基于中位數(shù)回歸模型非壽險(xiǎn)精算中費(fèi)率因子的顯著性判別分析

郭念國(guó)

（河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，鄭州 450001）

0 引言

在非壽險(xiǎn)精算領(lǐng)域，如何厘定出價(jià)格合理、具有競(jìng)爭(zhēng)性的保險(xiǎn)產(chǎn)品是保險(xiǎn)人關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題。因?yàn)楫a(chǎn)品的價(jià)格不僅僅關(guān)系到新客戶的加入，還影響到老客戶的去留，而且價(jià)格合理的保險(xiǎn)產(chǎn)品在一定程度上可以避免被保險(xiǎn)人出現(xiàn)道德風(fēng)險(xiǎn)和逆選擇，從而減少保險(xiǎn)人不必要的損失。分類(lèi)費(fèi)率厘定方法作為非壽險(xiǎn)精算中費(fèi)率厘定最重要的方法之一，其基本思想是基于保險(xiǎn)市場(chǎng)中被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)水平的不同進(jìn)行分組劃分，對(duì)不同的風(fēng)險(xiǎn)組別分別厘定費(fèi)率，而辨別各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)組別之間是否存在顯著性差別，是厘定費(fèi)率的一個(gè)前提條件。廣義線性模型作為分類(lèi)費(fèi)率厘定的一個(gè)重要統(tǒng)計(jì)工具，在非壽險(xiǎn)精算領(lǐng)域取得了大量的研究成果。

分位數(shù)回歸作為線性模型的推廣，可以通過(guò)選取不同的回歸分位，更全面的刻畫(huà)條件分布，而且其具有參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)健性和單調(diào)變換不變性等優(yōu)良特性。實(shí)踐證明Koenker[1]，在滿足廣義線性模型假設(shè)的條件下，利用分位數(shù)回歸模型估計(jì)的結(jié)果與廣義線性模型的估計(jì)幾乎一致；如果假設(shè)條件不滿足，分位數(shù)回歸估計(jì)的結(jié)果會(huì)更好，從而，使得分位數(shù)回歸的理論和方法在各個(gè)領(lǐng)域的研究應(yīng)用得到迅速發(fā)展。郭念國(guó)和徐昕[2]利用分位數(shù)回歸模型對(duì)非壽險(xiǎn)精算中厘定變量對(duì)損失變量的影響進(jìn)行了整體分析，但利用分位數(shù)回歸模型研究非壽險(xiǎn)精算中問(wèn)題的文獻(xiàn)尚不多見(jiàn)。

本文基于中位數(shù)回歸模型的優(yōu)良性，對(duì)費(fèi)率因子水平的顯著性進(jìn)行判別，并與其他模型進(jìn)行比較。為更好的理解中位數(shù)回歸模型，本文首先介紹了中位數(shù)和中位數(shù)回歸模型的概念及其實(shí)現(xiàn)算法；然后基于中位數(shù)回歸模型的思想和算法，對(duì)中位數(shù)回歸估計(jì)的優(yōu)良性進(jìn)行了說(shuō)明；最后給出實(shí)證分析。

1 中位數(shù)及中位數(shù)回歸模型

中位數(shù)是分位數(shù)的一個(gè)特例，樣本中位數(shù)一般定義為有序集合的中間值，即樣本中位數(shù)把樣本分成數(shù)目相等的兩部分，一部分均大于中位數(shù)，另一部分均小于中位數(shù)。通常用樣本中位數(shù)來(lái)估計(jì)總體中位數(shù)m，即如果變量Y代表總體，則

定義1 設(shè)隨機(jī)變量Y的累積分布函數(shù)為F(y)=P(Y≤y)，則Y的中位數(shù)為QY(0.5)=min{P(Y≤η)≥0.5}。

由中位數(shù)的定義可以看出，中位數(shù)只與其所在序列的位置有關(guān)，從而比均值更具有穩(wěn)定性。如調(diào)查某社區(qū)的家庭收入情況，因?yàn)榭陀^原因，可能只有少數(shù)的家庭收入很高，從而該分布是右偏的，用中位數(shù)代表家庭收入比均值更能反映多數(shù)家庭收入狀況。

定義2 設(shè)(yi,xi)為第i個(gè)觀測(cè)值，其中xi=(xi1,xi2,…,xip)T，i=1,2,…,n，稱(chēng)下式為中位數(shù)回歸模型。

其中β0.5為下式的解

2 中位數(shù)回歸的優(yōu)良性

2.1 穩(wěn)健性

穩(wěn)健性考慮的問(wèn)題是：當(dāng)實(shí)際模型中的分布與假定模型中的分布有微小差異時(shí)，統(tǒng)計(jì)方法的性能會(huì)受到怎么樣的影響。基于Hampel[5]提出的影響函數(shù)，下面給出中位數(shù)回歸模型具有穩(wěn)健性，而均值模型不具有。

假定式（5）中分母存在且大于零。

2.2 單調(diào)變換的不變性

一個(gè)好的統(tǒng)計(jì)模型，不僅僅具有穩(wěn)健性，而且還應(yīng)該具有變量變換的不變性。如一個(gè)索賠額y（以美元為單位）的統(tǒng)計(jì)模型，若變換索賠額y的度量貨幣，如人民幣，希望這種變化對(duì)模型的估計(jì)結(jié)果沒(méi)有影響；如果對(duì)模型中的因變量作變換，也希望模型中的參數(shù)發(fā)生同步變化，而模型解釋的結(jié)論并不改變，這就是模型的單調(diào)變換的不變性，中位數(shù)回歸模型就具有該性質(zhì)。

假如h(?)是實(shí)數(shù)R上的非減函數(shù)，對(duì)于任意的隨機(jī)變量Y，下式成立

稱(chēng)（6）式為分位數(shù)的單調(diào)變換不變性。

式（6）成立是因?yàn)?/p>

由式（6）可知，對(duì)變量Y做h(?)變換后的中位數(shù)等于Y 的中分位數(shù)做 h(?)變換。由式（6）和式（1）知，

其中X為協(xié)變量。從而，中位數(shù)回歸模型對(duì)于變量Y做變換h(?)后的中分位數(shù)的值大小沒(méi)有發(fā)生變化，即模型的結(jié)論沒(méi)有變化，稱(chēng)該性質(zhì)為中位數(shù)回歸模型的單調(diào)變換的不變性。該性質(zhì)對(duì)于線性模型不成立，因?yàn)镋(h(Y))≠h(E(y))，除非 h(?)是妨射變換。

3 實(shí)證分析

本文利用P.de Jong等[6]中分析的車(chē)輛保險(xiǎn)數(shù)據(jù)對(duì)費(fèi)率因子的顯著性進(jìn)行分析，該數(shù)據(jù)是基于2004年或2005年的一年期保單數(shù)據(jù)，包含10個(gè)變量，67856份保單，其中有4624份至少發(fā)生一次索賠。設(shè)索賠額變量為y（美元），對(duì)4624份保單索賠額統(tǒng)計(jì)如表1。

由表1可知，索賠額變量y的變異程度非常大，而且中位數(shù)與均值的差別很大，說(shuō)明數(shù)據(jù)存在厚尾現(xiàn)象。對(duì)于存在該現(xiàn)象的數(shù)據(jù)，Gamma回歸模型和逆Gaussian回歸模型是兩個(gè)常用方法。故基于分位數(shù)回歸模型的費(fèi)率因子顯著性的判別結(jié)果將與這兩個(gè)模型作比較，為此，分位數(shù)回歸模型需對(duì)對(duì)索賠額變量y進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，由性質(zhì)（7）知，該變換對(duì)分位數(shù)回歸模型的估計(jì)結(jié)果沒(méi)有影響。

為與P.de Jong等[6]中的結(jié)論比較，本文討論駕齡類(lèi)別（agecat）、性別（gender）和區(qū)域（area）三個(gè)費(fèi)率因子對(duì)索賠額的影響，它們分別有6、2和6個(gè)水平，取值及基準(zhǔn)水平的選擇如表2。

為分析析各個(gè)費(fèi)率因子水平對(duì)索賠額的顯著性，建立的均值回歸模型和分位數(shù)回歸模型分別為

表1 索賠額的描述性統(tǒng)計(jì)

表2 費(fèi)率因子

表3給出Gamma回歸模型、逆Gaussian回歸模型和中位數(shù)回歸模型中費(fèi)率因子水平參數(shù)的估計(jì)值及其顯著性，其中分位數(shù)回歸模型的估計(jì)是基于Koenker[7]中rq函數(shù)，其他兩個(gè)模型是基于R Development Core Team[8]中的glm函數(shù)，模型中參數(shù)的估計(jì)方法均為函數(shù)中默認(rèn)的方法。

由表3知截距項(xiàng)，即行駛區(qū)域在C、駕齡類(lèi)別為3的男性保單持有人對(duì)索賠額有顯著（本文的顯著性均基于0.05的顯著性水平）影響。數(shù)據(jù)刪除前后，三個(gè)模型給出了相同的結(jié)論。當(dāng)然，對(duì)索賠額影響的大小，在數(shù)據(jù)刪除前后，Gamma回歸模型與逆Gaussian回歸模型給出的估計(jì)值比中位數(shù)回歸模型均大，這與表1中索賠額的描述統(tǒng)計(jì)相符合，同時(shí)也表明數(shù)據(jù)中存在右偏、后尾現(xiàn)象。但數(shù)據(jù)刪除前后截距項(xiàng)估計(jì)值變化，中位數(shù)回歸模型僅有0.087，而Gamma回歸模型與逆Gaussian回歸模型均超過(guò)0.4，是中位數(shù)回歸模型估計(jì)變化的近四倍，這說(shuō)明中位數(shù)回歸模型對(duì)數(shù)據(jù)更具有穩(wěn)健性。

表3 不同統(tǒng)計(jì)模型費(fèi)率因子估計(jì)結(jié)果

對(duì)于駕齡類(lèi)別費(fèi)率因子各個(gè)水平的顯著性，在數(shù)據(jù)刪除前，三個(gè)模型給出了完全相同的結(jié)果，即認(rèn)為駕齡類(lèi)別1的保單持有人發(fā)生的索賠額與基準(zhǔn)水平駕齡類(lèi)別3發(fā)生的索賠額有顯著差異，其他駕齡類(lèi)別的保單持有人與基準(zhǔn)水平發(fā)生的索賠額沒(méi)有顯著差異。在數(shù)據(jù)刪除后，Gamma回歸模型與逆Gaussian回歸模型給出的結(jié)論與沒(méi)有刪除數(shù)據(jù)的結(jié)論相同，即駕齡類(lèi)別1的保單持有人發(fā)生索賠額比基準(zhǔn)水平顯著的高，從而應(yīng)收取更高的保費(fèi)。

對(duì)于性別費(fèi)率因子，在數(shù)據(jù)刪除前后，Gamma回歸模型與逆Gaussian回歸模型給出相反的結(jié)論。數(shù)據(jù)刪除前，這兩個(gè)模型均認(rèn)為，女性保單持有人與基準(zhǔn)水平的男性保單持有人發(fā)生索賠的額度有顯著差別，并認(rèn)為女性保單持有人發(fā)生的索賠額小；但是在數(shù)據(jù)刪除后，則認(rèn)為男性和女性保單持有人發(fā)生的索賠額沒(méi)有顯著差別，即認(rèn)為性別對(duì)索賠額的影響沒(méi)有差異，這說(shuō)明模型不具有穩(wěn)健性。而中位數(shù)回歸模型在數(shù)據(jù)刪除前后均認(rèn)為，性別對(duì)索賠額的影響無(wú)差異，應(yīng)當(dāng)收取相同的保費(fèi)。

對(duì)于區(qū)域費(fèi)率因子各個(gè)水平的顯著性，對(duì)于行駛區(qū)域在A、B、D和E的保單持有人，數(shù)據(jù)刪除前后，三個(gè)模型均認(rèn)為與基準(zhǔn)水平行駛區(qū)域C的保單持有人發(fā)生的索賠額沒(méi)有顯著差異。但對(duì)于行駛區(qū)域在F的保單持有人，在顯著性水平0.05下，數(shù)據(jù)刪除前后，Gamma回歸模型與逆Gaussian回歸模型給出了不同的結(jié)論。數(shù)據(jù)刪除前，這兩個(gè)模型認(rèn)為行駛在該區(qū)域的保單持有人與基準(zhǔn)水平有顯著差異，而且發(fā)生的索賠額較高，相對(duì)于基準(zhǔn)水平風(fēng)險(xiǎn)較大，從而應(yīng)收取較高的保費(fèi)。但在數(shù)據(jù)刪除后，則認(rèn)為區(qū)域F與行駛在其他區(qū)域的保單持有人一樣，風(fēng)險(xiǎn)大小并沒(méi)有顯著性差異。而中位數(shù)回歸模型在數(shù)據(jù)刪除前后，給出相同的結(jié)論，即認(rèn)為行駛在各個(gè)區(qū)域的保單持有人風(fēng)險(xiǎn)大小沒(méi)有顯著差異。這進(jìn)一步表明，中位數(shù)回歸模型的穩(wěn)健性。

為進(jìn)一步說(shuō)明中位數(shù)回歸模型的優(yōu)良性，可以對(duì)Gamma回歸模型與逆Gaussian回歸模型中參數(shù)進(jìn)行Wald檢驗(yàn)Draper和Smith[9]，進(jìn)一步比較費(fèi)率因子各水平之間是否具有顯著性差異。假設(shè)行駛在區(qū)域F和區(qū)域E的保單持有人具有相同風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)此作Wald檢驗(yàn)，在數(shù)據(jù)刪除前，Gamma回歸模型的χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值為7.2，p=P(χ2＞7.2)=0.027 ，在0.05顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為行駛證區(qū)域F的保單持有人確實(shí)與行駛在其他區(qū)域的保單持有人具有不同的風(fēng)險(xiǎn)水平；逆Gaussian回歸模型對(duì)該假設(shè)給出的 χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值為4.9，p=P(χ2＞4.9)=0.086，從而認(rèn)為行駛證區(qū)域F的保單持有人與行駛在其他區(qū)域的保單持有人具有相同的風(fēng)險(xiǎn)，從而兩個(gè)模型在數(shù)據(jù)刪除前就給出了不同的結(jié)論。對(duì)于數(shù)據(jù)刪除后，Gamma回歸模型的χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值為2.9，p=P(χ2＞2.9)=0.24，從而給出相反的結(jié)論，即認(rèn)為行駛在區(qū)域F和E的保單持有人具有相同的風(fēng)險(xiǎn)；逆Gaussian回歸模型對(duì)該假設(shè)給出的 χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值為2.6，p=P(χ2＞2.6)=0.27，數(shù)據(jù)刪除前后給出了相同的結(jié)論。對(duì)于其他的費(fèi)率因子同樣可以進(jìn)行Wald檢驗(yàn)，進(jìn)一步比較費(fèi)率因子各水平之間是否具有顯著差異。

綜上所述，僅僅利用Gamma回歸模型與逆Gaussian回歸模型參數(shù)的顯著性水平往往會(huì)給出錯(cuò)誤的判斷，尤其是數(shù)據(jù)中存在巨額索賠額時(shí)，往往會(huì)影響費(fèi)率因子水平的顯著性，而且數(shù)據(jù)刪除與否會(huì)給出不同的結(jié)論，結(jié)合Wald檢驗(yàn)在一定程度上彌補(bǔ)了這兩個(gè)模型的不足。但是中位數(shù)回歸模型則給出了更為準(zhǔn)確的費(fèi)率因子水平的顯著性與否的信息，從而可以為分類(lèi)費(fèi)率厘定方法提供更好的費(fèi)率因子信息。

當(dāng)然，中位數(shù)回歸模型不是絕對(duì)完美，對(duì)于駕齡費(fèi)率因子水平1，數(shù)據(jù)刪除前后，中位數(shù)回歸也給出了相反的結(jié)論。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因在于刪除數(shù)據(jù)時(shí)，駕齡費(fèi)率因子水平1相對(duì)其他水平刪除的觀察數(shù)據(jù)較多所導(dǎo)致的。即使不去深究發(fā)生該現(xiàn)象的原因，相對(duì)于Gamma回歸模型與逆Gaussian回歸模型來(lái)說(shuō)，中位數(shù)回歸模型的誤判，至少對(duì)于該組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)其誤判更低。

4 結(jié)語(yǔ)

分類(lèi)費(fèi)率厘定方法作為非壽險(xiǎn)精算中費(fèi)率厘定最重要的方法之一，通常都是基于損失分布假設(shè)的條件下，通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭袇?shù)的顯著性與否進(jìn)行判定，而損失分布模型的選擇往往具有一定的主觀性。中位數(shù)回歸模型不僅具有穩(wěn)健性，而且具有單調(diào)變換的不變性，結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析表明，中位數(shù)回歸模型比常用的Gamma回歸模型和逆Gaussian回歸模型在費(fèi)率因子的顯著性方面更具有優(yōu)良性。費(fèi)率厘定問(wèn)題作為非壽險(xiǎn)精算中的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容，中位數(shù)回歸模型可以作為廣義線性模型的一個(gè)有益補(bǔ)充。

[1]Koenker,R.Quantile Regression[M].Cambridge：Cambridge University Press,2005.

[2]郭念國(guó),徐昕.分位數(shù)回歸在非壽險(xiǎn)產(chǎn)品費(fèi)率厘定中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2010,(24).

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