數學美學觀下的高職微積分課堂設計——以極限概念講解為例

廖紅文

（廣東女子職業技術學院 廣東 番禺511450）

高職數學課程的性質和任務一般強調數學是一門重要的專業基礎課，為學生學好專業課打下必要的數學基礎，提高學生的數學應用能力，培養學生運用數學分析問題、解決問題的能力。對于數學這樣一門嚴肅、抽象、難懂的課程，大多數高職學生感到學得困難，缺乏興趣，使得數學教育目標的實現大打折扣。古羅馬詩人賀拉斯提出“寓教于樂”。有位學者曾說：“若要把感性的人變成理性的人，唯一的路徑是使他成為審美的人?！被谶@種背景和思想，我們提出從數學美學的角度出發設計微積分課堂，在教學中充分利用微積分美的內容、形式，運用審美的教學手段，培養學生的數學審美能力，真正發揮數學美的作用，激發學生學習微積分的興趣。讓學生從欣賞美的角度學習微積分，體會它的體系之美、簡潔之美、符號之美、無限之美，在美的潛移默化中學習微積分的精髓。同時，培養學生運用數學的思想和方法思考問題、分析和解決問題的能力和學生理性思維習慣，培養學生追求真理、不畏艱辛、勇于自我批判的人文精神，提高學生的數學素養。

數學美的表現形式是多種多樣的——從數學的外在形象上觀賞，她有體系之美、概念之美、公式之美；從數學的思維方式上分析，她有簡約之美、無限之美、抽象之美、類比之美；從美學原理上探討，她有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。同時，數學還有著完美的符號語言、特有的抽象藝術、嚴密的邏輯體系、永恒的創新動力等特點。本文以極限的概念講解為例，談談如何利用美學手段誘發學生的想象力學習數學，體驗數學美。

創設課堂情景美

哈代說：“數學家跟畫家或詩人一樣，也是造型家，概念也像色彩或語言一樣必須和諧一致?！痹跀祵W課堂上利用詩歌、繪畫營造出優美和諧的環境，讓詩歌和繪畫誘發出學生的想象力，讓學生在美的潛移默化中學習抽象的數學概念。實踐證明，這是一種行之有效的教學模式?，F代科學研究證明，接受信息者如果同時使用聽覺和視覺，接受的效果更好，并且音像信號愈強，接受效果愈好。為此，在教學過程中，教師對學生就應努力強化這些信號。工整的板書、優美的圖片、設計美觀的多媒體都可以在課堂上創造令人賞心悅目的環境，不但可以提高學生的學習情趣，還可以大量減少語言的使用，使學生對數學有更直觀的了解。

例如，“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”——一句優美的詩配以滾滾長江的水墨畫引入新一章的學習內容——極限?！肮路h影碧空盡，唯見長江天際流”是李白在《送孟浩然之廣陵》中的名句。學生齊頌李白《送孟浩然之廣陵》拉開極限學習的序幕，而學生也在詩與畫中沉浸在一種和諧的氛圍里。這首詩讓學生在腦海中勾勒出一幅“一葉孤舟隨著江流遠去，帆影在逐漸縮小，最終消失在水天一色之中”的圖景，這時無窮小的數學概念也就融合在這美的詩意中去了。

再如，講解無窮大的概念時，學生不能理解無窮大的那個預設的邊界“M”時，我們引用“抽刀斷水水更流”來解釋“抽刀斷水”與“M”的神似之處。講解完無窮大，我們用陳子昂的《登高》配以一副意味濃濃的攝影作品對其作小結。“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下”——從數學上看來，這是一首闡發時間和空間感知的佳句。前兩句表示時間可以看成是一條直線（一維空間）。作者以自己為原點，“前不見古人”指時間可以延伸到負無窮大，“后不見來者”則意味著未來的時間是正無窮大。后兩句則描寫三維的現實空間：天是平面，地是平面，悠悠地張成三維的立體幾何環境。全詩將時間和空間放在一起思考，感到自然之偉大，產生了敬畏之心，以至愴然涕下。這樣的意境，讓學生對無窮有了更深刻的理解。

課堂氣氛和諧美

教師的教態和儀表向學生傳遞著課堂氣氛的信息。親切自然的教態、凝練樸素的語言、抑揚頓挫的語調，讓學生感受到最直接的美學教育，讓學生身心輕松地投入學習。風趣幽默的問題，在一問一答中建立起和諧的師生關系。數學課是思維的演練場，教師的任務之一就是要引導學生不斷地思考，而提問是引導學生主動思維的有效手段。有人說，數學問題都是抽象和嚴肅的，怎么能讓學生積極愉快地思考？這就關系到提問的技巧。首先，問題的表述要簡單明了，語氣要幽默，問題還要典型。例如，剛剛介紹完極限的概念后，提出一個問題：判斷下列式子是否成立？

我們可以這樣問：如果上式成立，1與0.9˙之間相差的那個數到哪里去了？由此引入極限史上的一個故事：“消逝的鬼魂”與無窮小量的產生。

故事的講解不但讓學生體會到極限是一個無窮變化的從量變到質變的過程，也體會到科學發展的曲折和艱辛，科學家永無止境的探索精神及對真理不懈追求的勇氣。

數學思想深刻美

極限概念的引入是從單位圓面積的計算開始的。問題這樣提出：讓我們回到劉徽所處的魏晉時代，我們怎樣計算單位圓的面積？學生在笑聲中想象自己是劉徽，怎樣來計算圓面積。

這個問題解決后，我們概括了三點內容。（1）逼近問題是一個與“變化”有關的問題。如果希望逼近一個不能直接計算的量，可以采用近似計算的技巧，而計算的精確度往往依賴于計算的次數。微積分（極限）可以解答精確度與計算次數之間的關系問題。如果增加計算次數，近似會無限接近某個數值，這正是逼近（或變化）的結果。（2）某些“量”的計算需要從變化的角度來處理，并通過“極限”過程來進行，這正是微積分的基本思想。（3）“以直代曲，逐步求精”的手段，是微積分中常用的方法。

隨后，我們將這三點內容進行了拓展講解，指出“化整為零，積零為整”就是在工作中拿到復雜的工作或任務時學會分解任務、分解難點、各個擊破、再進行整合的方法?！耙灾贝?，逐步求精”就是在解決復雜問題時先用簡單的模型代替實際問題，再逐步深入，逐步求精的方法。而這些方法可以用在我們工作的各個領域，是一種普適的解決問題的方法，從中也讓學生體會到數學思想的深刻性和普適性。

數學思想是數學教學中的精華，是最能體現數學本質的東西。微積分中包含著豐富的數學思想。上面談到的“極限思想”，“在微小局部‘以勻代非勻’，‘以直代曲’”的思想都是數學思想中的精髓。在講授數學思想的課程中，筆者主要采用具體——抽象——具體的方法，通過典型實例引出問題，通過科學的抽象體現思想，再通過利用思想發現問題、解決問題的實例讓學生領會思想。數學思想教育在培養學生創造力和獨立思考問題的能力方面有著獨到的價值。

數學哲學情操美

德育教育中有一種教育法叫無痕教育。無痕教育是指在教育過程中教育者通過創設有教育意義的情境和活動，既達到教育目的，又不留下讓學生感到教育者在教育他們的一種方法。這種方法沒有明顯說理教育，而是把理寓于情境和活動之中，使學生在一種自然、輕松、愉快、美好的環境中心靈受到感化，自覺自愿地形成良好的思想品德。心理學研究表明：人們總有一種不太愿意整天被人教育的天性。前蘇聯著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“造成教育青少年困難的最重要的原因，在于教育目的在學生面前以赤裸裸的形式進行?！卑呀逃康碾[藏起來，然后通過各種活動形式對學生進行“潤物細無聲”的無痕教育，會使學生在不知不覺中提高認識、凈化心靈、規范行為。

微積分中飽含的深刻的人生哲學，對學生就是一種“潤物細無聲”的教育。例如，微積分討論的連續函數絕大多數都是蜿蜒曲折的，有時上升有時下降，有極大值，有極小值。千姿百態的函數曲線像極了蕓蕓眾生的命運，有時順利有時曲折，有高峰時也有低谷時，這是人生的常態。所以，當我們處于人生佳境時不要驕傲，隨時保持一顆謙恭之心；處于人生低谷時也不要氣餒，只要我們繼續努力，我們的人生曲線還能逐步上揚。

計算直線的長度比計算一條曲線的長度要容易得多。為了求得一條曲線的長度，把這條曲線無限細分，細分成若干條細小的直線，再把這些直線的長度加起來，就求得了曲線的長度。這就是學習極限時學過的“以直代曲”的思想，這也是微積分的基本思想。

我們可以將微積分的這種基本精神映射到人的一生。人的一生是在分分秒秒中度過，而這分分秒秒就是微分。人的一生不管有多長，都是這微小的分分秒秒的時間之和，這就是人生的積分。積分曲線的形態取決于微分函數。人生的積分曲線則取決于我們如何利用我們的分分秒秒——人生的微分函數。要想獲得充實而有意義的人生，我們就必須抱有積極向上的人生態度，讓我們在分分秒秒的努力中不斷積累，收獲我們豐盈的人生。

[1]張奠宙.微積分賞析漫談[J].高等教育研究，2009（3）.

[2]楊忠泰.數學美學思想的歷史演變[J].自然辯證法研究，2000（12）.

[3]周天良.無痕教育——有效的德育方法[J].素質教育大參考，2006（3）.