例談初中數學錯誤資源的有效利用

摘要：錯誤是學生真實思維的暴露，只有將“錯”分析得深，學生才能對“對”理解得透。本文結合筆者的教學實踐，從正視錯誤、預設錯誤、活用錯誤、反思錯誤四個方面，論述如何有效利用錯誤資源，打造高效精彩的數學課堂。

關鍵詞：初中數學；錯誤資源；有效利用

錯誤是學習過程中的產物，它是伴隨學生一起成長起來的。學習中出現的各種各樣的錯誤都是十分正常的現象，教師不必對此而大驚小怪，更不能視其為“洪水猛獸”。其實，錯誤恰恰是學生解題時的真實思維的暴露，如果能夠對這些錯誤合理地加以利用，往往能收到意想不到的效果。它對教師研究學生思維、反思教學行為、調動學生積極性、培養學生的探究能力等方面都起到重要的作用。因此，充分利用錯誤資源，不僅能變廢為寶，還能使數學課堂增添亮麗的色彩。所以，本文結合筆者的教學實踐，談談對一些錯誤資源的有效利用。

一、正視錯誤

數學學習其實是一個不斷提出假設、修正假設，使學生認知水平不斷提高并逐漸趨于成熟的過程，也是不斷糾錯的過程。對于學生的錯誤，教師首先在心態上要寬容它，才能心平氣和地正視它，才能把常見的錯誤當作夯實學生基礎的法定，進而進行理性思考，有效綜合地利用錯誤資源。

案例1：《一元二次方程的應用》

例：淘寶上的一“天貓”商家在進一批冬季的電取暖器，準備在“雙11”進行促銷，進價為40元。經市場預測，如果銷售價標為52元，可售出180個，定價每增加1 元，銷售量將減少10個，該商家若準備在這一天獲利2000元，則應該進貨多少，定價為多少？

學生解題過程如下：

說明：課上，教師問學生為什么要將 舍去的時候，由于學生對實際生活認識不足，他們幾乎是異口同聲地回答：“漲價不能為負。”其實，學生在這里犯錯誤是十分正常的。于是筆者耐心地向學生講解銷售中各種量之間的關系：進價、定價、漲價關系。漲價為正數，說明比定價要高；反之，則是比定價低。只要不比進價低，商家出售該商品還是有利潤空間的。通過錯誤分析，學生豁然開朗，從而明白了“銷售數量”、“銷售利潤”之間的數量關系。

二、預設錯誤

凡是教學經驗豐富的教師，在教學預設過程中，對學生可能出現的種種錯誤和易錯點都作了充分的估計，故意地設置一些“陷阱”，誘導學生犯錯。教師對錯誤的種類及原因的預計，是對教學過程的預先判斷，有助于教師對教學目標的達成和學生思維的展示。學生在“嘗試錯誤”的活動中比較、思考，可以激發他們自主探究的精神，進而修正錯誤，獲得真知。

1.預設錯誤、防范未然

學生由于受定勢思維的影響，對事情缺乏細致、準確的理解，因而做出錯誤的判斷，特別是結果不是唯一、需要分類討論的問題，往往會出現漏解。因此，面對這種情況，教師就需要預設一些常見的錯誤，防范于未然。

案例2：如：已知三角形兩邊長為3，4，要使這個三角形為直角三角形，求第三邊的長。

許多學生誤解：設第三邊長為 ，由勾股定理得：

師：在直角三角形中，學生們只看到邊長為3，4就馬上聯想到勾三股四弦五，這說明大家對這組勾股數很熟悉。但題目中有沒有說明第三邊就是斜邊？學生恍然大悟，于是通過分類討論，得出如下兩種答案：

（1） 當兩條直角邊為 ， 時，則第三邊為斜邊等于 。

（2） 當一條直角邊為 ，斜邊為 ，則第三邊為直角邊等于 。

又如：在 中，弦AB=6，弦CD=8，且AB∥CD，若 的半徑為5，求AB與CD之間的距離MN的長。

學生解得：MN=7

大約有50%的學生得出這個結果，他們是從圓心兩側的平行弦中解得的。他們都是忽略了兩條平行的弦也有可能在圓心的同側，因此造成漏解。正解為：MN=1或7。

像這樣預設錯誤，通過指正、分析引起學生的關注，既能激發學生的學習積極性和主觀能動性，又能加強學生與教師之間的互動，起到防范于未然的作用。

2.故意錯誤、引發思考

學生的錯誤，有些是可以預料的，教師可以總結出學生錯誤的規律，提前預想哪些錯誤會發生。在教學時，故意預設一些錯誤，不僅能引導學生學習知識，還能引導學生積極思考，增強思辨能力。

案例3：在解一元一次方程時，學生常會將等式性質與分式的基本性質混淆；去分母時漏乘不含分母的項；去分母后，忘記將分子部分加括號，去括號或移項時符號出錯……基于這些錯誤，我們可以通過PPT出示，展示如下的解題過程，讓學生找錯。

解方程：

將原方程變形，得

去分母，得

去括號，得

移項，得

得

學生對照解一元二次方程的知識，馬上發現解題過程中的錯誤，

（1）方程變形中，將“等式性質和分式的基本性質”混淆，將“1”也擴大了10倍；

（2）去分母時，10沒有同時乘以6，分子 沒有加小括號；

（3）去括號時，“ ”中的“ ”沒有乘系數2；

（4）移項沒有變號。

像這樣預設錯誤，通過指正、分析引起學生的關注，既能激發學生學習的積極性和主觀能動性，又調節了課堂氣氛，加強了學生與教師之間的互動，避免類似錯誤的出現。

三、活用錯誤

錯誤在一定程度上反映了學生的思維水平和真實想法，是一種有價值的資源，教師應善于活“用”錯誤，利用錯誤背后隱藏的教育價值，引導學生對錯誤進行分析、評價，讓學生從錯誤中深化認識、領略成功。

1.活用錯誤資源，促進課堂生成

學生的學習錯誤有些具有不可預見性，有些錯誤讓你想也想不到，但它恰恰是學生思維的真實反映，實際上還蘊含著不少寶貴的“思維亮點”。如果把學習錯誤這種生成資源在課堂上充分展示出來，挖掘其產生錯誤的內在因素，可以激發學生的思維創新。

案例3：在九年級二次函數復習課中，筆者給出了這樣一道題目：用配方法將二次函數 寫成 的形式。叫學生上來板演，他的過程是：

這個解法引起了一些學生的嘲笑，筆者立即問：“錯在哪里？”學生回答道：“右邊乘以2，左邊未乘以2，等式左右已經不相等”。筆者馬上來了一個“將錯糾錯”，將等式右邊二次項系數化為1來解，對配方來說是最好的，我們能否完善這種解法呢？于是一個新穎的解法也出來了：

解：

∴

∴

∴

本案例中，筆者在捕捉到學生學習過程中的“差錯”后，引導學生發現錯誤背后的真正原因，活用了這個錯誤資源，得出這道題目一種新的解法，學生們都贊嘆這種利用等式性質解配方題的方法很有創意，課堂也因此呈現出峰回路轉、柳暗花明的神采。

2.活用錯誤資源，提高辨析能力

在數學學習中，有些錯誤源于學生的閱讀能力差。把錯誤作為一種促進學生智力發展的資源，不但能引起學生多角度思考，而且也能幫助他們全面、合理地思考，提高學生對問題的思辨能力。

案例4：已知半徑為9的⊙O內有一內接等腰△ABC，它的底邊上的高AD與一腰的和是20，試求AD的長。

誤解：如圖1，延長AD交⊙O于點E，連接BE，

則AE=2AO=18，設OD=x，則 ，DE=9-x

故

所以

由△BED∽△ADC，BD=CD得

所以

解得 （不合題意，舍去）

所以

分析：此題答案顯然是錯誤的，但是學生始終發現不了錯誤的原因。此時，我們可以引導學生思考：⊙O半徑為9，而內接于⊙O的等腰三角形底邊上的高與一腰的和為20，顯然AD只能是比10小的正數。錯誤的原因在于畫錯圖形。正確的應如圖2：

正解：延長AD與⊙O交于點E，連接BE，

因為AE是⊙O的直徑，則AE=18，AB·AB=AD·AE

由∠ABE=90°，AD⊥BC，得：

設 ，則 .代入上式

得 ，即 。

得 （舍去），即AD的長為8。

在本案例中，學生由于受思維定勢的影響，未能充分理解已知條件中限制，于是畫錯圖形。而教師利用該題的錯誤，在學生思錯、糾錯的過程中，訓練學生思維的嚴密性，提高學生對數學問題的思辨能力，從而養成良好的學習習慣，預防了錯誤再次出現。

四、反思錯誤

學生的錯誤不可能單獨依靠正面示范或反復練習得到更正，而必須是一個自我否定的過程。因此，對學生解題過程中出現的常見錯誤，教師應歸納出共同的原因，分析學生為什么會在這里犯錯，讓學生在反思中自我否定，在否定中明白事物真相，從而提升解題能力。

案例5：在“相似三角形”的專題復習中，有如下題目：如圖3，正方形ABCD的邊長為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端在CD、AD上滑動，當DM= 時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似。

（圖3）

在教學中發現，此題學生的漏解現象較為嚴重，于是筆者引導學生進行反思，尋找自己漏解的原因。

生1：看了該圖，我以為就這么一種情況，所以直接由給定的圖形確定相似三角形對應邊的關系，導致了漏解。

師：如何防止“把運動變化的圖形當成靜止的圖形”呢？題目中有無相關提示？

生2：題目中“在CD、AD上滑動”中的“滑動”兩個字，就意味著△MDN的形狀是可以改變，因此要進行分類討論。

生3：我將“△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似”結合圖形理解為“△ABE∽△NDM”，因而確定只有一種對應關系，導致了漏解。

生4：我是意識到要進行分類討論，但畫不出另一種情況，找不準對應關系而出錯。

生5：這道題涉及到根式和比例式的運算，我的計算能力弱，算錯答案了。

在本案例中，學生把特殊現象當作一般情況來看待，而導致了漏解。對于這類運動型問題，往往采用“動中取靜、以靜制動、動靜結合”等方法，這就要讓學生明確，給定提供圖形其實只是變化過程中的某一瞬間狀態，通常需要分類討論來解決。教師講評時，要讓學生反思自己錯誤的原因，對自己解題時的思維過程進行自我否定，從而避免類似的錯誤。

總之，在數學教學過程中，教師要巧妙利用錯誤，有效地挖掘錯誤中蘊含的合理成分，幫助學生突破思維定勢，引導學生從錯誤中反思，不斷積累解題經驗。這樣，才能不斷地從“錯”走向“對”，走向成功，數學課堂也會因此而變得更加高效。

參考文獻：

[1]王繼偉.淺談對錯誤資源的有效利用[J]，中國數學教育，2012（10）.

[2]趙緒昌.平面幾何解題致誤原因分析[J]，中國數學教育，2010（7）.

[3]劉家良.解題中常見的7種錯誤現象[J]，中國數學教育，2012（11）.

作者單位：浙江省樂清市柳市三中

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