對一道高三調研試題的探究

☉江蘇省西亭高級中學 陸王華

對一道高三調研試題的探究

☉江蘇省西亭高級中學 陸王華

前蘇聯數學家奧加涅相說：“必須重視，很多習題潛藏著進一步擴展其數學功能與教育功能的可行性.”某市2012-2013學年第一學期高三期末考試第18題（解析幾何題）是一道涉及定點、定值的探究題，就是這樣的好題.筆者通過對該題的拓展及探源，使這道測試題真正體現它的思維價值，同時也享受數學探究的方法與樂趣.

一、試題呈現

（1）求橢圓C的方程.

（2）若動直線l與橢圓C有且只有一個公共點，試問：在x軸上是否存在兩定點，使其到直線l的距離之積為1？若存在，請求出兩定點的坐標；若不存在，請說明理由.

首先看命題專家提供的答案.

綜上，存在兩個定點（-1，0）、（1，0），使其到直線l的距離之積為定值1.

上面的解法突出直線的斜截式，根據直線與橢圓相切，得到k與p的關系，過程自然，但運算量較大.如果設切點P（x0，y0），直接得到橢圓切線l的方程，一可避免對直線斜率是否存在的討論，二可減少計算量.

所以存在兩個定點（-1，0）、（1，0），使其到直線l的距離之積為定值1.

從上面的解法可以看出，根據橢圓上點P的坐標直接寫出切線方程，要簡捷得多！如果在學習中我們將該題解決后就完事大吉，放棄對該題的探究，自然領悟不到此題的價值，從而錯失一個好的試題應有的功能.

二、該題的一般性結論

三、探尋試題的源頭

弄清試題的源頭，有助于把握問題的來龍去脈，促進我們把握知識之間的內在聯系.該結論絕不會是憑空想出來的，它的得來一定與我們見過的一些基本結論或題型有聯系.它的源頭在哪里呢？

首先我們可以想象：當橢圓的兩個焦點無限接近時，橢圓的形狀越來越趨近于圓，因此圓可以看成焦點重合于圓心的橢圓.而圓心到圓上一點處的切線的距離顯然為半徑，但在橢圓中就無法確定是a2還是b2了.能否從橢圓的幾何性質入手來探尋呢？

進一步思考：能否用平面幾何知識加以證明：橢圓兩個焦點到橢圓的切線的距離之積為定值b2呢？經過探究發現是可以的！為了能簡捷證明這條性質，先解決一個與橢圓的切線有關的又一結論：

最后還需說明一下，既然橢圓與雙曲線有這樣的性質，那么對于拋物線y2＝2px（p＞0），雖然沒有兩個焦點，那么，在x軸或y軸上是否存在兩點到拋物線上任一點P（x0，y0）處的切線y0y＝p（x+x0）的距離之積為定值呢？經過探究，答案是否定的，即在x軸或y軸上不存在這樣的兩點.限于篇幅，這里不予贅述.