高階離散Green函數(shù)的一個(gè)逐點(diǎn)估計(jì)

魏繼東

（衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 衡陽 421008）

0 引 言

離散Green函數(shù)在研究有限元最大模估計(jì)中起著非常重要的作用。文［1］給出了一階離散Green函數(shù)定義并得出了相關(guān)性質(zhì)，文［2］給出了離散Green函數(shù)的一個(gè)逐點(diǎn)估計(jì)。文［3］給出了高階離散Green函數(shù)定義及性質(zhì)，本文在［2］及［3］的基礎(chǔ)上獲得了高階離散Green函數(shù)的一個(gè)逐點(diǎn)估計(jì)。

1 高階離散Green函數(shù)定義及記號(hào)

考慮橢圓問題：

其變分形式為：

設(shè)Sh是有限元空間，引進(jìn)高階導(dǎo)數(shù)?izG＊z及其Galerkin逼近?izGhz（i≥2）（參［3］），滿足：

設(shè)B是半徑為r的球，Bd是半徑為r＋d的同心球，熟知若u在Bd內(nèi)調(diào)和，uh∈Sh則有：

由文［2］有如下命題

命題1.若uh∈Sh，Bd?D?Ω滿足a（u，v）＝0，則：

命題2.在命題1的假設(shè)下有：

2 兩個(gè)引理

引理1.設(shè)g＝?izGz，gh＝?izGhz，則對任意s≤k－1，有：

證明：先設(shè)g＝?izG＊z，注意到

由文［3］性質(zhì)1及插值估計(jì)有

再利用文［4］極限過度方法將g＝?izG＊z換成g＝?izGhz結(jié)論依然成立。

引理2.設(shè)g＝?izGzgh＝?izGhz，存在常數(shù)C使得當(dāng)k≥2時(shí)有

證明：設(shè)x為B的中心，，ω為B上的切斷函數(shù)，令u1＝ωg（x），uh1為u1的Galerkin逼近，uh2＝gh（x）－uh1，則

并且

為估計(jì)I2，將B做一點(diǎn)小修改使ω在B內(nèi)有支集，設(shè)，則由命題1，命題2有：

由文［3］性質(zhì)2有：

結(jié)合上面各式即得證引理，

3 主要定理

定理1.若存在常數(shù)C0使得，則有：

證明：設(shè)x∈e，z?e，記d0＝dist（z，e），則d0≥，應(yīng)用逆不等式及引理2有

證畢。

［1］朱起定，林群.有限元超收斂理論［M］.長沙：湖南科技出版社，1989.

［2］Lin，Q.，Zhou J.M.Superconvergence in high－order Galerkin finite element methods［J］.Compute Methods in Applied Mechanics and Engineering，2007，196：3779－3784.

［3］魏繼東，朱起定.離散Green函數(shù)估計(jì)的若干推廣［J］.邵陽學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，5（2）：13－14.

［4］謝銳鋒.凹角域上的Green函數(shù)逼近的逐點(diǎn)估計(jì)和有限元外推［J］.計(jì)算數(shù)學(xué)，1988（3）：232－241.