適應于大氣折射研究的壓高公式

張捍衛，李愛國，2，丁安民

（1.河南理工大學 測繪學院，河南 焦作 454003；2.長安大學 地測學院，西安 710054）

1 引言

根據不同的觀測技術，大氣折射分為天文大氣折射和大氣折射延遲兩個方向。天文大氣折射是天文方位觀測、天文導航、天文大地測量、時間和緯度服務的主要誤差源之一。大氣折射延遲是現代空間測量技術的主要誤差源之一。大氣折射研究不但能提高導航與定位的精度，而且在地球內部物理結構和動力學變化，大氣和海洋變化的監測等科研、國民經濟、國防領域上均具有重要現實意義［1］。地球大氣的結構和性質是大氣折射研究的理論基礎，按熱力學性質，大氣分為對流層、平流層、中間層、熱層和外逸層；按電磁特性，大氣分為中性層、電離層和磁層［2］。對于目前的測量精度，天文大氣折射只需考慮中性層的影響，而大氣折射延遲還必須需考慮電離層的影響。大氣折射研究主要有級數展開和映射函數方法兩種，級數展開方法主要以文獻 ［3－5］為代表；映射函數方法最初由文獻 ［6］建立，并在其后得到了很大發展，例如文獻 ［7－9］等。目前，大氣折射研究已考慮到大氣分布的方位性和時變性，例如文獻 ［10－11］的工作。

在文獻 ［3－5］和 ［12－13］的基礎上，重新研究了大氣折射理論中有關大氣參數之間的理論關系和壓高公式，指出對于大氣折射研究來說，應該采用本文給出的壓高公式，即式（11），以及水汽分壓隨溫度變化關系式，即式（15）的第二式。

2 大氣參數之間的理論關系

實驗指出，在氣體壓力趨于零的極限條件下，對于給定質量的氣體，其物態方程是［14］

式中，V、P和T分別是給定質量為M的氣體所占據的體積、內部壓力和熱力學溫度，μ是該氣體的摩爾質量；＝8.314510J·mol－1·K－1是普適氣體常數。

干大氣和水汽的混合氣體稱為濕空氣。以P、p和e分別表示濕空氣的總大氣壓、干大氣分壓和水汽分壓，根據道爾頓分壓定律可知P＝p＋e。假設干大氣和水汽是理想氣體定律，則可知它們的物態方程分別是

式中，下標d和w分別代表干潔大氣和水汽有關的物理量。在大氣包含375×10－6的二氧化碳成分條件下，文獻 ［12］給出了干大氣和水汽摩爾質量的數值為

根據道爾頓分壓定律以及式（2），可得以下兩個等價的濕空氣物態方程

式中，μa稱為濕空氣的摩爾質量，Tw稱為虛溫度，它們的表達式是

這里定義水汽與干大氣的摩爾質量之比ε，以及濕空氣的比濕q分別為

如果定義干大氣、水汽和濕大氣的比氣體常數分別為

實際上，根據式（4）和ρ＝ρd＋ρw，也可得到式（5），只需證明下兩式成立

可見，采用虛溫度Tw與采用 “濕大氣比氣體常數R′a”在描述濕大氣密度時是等價的。

3 基于位勢地心距的大氣壓高公式

假設地球大氣是球對稱分層分布的，也就是在一定范圍內可認為干大氣分壓p和水汽分壓e只與幾何地心距有關系。干大氣分壓和水汽分壓與幾何地心距的微分關系是［12］：

式中，r表示幾何地心距，g表示重力加速度。根據道爾頓分壓定律和上兩式，可得

利用式（4）和式（5），可把式（6）和式（7）寫為

式中，除了干大氣的比氣體常數R和水汽與干大氣的摩爾質量之比ε外，其余的參數都是幾何地心距的函數，因此直接求上式的積分是很困難的。文獻 ［13］根據氣象學中位勢高度的定義得到gdr＝g0dz，g0為測站重力值。因此采用位勢高度后，式（8）變為

式（9）稱為壓高公式。采用位勢高度的優勢在于可只考慮溫度隨位勢高度的分布，而不需要考慮重力加速度隨高度和緯度的變化。

大氣溫度隨高度的分布很復雜，難以用函數關系表達，因此對式（9）直接求積分幾乎是不可能的。為此，需對溫度的垂直分布作一些假設。

3.1 等溫大氣

若大氣層的溫度不隨高度變化，由式（9）可得等溫大氣的壓高公式為

式中，p1和e1分別是位勢高度為z1處的干大氣分壓和水汽分壓。根據虛溫度Tw和 “濕大氣比氣體常數R′a”的定義可知，Tw和Ra是濕空氣比濕q的函數，而q對于某地區來說是隨時間和高度變化的，因此不能直接對式（9）的第三個公式求積分。下面根據Tw的定義，來求式（9）的第三個公式的積分，即

因此，可得

本文認為上式就是濕大氣的壓高公式。把式（10）的兩個公式代入上式，又可得

對上式求積分可得

實際上，上式就是式（10 中兩個式子的相加。

3.2 多元大氣

多元大氣是指氣溫是r或z的線性函數的大氣層，即

式中，T1是位勢高度為z1處的溫度。將上式代入式（9）前兩個公式積分后，可得

或者

同理，由于Tw和Ra是q的函數，而q又是時間和高度z的函數，因此不能直接對式（9）的第三個公式求積分。利用式（11）和βdz＝dT，并把式（15）代入后有

對上式求積分可得

實際上，上式就是式（15）中兩個式子的相加。

另外，根據式（15）可知

若海平面以上整層都是多元大氣，由上式得到多元大氣的上界（p＝0處）為

可見，多元大氣是有上界的。多元大氣的一個特例是等溫大氣（β→0），則可得上式右端趨近于無窮大，即等溫大氣沒有上界。

3.3 討論與分析

引入位勢高度（地心距）概念后，使得對壓高公式的積分中，不需要考慮重力加速度隨高度和緯度的變化。這樣既考慮到不同緯度的特性，也避免了把重力加速度在全球作為有效常數所帶來的誤差。同時，引入的虛溫度更適合對大氣折射問題的研究。

本文給出了濕大氣的壓高公式，即式（11）。基于此，式（10）與式（12），以及式（15）和式（16）是自洽的。因此，本文認為式（15）的第二個公式是正確的，而不是文獻 ［3－5］以ν＝4代替ε＝0.622的情況。

文獻 ［3－5］和 ［12－13］只討論總大氣壓與幾何地心距的關系，即式（8）的第三式，在討論實際問題時，則認為Tw＝T或Ra＝R，這實際上就是干大氣的壓高公式。對于大氣折射理論研究來說，這顯然是不夠完備的，因為還必須知道水汽的壓高公式。

4 結論

基于文獻 ［2］對于大氣分層結構和美國標準大氣模型的論述，可知等溫層距離地表面11km以上，此層上部幾乎沒有水汽，這樣在大氣折射研究中，只存在式（10）的第一個公式。

大氣層底部的多元層，既有干大氣又有水汽，因此式（15）的兩個公式都要用到；平流層和中層內部無水汽，則只存在式（15）的第一個公式。

以上給出的只是理論模型，由于不同地區上空大氣分布的復雜性，在實際應用中需要長期的大氣探測資料來擬合指數的數值。

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