基于NSCT的獨立分量分析方法

張軍龍，劉立程，俞坤游

（廣東工業大學 信息工程學院，廣東 廣州 510006）

基于NSCT的獨立分量分析方法

張軍龍，劉立程，俞坤游

（廣東工業大學 信息工程學院，廣東 廣州 510006）

為了提高獨立分量分析（ICA）算法的分離性能，提出了基于非下采樣輪廓波變換（NSCT）的ICA方法。首先對混合圖像進行NSCT，使混合圖像的非高斯性在NSCT域得以增強，然后在變換域求解分離矩陣。理論分析和仿真實驗均表明，該方法可以獲取更好的分離精度和更快的收斂速度。

獨立分量分析；非下采樣輪廓波變換；固定點算法；峭度；性能指數

獨立分量分析ICA（Independent Component Analysis）是20世紀90年代發展起來的一種新的信號處理技術，它是從多維統計數據中找出隱含因子或分量的方法。目前ICA算法的研究可分為基于信息論準則的迭代估計方法和基于統計學的代數方法兩大類[1-2]，從原理上來說，它們都是利用了源信號的獨立性和非高斯性。迄今為止，各國專家學者提出了一系列估計算法，如FastICA算法、Infomax算法、最大似然估計算法、基于二階累積量或四階累積量等高階累積量算法[1-2]。

ICA問題實際上包括了兩個部分：一是采用什么樣的判據（目標函數或者代價函數）來判定一組信號是否相互獨立或者接近相互獨立；二是用什么樣的算法來實現這個目標。實際工作中常用的目標函數有互信息最小化目標函數、傳輸信息最大化或者負熵最大化目標函數和ICA最大似然目標函數。可以證明[1]，在信息論框架下各種目標函數是統一的。因此，必須通過概率密度函數（PDF）的級數展開或者采用適當的非線性函數來簡化和逼近。比如信息最大化目標函數（Infomax）通過引入非線性函數來代替高階統計量的估計[2]。

理論分析表明[1-3]，ICA算法的性能與非線性函數的選擇和源信號的概率分布有關。為了改善ICA算法的性能，通常的做法是根據源的概率密度估計來選擇合適的非線性函數，使之盡量符合源的概率分布。本文換一種思路，從改變源的概率分布出發來改善ICA算法的性能。考慮到把圖像變換到NSCT（Nonsubsampled Contourlet Transform）域，其高頻方向子帶具有更大的峭度，然后在變換域直接求解分離矩陣，就可以獲得更高的分離精度和更快的收斂速度。實驗結果證明了此方法的有效性。

1 非下采樣Contourlet變換

1.1 NSCT變換

輪廓波（Contourlet）[4-5]作為一種多尺度和多方向的圖像表示方法，已經在自然圖像去噪[6]、圖像融合[7]等領域[8]獲得了廣泛的研究，展示了這一多尺度幾何分析方法的強大潛力。Contourlet最初的提出是為了尋找圖像中分段光滑的輪廓信號的稀疏表示，DO M N和VETTERLI M認為Contourlet是一種 “真正”的二維圖像表示方法。然而由于Contourlet在實現過程中對濾波后的圖像進行了隔行隔列的重采樣，使低頻子帶和高頻子帶產生頻譜混疊。頻譜混疊造成同一方向的信號會在幾個不同的方向子帶同時出現，從而在一定程度上削弱了其方向選擇性[4]。

為了消除Contourlet變換的頻譜混疊現象，增強其方向選擇性和平移不變性。基于Contourlet變換和非下采樣思想，CUNHA A L、ZHOU J P和 DO M N等于 2006年利用非下采樣塔式分解和非下采樣濾波器組構造出了非下采樣輪廓波變換 （NSCT）[9]。由于沒有下采樣操作，NSCT具有平移不變性。

NSCT變換包括兩個步驟：第一步采用拉普拉斯金字塔LP（Laplacian Pyramid）來實現多尺度分解，第二步通過方向濾波器組DFB（Directional Filter Bank）來實現方向分解。

1.2 非下采樣LP分解

在Contourlet變換的LP分解中,首先對上一尺度低頻圖像用低通濾波器進行低通濾波,然后進行下采樣得到低頻圖像；再對該低頻圖像進行上采樣，然后用高通濾波器對上采樣后的圖像進行高通濾波，并將高通濾波后的圖像與上一尺度的低頻圖像進行差分，得到塔式分解后的高頻部分。

非采樣的LP分解不同于Contourlet變換中的LP分解，在NSCT中，采用Atrous算法的思想，對低通濾波器和高通濾波器分別進行上采樣，然后對上一尺度低頻圖像采用上采樣后的低通濾波器進行低通濾波，得到低頻圖像；對上一尺度低頻圖像用上采樣后的高通濾波器進行高通濾波，得到LP分解后的高頻圖像。圖像經N級非采樣塔式濾波后,可得到N+1個與源圖像具有相同尺寸大小的子帶圖像。

1.3 非下采樣DFB分解

2 基于NSCT的ICA算法

2.1 NSCT域高頻子帶概率分布特性

理論分析和實驗[4,10]都表明，近高斯分布的自然圖像（大多為亞高斯分布）其Contourlet域的高頻子帶為超高斯分布（接近 Laplace分布），而作為 Contourlet算法改進的NSCT，其變換域的高頻方向子帶也呈現非高斯分布。圖2給出了圖像pepper作一次NSCT分解產生的低頻子帶和兩個高頻子帶的統計直方圖和歸一化峭度值。其中，歸一化峭度定義為[3]：

圖2 NSCT變換前后統計直方圖與歸一化峭度

由圖2可以看出，經過NSCT變換后，高頻子圖像的峭度約為原圖像峭度的15倍（圖像信號一般為亞高斯信號，峭度為負值）。實驗表明，對于其他的圖像也有類似的結果。

2.2 算法的可行性分析

ICA最基本的模型為

其中,x=（x1,x2,x3,…,xm）T是m維的零均值隨機觀測信號，它是由n個未知的零均值獨立源信號s=（s1,s2,…,sn）T線性混合而成的，A=[a1,a2,…,an]是 m×n階（通常 m和 n相等）滿秩的混合矩陣；aj為混合矩陣的m維列向量。考慮到NSCT是一種線性變換，對式（2）和式（3）兩邊進行NSCT（忽略時刻 t），有

其中,T表示NSCT變換。所以時域的混合矩陣A及分離矩陣W與NSCT域的A和W是一致的，在NSCT域得到的分離矩陣W可直接用來分離原混合信號，從而得到源信號,沒有必要對NSCT變換域的獨立分量求取反變換。

2.3 算法的收斂性分析

收斂性分析如下[2,12]。 估計信號y（忽略時間參數t）的任何一個分量為:

其中，giT為全局傳輸矩陣的第i行。由（6）式知，估計信號y的任何一個分量可以表示為相互獨立的源信號的線性組合。由高階累積量的性質[1]：kurt（s1+s2）=kurt（s1）+kurt（s2）和 kurt（βs1）=β4kurt（s1），得到以峭度作為非高斯性準則的代價函數表達式[2]:

其中，α為步長參數。由式（5）知，以峭度作為非高斯性度量的算法，其收斂速度與源信號的峭度成正比。可以推出，基于ICA各種代價函數的等價性，在使用其他目標函數的情況下也能得出相同的結論。

2.4 算法的具體實現步驟

假設混合的N幅圖像已經按行堆疊，每一行代表一幅混合圖像，共計N行。具體實現步驟如下：

（1）把混合信號每一行還原成圖像信號，則可以獲得N幅圖像；

（2）對還原的圖像作NSCT變換，分別獲取相應的低頻子圖和高頻子圖（共有N幅低頻子圖，其他的全是高頻子圖）；

（3）選擇某個分解尺度、某個方向的高頻子圖，將其按行重新排列成矩陣；

（4）在新矩陣上運行ICA算法（如FastICA算法）,得到分離矩陣W和相互獨立的NSCT域分量；

（5）分離矩陣W直接乘以原時域混合圖像信號，可以得到時域分離的獨立分量（矩陣），把每一行還原成二維的圖像形式，就可以得到N幅源圖像。

3 實驗仿真與分析

實驗參數如下：NSCT分解層數為兩層，Pyramidal濾波器為 maxflat，Directional濾波器為 dmaxflat7，這樣就可以獲取一個低頻子帶和兩個高頻方向子帶（實驗取第2個方向子帶）。采用的ICA算法為FastICA，分離性能評價標準采用式（1）的PI性能指數，實驗圖像大小取為256×256的標準灰度圖像，實驗時混合矩陣A由系統隨機生成。

圖3給出了混合前的圖像，圖4給出了混合后的圖像。

圖3 混合前的灰度圖像

圖4 混合后的灰度圖像

圖5為直接運行FastICA算法得到的圖像，圖6為在NSCT域運行FastICA算法得到的圖像。PI性能指數分別為 0.223和0.007 3。

圖5 FastICA直接解混后的灰度圖像

圖6 變換域FastICA算法解混后的灰度圖像

為進一步驗證算法的性能，反復實驗100次,結果如圖7所示。

圖7 迭代次數與PI性能指數

從圖7可以看出，在NSCT域ICA算法的性能非常好，PI指數基本穩定在0.008 7左右，迭代次數基本穩定在25次左右，視覺效果也非常好。而在時域直接運行FastICA算法，視覺效果并不理想，PI性能指數基本上迭代次數超過150仍未收斂（概率約為0.08，繪制圖7時已排除此情況）。

實驗證明，在小波域、Contourlet域以及NSCT域，FastICA算法的收斂精度及收斂速度均有較大的提高。總之，從改變源信號的概率分布的角度出發，通過線性變換把混合信號變換到變換域,在變換域進行相關處理。理論和實驗均證明，該方法行之有效，同時也是一個重要的值得研究的方向。

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[5]DO M N,VETTERLI M.The contourlet transform:an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Transactions on Image Processing,2005,14（12）:2091-2106.

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Independent component analysis based on NSCT

Zhang Junlong,Liu Licheng,Yu Kunyou

（Faculty of Information Engineering,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510006,China）

In order to improve the separation performance of the independent component analysis（ICA）algorithm,a new method based on nonsubsampled contourlet transform（NSCT）is proposed in this paper.Firstly,the mixed images are decomposed using NSCT,which increases the non-Gaussianity in the NSCT domain,then the separated matrix can be obtained in the transform domain directly.Theory analysis and simulation experiments all show that the new method can achieve superior performance in both convergence rate and separation accuracy.

ICA;NSCT;FastICA;kurtosis;performance index

TP391

A

1674-7720（2013）20-0044-04

2013-08-16）

張軍龍，男，1988年生，碩士研究生，主要研究方向：圖像處理，信號處理。

劉立程，男，1972年生，博士，副教授，主要研究方向：通信信號處理。

俞坤游，男，1988年生，碩士研究生，主要研究方向：儀器儀表工程。