變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用

鄧小輝，許成科，汪新文

（衡陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子信息科學(xué)系，湖南 衡陽(yáng) 421008）

0 引 言

1926年，奧地利物理學(xué)家薛定諤提出用一個(gè)波方程來(lái)描述微觀粒子體系的運(yùn)動(dòng)行為，即薛定諤方程［1］。求解此方程，就可得到體系的波函數(shù)，那么體系的一切性質(zhì)都能被確定［2］。隨后的考慮了相對(duì)論效應(yīng)的狄拉克方程的確立［3］，讓人們似乎看到“現(xiàn)在量子力學(xué)的普遍理論業(yè)已完成，作為大部分物理學(xué)與全部化學(xué)的物理定律業(yè)已完全知曉，而困難僅在于把這些定律確切應(yīng)用將導(dǎo)致方程式太繁雜而難以求解。”。正如狄拉克所說(shuō)，隨著體系的增大，薛定諤（或者狄拉克）方程幾乎是不可解的。因此，各種近似方法應(yīng)運(yùn)而生。在量子力學(xué)中，求解薛定諤方程有兩種應(yīng)用范圍極廣的近似方法：微繞法和變分法。對(duì)于束縛定態(tài)，它是基于能量本征值方程（即不含時(shí)間的薛定諤方程）與能量變分原理的等價(jià)性，通過(guò)求能量的極值得到能量本征值方程的解。在處理具體問(wèn)題時(shí)，總是采用波函數(shù)某種特殊的變化去代替最普遍的任意變分，這樣就可得到依賴于波函數(shù)特殊形式的近似解［4］。這種方法稱為變分法。

變分法的優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)用它求解不受什么限制，只要選取好的變分函數(shù)，就能很好地得到體系的基態(tài)性質(zhì)。因此利用變分法來(lái)求解量子體系具有方便、簡(jiǎn)單和物理意義明確的優(yōu)勢(shì)。本文將主要研究變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用。為與求解量子體系的基態(tài)性質(zhì)相關(guān)的科研和教學(xué)活動(dòng)提供一個(gè)參考。

1 變分法概要

可以證明某個(gè)微觀體系的薛定諤方程

就是下列變分問(wèn)題的歐拉微分方程［5］。這個(gè)變分問(wèn)題就是能量積分

為極小，即

H為體系的哈密頓量，可寫為

其中波函數(shù)滿足歸一化條件

把（4）式代入（3）式，施行部分積分得到

由歐拉微分方程，經(jīng)整理后即可得到薛定諤方程（1）式。至此我們就證明了微觀體系的薛定諤方程就是使其能量積分取得極值時(shí)的歐拉微分方程。可見(jiàn)在量子力學(xué)中，不必從薛定諤方程出發(fā)來(lái)研究，而從（3）式或者（7）式出發(fā)來(lái)研究即可。這樣問(wèn)題就變成求一函數(shù)ψ，它將使（3）或者（7）中的積分變?yōu)闃O小。這就是量子力學(xué)中的變分原理［5］。

2 一個(gè)例子：一維諧振子

無(wú)論在經(jīng)典物理還是在量子物理中，一維諧振子都和很多物理現(xiàn)象相關(guān)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，任何體系在穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)都可以近似看成一維諧振子。如雙原子分子的振動(dòng)，晶體結(jié)構(gòu)中原子和離子的振動(dòng)，核振動(dòng)等等［6］。下面我們用上面的變分原理來(lái)討論一維諧振子。假設(shè)諧振子的質(zhì)量為m，沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，那么受到的勢(shì)能為

體系的哈密頓量為

選擇試探波函數(shù)ψ＝Ce－λx2，由歸一化條件（5）得到。那么，

體系的能量積分為

對(duì)上式展開積分，應(yīng)用積分公式

可算出

E為一極小的條件為

可解得

代入（12）式，得到體系最低能量值為

相應(yīng)的波函數(shù)為

令

（16）式化為一種更簡(jiǎn)單的形式

這種結(jié)果與嚴(yán)格求解得到的結(jié)果完全相同［7］，說(shuō)明我們選取的變分函數(shù)很好。

幾種α下波函數(shù)圖如圖1。波函數(shù)滿足高斯型分布，在x＝0出有個(gè)明顯的峰。隨著α的降低，峰值逐漸降低，峰的寬度越來(lái)越大。波函數(shù)幾率密度分布和波函數(shù)的分布曲線形狀一樣，也是隨著α的降低，波函數(shù)幾率密度分布趨于更為發(fā)散。值得指出的是，用變分法解出的波函數(shù)幾率分布和經(jīng)典理論下得到的幾率分布明顯不一樣。變分法得到的波函數(shù)在x＝0處的幾率最大，如圖1。

必須指出，變分雖然能簡(jiǎn)單、方便地求解體系的基態(tài)性質(zhì)，但它是一種近似方法，它的近似性來(lái)源于用參數(shù)的變化代替了普遍形式的任意變分。顯然，只要選取的波函數(shù)滿足歸一化條件和邊界條件，波函數(shù)中參數(shù)愈多，嘗試波函數(shù)的變化愈普遍，所得結(jié)果就愈好。如果嘗試波函數(shù)與精確解的差為Δ量級(jí)，則能量本征值與精確解的差為Δ2量級(jí)，因而即使用較為粗糙的嘗試波函數(shù)也可得到近似性很好的能量本征值。考慮到不同能量的本征函數(shù)彼此正交，也可以由低至高逐級(jí)求激發(fā)態(tài)能量的近似值，其近似性較基態(tài)為差。變分法的優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)用它求解不受什么限制，但是由于結(jié)果的好壞完全取決于嘗試波函數(shù)的選擇。因此選取物理意義明確的嘗試波函數(shù)至關(guān)重要。

圖1 幾個(gè)典型的α下的線性諧振子波函數(shù)和位置幾率密度分布圖

3 結(jié) 語(yǔ)

本文主要研究了變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用。證明了微觀粒子的薛定諤方程就是其能量積分取極小值時(shí)的歐拉方程。求解薛定諤方程可以轉(zhuǎn)換為去確定體系的能量積分的最小值。為量子力學(xué)中求解基態(tài)問(wèn)題提供了一種參考方法。最后以一維諧振子為例，用變分法求得了其基態(tài)能量和波函數(shù)，其結(jié)果和嚴(yán)格求解得到的基態(tài)能量和波函數(shù)符合得很好，說(shuō)明變分法在量子力學(xué)中是一種有效的求解基態(tài)性質(zhì)的方法。

［1］E.Schrodinger.Quantisierung als eigenwertproblem［J］.Ann.d.Phys.，1926，79：361.

［2］B.Hoffmann.The Strange story of the quantum［M］.Dover publications，Inc.1959：60－80.

［3］P.A.M.狄拉克.量子力學(xué)原理［M］.陳咸亨，譯.北京：科學(xué)出版社，1979：258－282.

［4］老大中.論完全泛函的變分問(wèn)題［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，26（8）：749－752.

［5］芶清泉，黃樹勛.原子結(jié)構(gòu)的變分計(jì)算［M］.成都：成都科技大學(xué)出版社，1989：1－19.

［6］習(xí)崗.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2008：60－428.

［7］周世勛.量子力學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，2001：38－44.