利用向量研究三角形的“四心”

摘要：三角形的“四心”是指三角形外心、內心、重心、垂心。由于向量具有幾何和代數的雙重屬性，所以本文從向量的角度研究三角形的“四心”，并揭示出三角形的“四心”與頂點及各心之間的聯系。

關鍵詞：向量；三角形的“四心”；聯系

一、“四心”的定義以及相關性質

1.三角形的“外心”

（1）定義：三角形三邊的中垂線的交點，該點是三角形的外接圓的圓心，簡稱外心。

向量表示： = = 。（即O到3個頂點距離相等）。

（2）性質：①外心到三角形三個頂點的距離相等；

②直角三角形的外心是其斜邊的中點。

③O是△ABC的外心，則（ + ）· =（ + ）· =（ + ）· =0。

④若O是△ABC的外心，r是三角形外接圓的半徑，

則 =2SinA， =2SinB， =2SinC；

⑤若O是△ABC外心，r是三角形外接圓的半徑，則r= 。

2.三角形的“重心”

（1）定義：三角形三條中線的交點，此點位于各中線（自頂點起）的三分之二處，此點叫做三角形的重心。

（2）性質：如圖1所示，設G是△ABC內的一點，P是平面上的任意一點，則：

①G是△ABC重心的充要條件是 + + =0。

②G是△ABC重心的充要條件是3 = + + 。

證明：設△ABC的三邊AB、BC、CA的中點分別為F、D、E，延長GD到H，使GD=DH，則四邊形BHCG為平行四邊形。

充分性：∵ + + =0，又∵ + = ，∴ + =0，∴ = ，即2 = ，∴G是△ABC的重心。

必要性：∵G是△ABC的重心，∴ =2 =

于是 + + = + + = + =0。

∴ - + - + - =0，

即3 = + + 。

⒊三角形的“垂心”

（1）定義：三角形的三條高交于一點，這點叫做三角形的垂心。

（2）性質：如圖2所示，設H是△ABC的垂心，則 + = + = + =4 。

證明：作△ABC的外接圓O，過B做圓O的

直徑BD，做OM⊥BC于M，連DC，∴DC⊥BC

∴DC=2OM，∵AH=2OM，∴DC=AH。

在Rt△BCD中， ，∴ + =4 。 同理 + =4 ， + =4 ，

（3）如圖3所示，設H是△ABC所在平面內的一點，則：H是△ABC垂心的充要條件是 · = · = · 。

證明：充分性：∵ · = · = · ，由 · = · ，∴ · - · =0，即 · =0，∴同理可得 · = · = · =0，∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，即H是△ABC的垂心。

必要性：∵H是△ABC垂心，∴ ⊥ ，∴ · =0，

∵ = - ，故 ·（ - ）=0，

∴ · = · ，同理可得 · = · = · 。即 · = · = · 。

⒋三角形的“內心”

（1）定義：三角形的三內角平分線交于一點，此點與三角形三邊等距，這點叫做三角形的內心。即此點是三角形的內切圓的圓心。

（2）性質：如圖4所示，設P是△ABC所在平面內的任意一點，I是△ABC內的一點，則I是△ABC內心的充要條件是 = （a、b、c是△ABC的內角A、B、C的對邊的長）。

證明：必要性，設I是△ABC的內心，且 =c ， =a ， =b （其中 、 、 是單位向量）則存在正實數滿足關系：

∴

∵ 即 ∴ ∵c +a +b =0，∴ =- - ，∴（c- - ） +（ - ） =0，∵ ， 不共線，可得 ，解之得 = ， = ，同理得 = ，∴ = + （ - ）= + （ - ）= + [ （ - ）- （ - ）]= 。

充分性：由 = = + = + = + （ + ）= （ - ）。

即點I在∠A的平分線上。同理可得點I也在∠A、∠B的平分線上，亦即點I為△ABC的內心。

注：根據點P的任意性，將P換成外心、重心、垂心，即可得到內心與其它三心所連向量的統一數學表達式。

如圖5所示，設P是△ABC內的一點，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥CA于G，則P是△ABC的充要條件是 取得最小值。

證明：∵AB·PE+BC·PF+CA·PG=2 ，

∴（ ）·2 =（ ）·（AB·PE+BC·PF+CA·PG）= +BC·CA（ ）+CA·AB（ ）+BC·AB（ ）≥ +2 BC·CA+2 CA·AB+2 BC·AB= 。故得 ≥ ，等號當且僅當PE=PF=PG時成立。即P是△ABC的內心時 最小。 （注：本題也可用柯西不等式來證）

二、“四心”關聯

1.外心與重心：設O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則 = 。

分析：根據關于重心結論中點P的任意性即可得到。

2.外心與垂心：如圖6所示，設O為△ABC的外心，H為△ABC的垂心，則 = + + 。

證明：在△ABC的外接圓O中作直徑BD，

連結AD、DC，則有 =- ，AD⊥AB，

DC⊥BC，又H是垂心，AH⊥BC，CH⊥AB，

∴CH∥AD，AH∥DC，于是AHCD是平行四邊形，

∴ = ，∴ = + = +

= + + = + + 。

例1：三角形任一頂點至垂心的距離，等于外心至對邊距離的二倍。

已知：如圖7所示，H是△ABC的垂心，O是外心，OL⊥BC于L，求證：AH=2OL。

證明：證法一：作OM⊥CA于M，∵O是△ABC的外心，

∴L、M分別是邊BC、CA的中點，取CH的中點K。連結

KL、KM，∴MK∥AH，且KL∥BH。∵H是△ABC的垂心，

∴OL∥AH，且OM∥BH，∴四邊形OLKM是平行四邊形，

∴OL=MK= AH，即AH=2OL。

證法二：如圖8所示，作△ABC的外接圓的直徑BD，連DA、DC，

∴DC⊥BC，且DA⊥AB，∵H是△ABC的垂心，

∴AH⊥BC，CH⊥AB，∴AH∥DC，AD∥HC。

∴四邊形OLKM是平行四邊形，AH=DC=2OL。

3.重心與垂心：如圖9所示，設G為△ABC的重心，H為△ABC的垂心，則 = 。

證明：設A（0，a）、B（b，0）、C（c，0）、H（0，y），

則G（ ， ），根據 ⊥ ，可得y=- ，

從而有H（0，- ）， =（0， ）， =

（b， ）， =（c， ）， =（ ， + ）。

再設 = + + ，∴ = = = 。

故有 = 。

以上是筆者利用向量研究三角形的“四心”的歸納與總結。通過對這些例題的分析，可以使學生更好地掌握三角形“四心”及它們之間的關系，進而提高教學效率。

作者單位：內蒙古包頭市一機一中

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