數(shù)列知識在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：運用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力，在歷年的高考大綱中都是一項必不可少的能力要求。近年來，數(shù)學(xué)與物理相結(jié)合的問題更是高考的熱點，也是難點。而有關(guān)數(shù)列知識的應(yīng)用在高考物理試題中出現(xiàn)的頻率越來越高。所以，重視數(shù)列知識在物理題中的應(yīng)用范圍及其應(yīng)用的方法，是廣大考生在高考備考中不容忽視的重要環(huán)節(jié)。而本文將對此類問題作簡要的歸納和分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)列知識；高中物理；應(yīng)用

凡涉及數(shù)列求解的物理問題，都具有多過程、重復(fù)性的共同特點。但每一個重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，是一種變化了的重復(fù)。隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著“前后有聯(lián)系的變化”。而該類問題求解的關(guān)鍵是確立相關(guān)物理量的數(shù)列關(guān)系，在此過程中涉及到的基本方法有兩種：方法一、數(shù)學(xué)歸納法：（1）逐個分析開始的幾個物理過程；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法從中找出物理量的變化通項公式；方法二、遞推公式法：（1）分析物理過程，確立物理過程的重復(fù)特點；（2）利用相關(guān)量第n項與第（n-1）項的遞推關(guān)系找出物理量的變化通項公式。

有些物理問題中還需要用到等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計算

題1：（07全國I）24（18分）如圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛。現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點處與金屬球發(fā)生彈性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場。已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c處。求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°。

方法一：數(shù)學(xué)歸納法

設(shè)：小球m的擺線長度為l，小球m在下落過程中與M相碰之前滿足機(jī)械能守恒： ①

m和M碰撞過程滿足： ②

③

聯(lián)立②③得： ④

說明小球被反彈，而后小球又以反彈速度和小球M發(fā)生碰撞，滿足：

⑤

⑥

解得： ⑦

整理得： ⑧

所以： ，即 ⑨

而偏離方向為450的臨界速度滿足： ⑩

聯(lián)立①⑨⑩代入數(shù)據(jù)解得，當(dāng)n=2時，

當(dāng)n=3時， 所以，最多碰撞3次。

評析：本題有重復(fù)碰撞的過程，且每次碰撞的前后均滿足動量守恒和機(jī)械能守恒，每次碰撞后速度逐漸變小，利用兩個守恒式推出兩球碰撞后的速度的大小，通過數(shù)學(xué)歸納找到各次碰后速度大小的聯(lián)系，從而得出碰后速度的通項公式 ，再利用上擺過程機(jī)械能守恒建立碰撞次數(shù)與擺角的關(guān)系進(jìn)行求解。

方法二：遞推公式法

解：設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn-1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn、Vn。由于碰撞過程中動量守恒、碰撞前后動能相等，設(shè)速度向左，則：

解得：

依題 （公比為 的等比數(shù)列）

第n次碰撞后絕緣球的動能為：

E0為第1次碰撞前的動能，即初始能量

絕緣球在θ=θ0=60°與θ=45°處的勢能之比為：

經(jīng)n次碰撞后有：

易算出（0.81）2=0.656，（0.81）3=0.531，因此，經(jīng)過3次碰撞后θ小于45°。

評析：方法二直接利用動量守恒與機(jī)械能守恒建立第n次碰撞前后的關(guān)系從而得出第n項的遞推公式 和 而解決問題。

近年高考中涉及數(shù)列知識應(yīng)用的題目平時并不多見，下面再以兩道習(xí)題去進(jìn)一步熟悉等差數(shù)列求和、等比無窮數(shù)列求和知識在高中物理中的應(yīng)用：

題2：如圖所示，在傾角θ=30°且足夠長的斜面上分別固定著兩個相距L=0.2m的物體A、B，它們的質(zhì)量mA=mB =1kg，與斜面間的動摩擦因數(shù)分別為 和 。在t = 0時刻同時撤去固定兩物體的外力后，A物體將沿斜面向下運動，并與B物體發(fā)生連續(xù)碰撞（碰撞時間極短，忽略不計），每次碰后兩物體交換速度。g取10m/s2。求：

（1）A與B第一次碰后瞬時B的速率？

（2）從A開始運動到兩物體第二次相碰經(jīng)歷多長時間？

（3）從A開始運動至第n次碰撞時A、B兩物體通過的路程分別是多少？

解：A物體沿斜面下滑時：

B物體沿斜面下滑時有：

（1）由上面可知，撤去固定A、B的外力后，物體B恰好靜止于斜面上，物體A將沿斜面向下做勻加速直線運動.

A與B第一次碰撞前的速度 ，

故A、B第一次碰后瞬時，B的速率

（2）從A開始運動到第一次碰撞用時： ，

兩物體相碰后，A物體的速度變?yōu)榱悖院笤僮鰟蚣铀龠\動，而B物體將以

的速度沿斜面向下做勻速直線運動。

設(shè)再經(jīng)t2時間相碰，則有 ，解之可得t2=0.8s。

故從A開始運動到兩物體第二次相碰，共經(jīng)歷時間：t=t1+t2=0.4+0.8=1.2s 。

（3）第二次碰前A速度為2m/s，B速度為1m/s，碰后A、B交換速度，第二次碰后B 速度為2m/s， A速度為1m/s，設(shè)碰后至下次碰撞經(jīng)歷的時間為Δt，則有

碰后A、B交換速度，碰后B的速度均要比A的速度大1m/s。

即Δt = 0.8 s

同理第n次碰后到第（n+1）碰撞， Δt = 0.8 s

從第2次碰撞開始，每次A物體運動到與B物體碰撞時，速度增加量均為Δv=at2=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交換，因而每次碰后B物體的速度增加1m/s，即

第一次碰后： vB1=1m/s

第二次碰后： vB2=2m/s

第三次碰后： vB3=3m/s

……

第n次碰后： vBn = n m/s

每次碰后的速度為一等差數(shù)列

每段時間內(nèi)，B物體都做勻速直線運動，則第n次碰前所運動的距離為

sB=[1+2 + 3 + …… + （n-1）]×Δt = m （n=1，2，3，……，n-1）

A物體比B物體多運動L長度，則

sA = L+sB = [0.2 + ] m （n=1，2，3，……，n-1）

評析：本題第（3）問通過數(shù)學(xué)歸納法得出第n次碰后B物體的速度公式vBn=n m/s （n=1，2，3，……，n-1），再利用等差數(shù)列求和得出最終結(jié)果。

題3：如圖所示，質(zhì)量M=lkg的平板小車右端放有質(zhì)量m=2kg的物塊（可視為質(zhì)點），物塊與車之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。開始時二者一起以v0=6m/s的速度向左端的光滑水平面上運動，并使車與墻發(fā)生正碰，設(shè)碰撞時間極短，且碰后車的速率與碰前的相同，車身足夠長，使物塊不能與墻相碰（g=10 m/s2）求：

（1）物塊相對于小車的總位移S是多少？

（2）小車與墻第一次相碰后小車所走的總路程SM為多少？

解：（1）由于 m>M，兩者以共同速度與墻相碰后，物塊的動量大小比車的動量大，由于滑動摩擦力的作用，兩者必會又以共同速度再次與墻相碰，如此反復(fù)直到兩者一起停止在墻角邊為止，設(shè)物塊相對于車的位移為S，由能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得：

解得：s=5.4m

（2）設(shè)v1=v0，車與墻第n次碰后邊率為vn，則第（n+1）次碰后速率為vn+1，對物塊與車由動量守恒得：

mvn-Mvn =（m+M）vn+1

所以，vn+1= = vn = 。

車與墻第（n+1）次碰后最大位移

可見車每次與墻碰后的最大位移是一個等比數(shù)列，其q=1/9，所以車與墻碰后的總路程

SM =2（S1+S2+…+Sn+…）= 2S1·（1十 十…+ +…）=

車第一次與墻碰后最大位移 S1= /2a= /2a， a=μmg/M=10m/s2

可算得 S1= m=1.8 m 所以SM= m=4.05m

評析：本題根據(jù)動量守恒定律，用遞推公式法得出第（n+1）次碰后速率vn+1與第n次碰后速率vn和碰后最大位移的通項公式vn+1= 和 ，再利用等比無窮數(shù)列求和得出最終結(jié)果。

以上的例題充分地展示出數(shù)列知識在物理教學(xué)中的應(yīng)用，運用數(shù)列知識可以使物理問題變得簡單起來。因此，教師對此要多總結(jié)、多歸納，這樣才能使物理教學(xué)的效率得以提高。

作者單位：廣西賓陽中學(xué)

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