一類HIV／AIDS流行病分數階微分模型

楊 柳，宮兆剛，高正暉

（衡陽師范學院 數學系，湖南 衡陽 421008）

1 模 型

艾滋病對人類社會帶來巨大危害，許多學者利用動力學方法研究其流行規律，取得了豐碩成果，如文獻［1－2］等。大多數文獻建立的都是整數階微分方程模型，而分數階微分方程模型很少被使用，而它具有較好的性質，如記憶性等，見文獻［3］。由于現今人口流動非常頻繁，特別是帶HIV病毒的人有許多并不知道自身已感染。下面利用分數階微分系統建立具有說服率和帶HIV病毒人口輸入率的模型，討論其動力學性質。

假設某市總人口分四類：易感類，帶HIV病毒類，已得AIDS類，說服類，分別用S（t），I（t），A（t），Q（t）表示t時刻的各類人口數。感染率記為β，自然死亡率記為μ，因病死亡率記為α，由帶HIV病毒發展為AIDS的轉化率為δ，說服率為p，HIV類輸入率為q，q＜μ＋δ＋p。用如下動力學方程來描述此疾病傳播過程：這里是Caputo分數階導數，0＜σ≤1，初值S（0）＝S0，I（0）＝I0，A（0）＝A0，Q（0）＝Q0，參數α，β，δ，μ，p，q都是非負數。

易得系統（1）具有無病平衡點（S0，0，0，Q0），其中

若R0＜1，系統（1）僅有無病平衡點，若R0＞1，系統（1）存在地方病平衡點（S＊，I＊，A＊，Q＊），其中

2 平衡點的穩定性

定理1：當R0＜1，無病平衡點是局部漸近穩定的，當R0＞1時，無病平衡點是不穩定的。

證明：系統（1）在無病平衡點處的特征方程為

解之得λ1＝（μ＋δ＋p－q）（R0－1），λ2＝－（μ＋p），λ3＝－（α＋μ），λ4＝－μ。

當R0＜1時特征根都小于0，當R0＞1時特征根有一個為正。根據文獻［5］系統的Jacobican矩陣的所有特征值λ滿足，平衡點是局部漸近穩定的，可得定理1。

定理1：當R0＞1時，地方病平衡點是局部漸近穩定的。

證明：地方病平衡點的特征方程是

即（λ＋μ）（λ＋α＋μ）［λ2＋（βI＊＋μ＋p）λ＋β2S＊I＊］＝0

可以判斷所有根都是負數，根據文獻［5］系統的Jacobican矩陣的所有特征值λ滿足，平衡點是局部漸近穩定的，可得定理2。

［1］張梅，張鳳勤，劉漢武.一類具有垂直傳播的HIV模型的穩定性分析［J］.工程數學學報，2012，29（3）：309－403.

［2］宋保軍，婁杰，文清芝.使用T－20治療HIV－1患者的不同策略的數學建模與研究［J］.應用數學和理學，2011，32（4）：400－407.

［3］黎梅新，葉海平.一類帶有治愈率的HIV感染CD4T細胞的分數階微分方程模型［J］.東華大學學報：自然科學版，2010，36（1）：103－108

［4］P.Driessche，J.Watmough.Reproduction numbers and subthreshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission［J］.Math.Bio.，2002，180：29－48.

［5］Ahmed，E.，Elgazzar，A.S.On fractional order differential equations model for nonlocal epidemics［J］.Physica A，2007，379（2）：607－614.