；平行四邊形的“四條邊相等”就是菱形；矩形的四條邊相等便是正方形。由此可見，由幾何模型拓展數(shù)學(xué)的研究范圍，更有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的深化和完善。

結(jié)語：

幾何模型在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛，教師要充分地推進(jìn)模型與數(shù)學(xué)知識(shí)的完美結(jié)合，引領(lǐng)學(xué)生通過模型揣摩幾何知識(shí)，全方位的推進(jìn)教學(xué)效果的事半功倍。

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