基于排隊論的銷售模型分析

潘全如

(江蘇科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江212003)

0 引言

顧客到達企業(yè)尋求服務(wù)可以構(gòu)成一個排隊系統(tǒng)[1]。顧客到達過程即為輸入過程,企業(yè)為服務(wù)機構(gòu),企業(yè)根據(jù)需要設(shè)置排隊規(guī)則[2]。顧客到達系統(tǒng)時總是希望等待服務(wù)的隊列長度越短越好,否則他們在系統(tǒng)中逗留成本比較高,這需要企業(yè)在銷售時提供相對較高的服務(wù)速度,但是如果服務(wù)速度增高又會導(dǎo)致服務(wù)成本升高。如何在服務(wù)臺的服務(wù)成本與顧客在系統(tǒng)中的逗留成本之間平衡,使兩者之和(稱為系統(tǒng)的綜合成本[3])最小,是一項重要的課題。

1 顧客到達時排隊方式的探討

顧客到達系統(tǒng)的排隊方式主要有3種[4],分別如圖1所示。

圖1為單隊單服務(wù)臺系統(tǒng),排隊等待服務(wù)的通道只有一條。圖2為多隊多服務(wù)臺系統(tǒng),每個通道各排一個隊,且每個通道只為自己通道上的顧客服務(wù),顧客不能任意插隊。圖3為單隊多服務(wù)臺系統(tǒng),即顧客排成一個隊,隊列中第一個顧客視哪個通道有空就去哪一個通道接受服務(wù)。在這里假設(shè)顧客到達為泊松到達,企業(yè)按先到先服務(wù)的規(guī)則服務(wù),服務(wù)時間服從負指數(shù)分布,則上述3個圖形就分別對應(yīng)著 M/M/1系統(tǒng)、n個并聯(lián)的M/M/1系統(tǒng)、M/M/n系統(tǒng),其中M/M/1系統(tǒng)是n個并聯(lián)的M/M/1系統(tǒng)及 M/M/n系統(tǒng)的特殊情況。

企業(yè)總是希望系統(tǒng)總是處于非空閑狀態(tài)的,因為空閑概率越大意味著系統(tǒng)的利用率越低;顧客則希望在系統(tǒng)中的逗留時間越短越好。下面從系統(tǒng)的空閑概率與逗留時間兩個角度分析 n個并聯(lián)的M/M/1系統(tǒng)及 M/M/n系統(tǒng)。由文獻[5]知:M/M/n系統(tǒng)的空閑概率為記為pn0;n個并聯(lián)的M/M/1系統(tǒng)的空閑概率為1-ρ,記為 p00。事實上所以 pn0=,即M/M/n系統(tǒng)的空閑概率小于n個并聯(lián)的M/M/1系統(tǒng)的空閑概率。由文獻[5]知:M/M/n系統(tǒng)的平均等待時間為個并聯(lián)的M/M/1系統(tǒng)的平均等待時間為

2 銷售企業(yè)服務(wù)方式的探討

2.1 窗口之間相互幫助的模型分析

對于M/M/1系統(tǒng),顧客泊松到達,到達強度為λ,服務(wù)臺的服務(wù)時間是平均服務(wù)率為 μ的負指數(shù)分布,記,當(dāng)ρ1＜1時,系統(tǒng)有平穩(wěn)分布,且顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間

對于M/M/n系統(tǒng),顧客泊松到達,到達強度為 λ,每個服務(wù)臺的服務(wù)時間是平均服務(wù)率為 μ的負指數(shù)分布,整個系統(tǒng)的平均服務(wù)率為 nμ,記當(dāng)ρ2＜1時,系統(tǒng)有平穩(wěn)分布,且顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間;其中

若窗口間相互幫助,則M/M/n系統(tǒng)就相當(dāng)于如下的M/M/1系統(tǒng):

例1 n=4,λ=5,μ=2,比較各窗口獨立工作與相互幫助時F的大小

顯然,無論窗口是否獨立工作,ˉμ均為nμ,而各窗口相互幫助時顧客在系統(tǒng)中的逗留時間要小于各窗口獨立工作時的逗留時間,因而F在各窗口相互幫助時較小,導(dǎo)致這一結(jié)果的原因:各個窗口相互幫助時,避免了一些服務(wù)人員的閑置。

2.2 同時為k個顧客服務(wù)的模型分析

對于有些類型的服務(wù),服務(wù)員需要花相當(dāng)多的時間在來去的路上,如柜臺每接一筆訂單就向倉庫請求發(fā)貨。如果發(fā)貨請求時間間隔不大,倉庫可將幾個請求的貨物一起運過來,這樣比每接一個請求即發(fā)一次貨的成本要低。設(shè)訂單到達服從泊松分布,時刻t系統(tǒng)中訂單數(shù)為i(i=0,1,…,s)時,訂單的到達率為 λi;系統(tǒng)服務(wù)時間服從指數(shù)分布,每次服務(wù)k(k為正整數(shù))個訂單,服務(wù)率為μ。則可寫出狀態(tài)方程組如下:

例2 λi=比較每次同時為2個顧客服務(wù)與每次只服務(wù)一個顧客時F大小,其中a=b=1,且每次同時服務(wù)2個顧客時 μ=10,每次只服務(wù)一個顧客時 μ=12。

解 (ⅰ)每次只服務(wù)一個顧客時,系統(tǒng)就是一個 M/M/1/s系統(tǒng),此時容易計算出:p0=0.267,p1=0.267,p2=0.20,p3=0.133,p4=0.083,p5=0.05,系統(tǒng)的平均等待隊長,系統(tǒng)的平均輸入率,顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間0.190=12.190

(ⅱ)每次同時服務(wù)2個顧客,將上述數(shù)據(jù)代入(2)～(6)式及可得:p0=0.184,p1=0.381,p2=0.22,p3=0.123,p4=0.054,p5=0.039,系統(tǒng)的平均等待隊長系統(tǒng)的平均輸入率,顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間10.588

顯然,每次同時服務(wù)2個顧客時F較小,導(dǎo)致這一結(jié)果的原因:雖然每次同時為兩個顧客服務(wù)時,顧客在系統(tǒng)中逗留成本有所增加,但此時服務(wù)成本下降,且下降的幅度更大。

2.3 服務(wù)率可變的排隊模型分析

如果隊列較長時以較低的速度服務(wù)會導(dǎo)致顧客的逗留成本較高,而隊列較短時以較高的速度服務(wù)會導(dǎo)致服務(wù)成本較高。銷售企業(yè)如果根據(jù)排隊等待服務(wù)的隊列長度,適時地調(diào)整服務(wù)速度,也能夠使綜合成本降低。設(shè)顧客泊松到達,按先到先服務(wù)的規(guī)則,服務(wù)時間服從指數(shù)分布,系統(tǒng)中有 i個顧客時到達率為λi,服務(wù)率為 μi。令則系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

例3 λi=i=0,1,…,6,n=6,a=b=1,比較服務(wù)率為 μi=2+0.3i及 μi≡3.2時F的大小。

解:(ⅰ)μi=2+0.3i,此時服務(wù)率可變,將上述數(shù)據(jù)代入(11)式可得:

顯然,服務(wù)率可變時的F較小,即服務(wù)速度的適當(dāng)調(diào)整能夠降低系統(tǒng)的綜合成本。

2.4 有k個顧客類時的模型分析

在上面的討論中,假定到達的顧客總是同一類型,即所有的顧客在系統(tǒng)中停留單位時間的成本一樣,實際情況往往不是這樣。現(xiàn)設(shè)有k類顧客[8],他們到達系統(tǒng)是以參數(shù)為 λk的泊松分布,在系統(tǒng)中逗留單位時間的成本分別為bk,系統(tǒng)對每類顧客的服務(wù)時間均服從指數(shù)分布,且參數(shù)為,系統(tǒng)有s個服務(wù)臺,且平均服務(wù)時間越短的顧客獲得服務(wù)的優(yōu)先權(quán)[9]越高。則第k類顧客在系統(tǒng)中的逗留時間分別為其中為系統(tǒng)中的顧客數(shù)。

例4 設(shè)有兩類顧客,第一類顧客獲得服務(wù)的優(yōu)先權(quán)高于第二類。第一類顧客到達率為λ1=10人/小時,第二類顧客到達率為λ2=20人/小時。系統(tǒng)有5個服務(wù)臺,對兩類顧客的服務(wù)時間均服從均值為8分鐘的指數(shù)分布,計算系統(tǒng)在設(shè)置優(yōu)先級時F的值,并與不設(shè)優(yōu)先級時的F比較大小。

解 (ⅰ)設(shè)置優(yōu)先級時,s=5,λ1=10人/小時,λ2=20人/小時,μ=7.5人/小時,所以所以所以在系統(tǒng)設(shè)置優(yōu)先級時顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間為=4.4分鐘。

(ⅱ)系統(tǒng)沒有設(shè)置優(yōu)先級時,此時模型即為 M/M/s系統(tǒng),其中 s=5,λ=30人/小時,μ=7.5人/小時,

2.5 雇傭幫手的模型分析

是否雇用幫手主要取決于幫手創(chuàng)造的價值是否大于他獲得的工資,如果大于則毫不猶豫地選擇雇用。

例5 某電子儀器廠員工每人每小時工資為8元,他為公司創(chuàng)造的價值是每人每小時12元。現(xiàn)需要抽調(diào)部分員工對售出產(chǎn)品作回訪,且認(rèn)為做回訪工作時員工不創(chuàng)造價值,平均每小時需要10名人員來做一次回訪工作。現(xiàn)抽調(diào)一名員工專門做回訪工作,平均4分鐘就能完成一次回訪,如果給該員工雇用一名幫手,則他平均每3分鐘就能完成一次回訪,問雇用者的工資不應(yīng)當(dāng)超過多少?

解 在本問題中,員工的工資可以當(dāng)作系統(tǒng)的服務(wù)成本,員工因做回訪工作時沒有創(chuàng)造價值而對公司造成的損失可以看作等待成本,或稱為延遲成本。公司的目標(biāo)是將每小時的服務(wù)成本和延遲成本之和最小化。由上述分析可知:預(yù)期成本/小時=服務(wù)成本/小時+預(yù)期延遲成本/小時。服務(wù)成本/小時=工資/小時;預(yù)期延遲成本/小時=(預(yù)期延遲成本/員工)*(預(yù)期的員工數(shù)/小時),記預(yù)期的員工數(shù)/小時=λ人/小時,由題意知λ=10人/小時。預(yù)期延遲成本/員工=12元*員工做回訪工作時花在系統(tǒng)中的小時數(shù)=12,記員工做回訪工作時花在系統(tǒng)中的小時數(shù)=。故延遲成本/小時=12λ.(ⅰ)沒有幫手時,因為平均每4分鐘完成一次回訪,所以μ=15人/小時,小時,服務(wù)成本/小時=8元,預(yù)期延遲成本/小時=元,此時預(yù)期成本/小時=8+24=32元。

(ⅱ)雇用幫手時,因為平均每3分鐘完成一次回訪μ=20人/小時,小時,設(shè) x為雇用人員的工資,則服務(wù)成本/小時=(8+x)元/小時,預(yù)期成本/小時=小時=12元/小時,于是雇用幫手時的預(yù)期成本/小時=(8+x+12)元/小時=(20+x)元/小時。

由題意知:雇用幫手時的預(yù)期成本應(yīng)≤沒有幫手時的預(yù)期成本,即20+x≤32,即 x≤12時,系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)雇用幫手。

3 庫存容量對綜合成本的影響

保持適量的庫存[11]對綜合成本有著重要的影響:庫存少了會影響銷售;庫存多了會影響資金流通,且保管費用也高。那么保持怎樣的庫存才是合理的呢?

假設(shè) (ⅰ)顧客訂貨時刻是一個泊松過程,需定貨 i個單位的顧客到達率為λi,i=1,2,…,m,記 λ=原始庫存為也是最大庫存量。顧客訂貨時只要有庫存就立即發(fā)貨;若缺貨就讓顧客等待,且等待需求總數(shù)不超過N個單位,否則拒絕其進入系統(tǒng)。顧客發(fā)生i個單位需求時,系統(tǒng)立刻發(fā)出i個單位的訂貨,以補充庫存;(ⅲ)系統(tǒng)的服務(wù)時間服從指數(shù)分布,但服務(wù)率與尚未交付的訂貨總數(shù)有關(guān),系統(tǒng)中有i個單位尚未交付時服務(wù)率就為μi;(ⅳ)每個單位的需求缺貨單位時間的損失稱為第一類缺貨損失[12],記為C1(C1＞0);每發(fā)生一個單位的缺貨所造成的損失費稱為第二類損失缺貨費,記為C2(C2＞0);倉庫中每個單位的存貨存放單位時間的保管費用記為C3(C3＞0);倉庫存放存貨的每個單位空間在單位時間內(nèi)所需修建維護費記為C4(C4＞0)。

設(shè)ξ(t)為時刻t尚未交付的訂貨總數(shù)。因為系統(tǒng)允許排隊長度有限,故系統(tǒng)的平穩(wěn)概率存在,設(shè)為 pn,n=1,2,…,N。根據(jù)以上假設(shè),寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程組如下:

設(shè)c(s)為單位時間內(nèi)的平均總費用,則

下面求c(s)的最小值。設(shè)s*為極小值點,則

令 △c(s)=c(s+1)-c(s),則由(16)式得

由(15)式可得

由(19)式及(17)式得:… ≤ △c(s*-2)≤△c(s*-1≤0≤ △c(s*)≤ △c(s*+1)≤… ,由 … ≤△c(s*-2)≤△c(s*-1)≤0可得:c(s*)≤c(s*-1)≤c(s*-2)≤…,由0≤△c(s*)≤△c(s*+1)≤…可得:c(s*)≤c(s*+1)≤c(s*+2)≤…,從而c(s*)為最小值。從以上推導(dǎo)也可以看出求最優(yōu)存儲量s*的計算方法:從s=1開始分別計算△c(s)的值,使 △c(s)第一次變?yōu)榉秦撝禃r的s即為所求的最優(yōu)存儲量s*。

由于 △c(s)≥0,所以從s=1開始逐個計算(6*)右端的值,直到其變?yōu)檎?則此時對應(yīng)的s值即為最優(yōu)存儲量(記為s*),因為當(dāng)s≥s*時,△c(s)≥0,且(6*)式右端隨s增大時非降,即有c(s*)≤c(s*+1)≤c(s*+2)≤…。

例 c1=2,c2=2,c3=4,c4=1,m=3,N=5,λ1=3,λ2=2,λ3=1,μi=iμ,i=1,2,3,μ=2,μ3=μ4=μ5。

解 將題設(shè)數(shù)據(jù)代入(12)～(14)式可得:p0=0.031,p1=0.273,p2=0.163,p3=0.214,p4=0.275,p5=0.044,又時,令(20)式右端為 φ(s), φ(1)=-12.52 ＜0, φ(2)=-9.26＜0,φ(3)=-6.92＜0,φ(4)=0.56＞0,所以s=4為最優(yōu)存儲量。

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