7參數模型完整公式及簡化公式的適用性研究

潘國富，鮑志雄，金永新

（廣州中海達衛星導航技術股份有限公司，廣州 511400）

1 引言

在衛星定位測量工作中，通常使用7參數模型完成WGS84坐標到地方坐標系的轉換。7參數模型的幾何意義是通過旋轉、縮放、平移獲得一個局部橢球來擬合當地坐標系下的坐標系統。由于我國使用的1954北京坐標系和1980西安坐標系都是參心坐標系，高程與平面分開定義，高程方向定義的等重力面具有不規則特征，所以在某些不平坦區域會存在較大角度的旋轉情況。在此特定區域，簡化的7參數公式將不能有效表達這種轉換關系。目前國內大部分測繪工作中主要采用適合小區域轉換的7參數模型簡化公式，另有部分廠家或機構提供了完整公式模型，因此有必要研究7參數的完整公式求解方法，并對完整及簡化兩種公式的轉換精度及適用性進行研究。

本文將介紹7參數的完整公式及其參數求解方法，并結合實際工程經驗，對比了兩種模型的優劣點及其適用性。

2 7參數轉換的完整公式

關于7參數的完整公式，國內學者已經有很多研究成果［1］。7參數模型在國內又稱為布爾莎模型或者3維赫爾默特變換，該模型是定義在空間直角坐標系（左手坐標系）下，用于表示兩個XYZ坐標系之間通過旋轉（沿坐標軸方向觀察順時針旋轉為正）、縮放和平移完成的轉換關系。為表述方便，以從WGS－84坐標轉換到1954北京坐標系坐標為例，一般通過GPS測量得到 WGS－84系統下（B，L，H）坐標后進行轉換獲得（X，Y，Z）坐標，同時把1954北京坐標系坐標下的（x，y，h）坐標進行投影反算獲得（B，L，h），并將水準高h視為局部橢球高進行轉換獲得地方坐標系下的（X，Y，Z）坐標，由此根據7參數模型列方程組

式（1）中，R為旋轉矩陣，根據轉換模型的幾何意義，其由X，Y，Z三個方向軸上的旋轉陣組成，可表達如下

設饒X軸旋轉角為α，饒Y軸旋轉角為β，饒Z軸旋轉角為γ，則

對于7參數模型的簡化公式，是將旋轉量認為是很小的微小量。根據微分近似原理，上面的R陣可以簡化成為線性方程組后按照一般的最小二乘方法進行求解。

2.1 完整公式的一階展開

對于具備大角度旋轉的情況，不可通過近似獲得線性方程組，因此必須保持完整公式求解非線性方程組。為了通過迭代法求解非線性方程組，根據高斯牛頓法的原理，需推導出模型方程的偏導函數［2－5］。將7參數待求參數向量寫為

式（3）中K為1＋m，則式（1）可以看成

f（X）在X0處展開到一階項

其中

式（6）中

2.2 基于高斯牛頓法的非線性方程組求解算法

迭代法求解非線性方程組的算法可描述為：先隨機地在近似值X0處展開，再按照一定的方法向最優值逼近。這種方法的關鍵在于，第一要避免陷入局部最小值；第二保證收斂而不發散；第三要提高其收斂速度。因此，這種逼近過程中引入了一個改正值的步長系數值的概念，即

式（7）中的λ就是每次迭代中對X向量的改正值的步長系數值。具體計算步驟：將初始值X0代入式（5）中，通過最小二乘法求出dX，然后把這個改正值乘以步長系數后改正到X0上，作為新的X0再次進行迭代，直到收斂。計算改正值的步長系數值比較關鍵，一種有效的步長計算公式可采用：

式（8）中，P函數為目標函數，可以定義為殘差平方和即可。

3 算例分析

3.1 大旋轉角的數據解算情況對比

作者對比了參考文獻［6］中的模擬算例，得到了一致的結果，為了進一步驗證算法的可靠性，作者也做了一組模擬數據：假設一組點在XYZ方向分別存在1 000m，2 000m及3 000m的平移，同時分別存在40°，50°及60°的旋轉角以及10mm／km的尺度縮放，利用這套參數使用完整公式算出假設的坐標點對，所得數據列于表1。

對于表1中的數據，分別用7參數簡化公式和完整公式進行求解，將所求得參數再代入進行轉換獲得當地坐標，為了便于理解將結果投影到平面坐標系下進行殘差統計，所求參數結果及相應的殘差信息表2及表3所示。

表1 大角度樣本數據

表2 大角度數據完整公式與簡化公式結果對比

表3 大角度數據完整公式與簡化公式殘差對比

從表2、表3可以看出：因本例數據存在較大的旋轉角，簡化模型已經難以有效的表達轉換關系，導致在解算中無法正確收斂，造成了殘差過大的現象，而完整公式還能有效的求出轉換參數，獲得較高的轉換精度。

3.2 小旋轉角的數據解算情況對比

實際工程中，遇到最多的數據還是只有較小角度旋轉量的情況。作者通過大量實際數據實驗表明在小角度情況下，完整公式與簡化公式都能夠準確求出參數，實現高精度轉換，舉例見表4、表5及表6。

從表6殘差來看：兩種公式的轉換精度沒有明顯差異，都能滿足高精度轉換。從表5中的參數結果可以看到同一組數據求出的簡化模型的7參數與完整公式的7參數結果縮放系數差異較大，因此在實踐中，這兩種公式所求出的參數是不能通用的，這是在實踐中要注意的。

表4 小角度樣本數據

表5 小角度數據完整公式與簡化公式結果對比

表6 小角度數據完整公式與簡化公式殘差對比

4 結 語

（1）使用高斯牛頓法能有效求解7參數模型完整公式的非線性方程組；

（2）在存在大旋轉角的情況下，簡化公式不能滿足使用而完整公式仍然可以使用；

（3）在旋轉角較小的情況下，使用完整公式與簡化公式具備相同的的轉換精度，未見明顯優勢；

（4）兩種公式所求得的參數不能交換使用，即參數不通用；

（5）本算法已運用到廣州中海達衛星導航技術股份有限公司的坐標轉換軟件中投入市場使用多年，經過全國市場檢驗該算法實用可行，能夠滿足國內外測量領域高精度三維坐標轉換的需求。

［1］ 羅長林.基于改進的高斯牛頓法的非線性三維直角坐標轉換方法研究［J］.大地測量與地球動力學，2007，27（1）：50－54.

［2］ 王新洲.非線性模型參數估計理論與運用［M］.武漢：武漢大學出版社，2002.

［3］ 楊 錚，黨亞民，成英燕.GPS／GLONASS定位系統融合的坐標轉換研究［J］.測繪科學，2008，33（2）：45－47.

［4］ 鮑建寬，李永利，李秀海.大地坐標轉換模型及其應用［J］.測繪工程，2013，22（3）：56－60.

［5］ 劉慶元，包 海，王 虎，等.GPS、GLONASS、GALILEO三大系統間時間系統以及坐標系統的轉換［J］.測繪科學，2008，33（5）：13－15.

［6］ 曾文憲，陶本藻.三維坐標轉換的非線性模型［J］.武漢大學學報：信息科學版，2003，28（5）：566－568.