萬有引力問題的歸類與分析

摘要：新課標下的高考強調理論聯系實際，隨著近年我國航空航天科技的迅猛發展，本章已是各省高考的命題熱點，近幾年各地試卷也分別從不同角度、不同形式進行了考查。但是，從學生得分的情況看并不是太好。大部分考生對基本的知識點都可以掌握，但對某些問題的解決方法卻運用不當、對某些問題的理解也不夠深入并且存在著很多疑惑和誤區。據此，本文將對這些問題進行歸類分析，以解決這一方面的問題。

關鍵詞：萬有引力；問題歸類；分析

與《萬有引力定律》一章知識相關的熱點內容很多，如載人航天、中國探月計劃的實施、“神七”的發射、黑洞等，這些都有可能成為命題的背景。而對于不同背景的這些問題，我們大致可分為以下八類：

類型一：人造衛星的各物理量之間的關系

例1：（2010天津卷·6 ）探測器繞月球做勻速圓周運動，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運動，則變軌后與變軌前相比（ ）。

A.軌道半徑變小 B.向心加速度變小

C.線速度變小 D.角速度變小

解析：由于 ，所以 ，T變小，r變小，A正確。又 ， ，r變小，an增大，B錯誤。由 ， ，r變小，v增大，C錯誤。由 ， ，r變小，ω增大，D錯誤。

答案：A

點評：對于這類問題，只要我們能夠根據萬有引力提供向心力，推導出各物理量與半徑的關系，并定性掌握半徑大，周期大，三速（線速度、角速度、加速度）小，基本都可以迎刃而解。

類型二：衛星運動軌道問題

例2：（2010山東卷·18）1970年4月24日，我國自行設計、制造的第一顆人造地球衛星“東方紅一號”發射成功，開創了我國航天事業的新紀元.“東方紅一號”的運行軌道為橢圓軌道，其近地點M和遠地點N的高度分別為439km和2384km，則（ ）。

A.衛星在M點的勢能大于N點的勢能

B.衛星在M點的角速度大于N點的角速度

C.衛星在M點的加速度大于N點的加速度

D.衛星在N點的速度大于7.9km/s

解析：根據 ，得在M點速度大于在N點速度，根據機械能守恒，所以衛星在M點的勢能小于N點的勢能，A錯誤，C正確；根據 ，得B正確，D錯誤。

答案：BC

點評：對于橢圓軌道問題，只要抓住機械能守恒，再綜合運用圓周運動的公式，層層推進，都能得出最后的結論。

類型三：衛星、飛船變軌問題

例3：（2010江蘇卷·6）2009年5月，航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后，在A點從圓形軌道I進入橢圓軌道II，B為軌道II上的一點，如圖所示，關于航天飛機的運動，下列說法中正確的有（ ）。

A.在軌道II上經過A的速度小于經過B的速度

B.在軌道II上經過A的動能小于在軌道Ⅰ上經過A 的動能

C.在軌道II上運動的周期小于在軌道Ⅰ上運動的周期

D.在軌道II上經過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經過A的加速度

解析：根據開普勒定律，近地點的速度大于遠地點的速度，A正確。由 I軌道變到II軌道要減速，所以B正確。根據開普勒定律， ，RII RⅠ，所以TII TⅠ，C正確。根據 得： ，又RII RⅠ，所以aII aⅠ，D錯誤。

答案：ABC

變式訓練：如圖所示，發射同步衛星的一種程序是：先讓衛星進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步圓軌道上的Q），到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道.設衛星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在P點短時間加速后的速率為v2，沿轉移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v4.試比較v1、v2、v3、v4的大小，并用小于號將它們排列起來___ ___。

答案：v3

點評：對于變軌問題，我們要抓住從小軌道變到大軌道要加速，反之則減速。在大軌道上周期大，在小軌道上周期小。而對于加速度，抓住 ， 。

類型四：衛星相遇對接問題

例4：（2010上海卷·24）如圖所示，三個質點a、b、c質量分別為m1、m2、M（M>>m1，M>>m2）。在c 的萬有引力作用下，a、b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，軌道半徑之比ra∶rb=1∶4，則它們的周期之比Ta∶Tb= ；從圖示位置開始，在b運動一周的過程中，a、b、c共線了 次。

解析：根據 ，得 ，所以 ，在b運動一周的過程中，a運動8周，所以a、b、c共線了8次。

點評：衛星相遇對接問題，實際上就是我們所熟悉的追及問題，只不過將速度換成了角速度，將位移換成了弧度而已。

類型五：（地球）同步衛星問題

例5：（2010全國卷II·21）已知地球同步衛星離地面的高度約為地球半徑的6倍.若某行星的平均密度為地球平均密度的一半，它的同步衛星距其表面的高度是其半徑的2.5倍，則該行星的自轉周期約為（ ）。

A.6小時 B.12小時 C.24小時 D.36小時

解析：地球的同步衛星的周期為T1=24小時，軌道半徑為r1=7R1，密度ρ1。某行星的同步衛星周期為T2，軌道半徑為r2=3.5R2 ，密度ρ2.根據牛頓第二定律和萬有引力定律分別有：

兩式化簡得：T2=T1/2=12小時，選項B正確。

答案：B

點評：同步衛星也是衛星，只不過同步衛星的周期和角速度與中心天體的自轉周期和角速度相同而已。

類型六：雙星及多星問題

例6：（2010全國卷I·25）如圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側，引力常數為G.

（1）求兩星球做圓周運動的周期。

（2）在地月系統中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行為的周期記為T1.但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期T2.已知地球和月球的質量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2與T1兩者平方之比。（結果保留3位小數）

解析：（1）A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的 向心力相等，且A和B和O始終共線，說明 A和B有相同的角速度和周期。則有： ， ，解得： ，

對A根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：

化簡得：

（2）略

答案：（1） （2）1.01

變式訓練：宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用，設每個星體的質量均為m，四顆星穩定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G，試求：

（1）求星體做勻速圓周運動的軌道半徑；

（2）若實驗觀測得到星體的半徑為R，求星體表面的重力加速度；

（3）求星體做勻速圓周運動的周期.

解析：（1）由星體均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動可知，星體做勻速圓周運動的軌道半徑 。

（2）由萬有引力的定律可知 ，則星體表面的重力加速度 。

（3）星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由萬有引力定律和向心力公式得：

解得周期 。

點評：無論是雙星問題，還是三星、四星問題，其本質都是一樣的，都是萬有引力提供向心力，只要我們找到圓心確定半徑，再找到向心力的來源，問題即可迎刃而解。

類型七：“黃金代換”關系應用

例7：（2009北京卷·22）已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉的影響。

（1）推導第一宇宙速度v1的表達式；

（2）若衛星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛星的運行周期T。

解析：（1）設衛星的質量為m，地球的質量為M，

在地球表面附近滿足 ，得： ①

衛星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力： ②

①式代入②式，得到

（2）考慮①式，衛星受到的萬有引力為： ③

由牛頓第二定律 ④

③、④聯立解得：

答案：（1） （2）

點評：“黃金代換”是本章經常使用的一個關系，它可以將一些未知量代換掉，變成題目給的已知量。

總之，運用萬有引力定律求解人造衛星的運動問題與現代科技結合緊密。而衛星的運動涉及的知識點較多，包括萬有引力定律、勻速圓周運動規律和牛頓運動定律等；另一方面，要讓學生從道理上明白衛星的運動過程。如衛星的軌道半徑變大時，線速度變小，運轉周期變長等結論。所以，在處理實際問題時，能結合題意準確地建立起物理模型是解決這一類問題的基礎和關鍵。

作者單位：江蘇省揚州市新華中學

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