“電磁感應”命題中典型錯誤分析及改正對策

曹榮太

（中國人民大學附屬中學，北京 100080）

在物理教學過程中，優秀的試題對物理概念的理解、物理規律的掌握、教學成果的檢測具有不可替代的作用.但是，由于各種原因，在命題過程中會經常出現各種錯誤，這些錯誤對教師的教和學生的學會帶來不同程度的障礙和疑惑.下面通過幾個全國各地的模擬試題分析在“電磁感應”中出現的典型錯誤及對策.

例題1.在質量為M＝1.0kg的小車上，豎直固定著一個質量為m＝0.20kg，寬L＝0.050m、總電阻R＝100Ω的100匝矩形線圈.線圈和小車一起靜止在光滑水平面上，如圖1（a）所示.現有一子彈以v0＝110m／s的水平速度射入小車中，并立即與小車（包括線圈）一起運動，速度為v1＝10m／s.隨后穿過與線圈平面垂直，磁感應強度B＝1.0T的水平有界勻強磁場，方向垂直紙面向里.已知子彈射入小車后，小車運動的速度v隨車的位移s變化的圖像如圖1（b）所示.求：（1）子彈的質量m0；（2）小車的位移s＝10cm時線圈中的電流大小I；（3）在線圈進入磁場的過程中，通過線圈某一截面的電荷量q；（4）線圈和小車通過磁場的過程中線圈電阻的發熱量Q.

圖1

分析：此題的解答過程在此不再贅述，原解答給出的結果分別是：（1）m0＝0.12kg；（2）I＝0.4A；（3）q＝0.005C；（4）Q＝63.36J.其中第（3）問的解答如下.

由圖像可知，從s＝5cm開始，線圈進入磁場，線圈中有感應電流，受安培力作用，小車做減速運動，速度v隨位移s減小，當s＝15cm時，線圈完全進入磁場，線圈中感應電流消失，小車做勻速運動，因此線圈的長為Δs＝10cm.在此過程中通過線圈某一截面的電荷量

上述兩種方法都是正確的，為什么會得到不同的結果？下面用動量定理分析小車運動過程中速度與位移的關系（用積分方法也可以得到同樣的結果）.

把小車進入磁場的過程分割成若干小段，只要分割得足夠細，就可以把每一段的運動看成是勻速運動，因而速度與時間的乘積就是這一段時間內的位移.以初速度方向為正方向，對每一段用動量定理得

可見原題中圖像的斜率必須與上式符合才是自洽的，而原題中圖像所給的斜率為k＝－40，所以用上述兩種方法得出表達式不同.當然，上述兩種方法得出的（1）式和（5）式盡管在形式上不同，但本質上是相同的.由（5）式和（7）式可得

這與（1）式完全相同，所以只要把圖像中的斜率修改為k＝－0.19即可.當然，保持原題中圖像斜率不變，修改原題中的其他數據，使得由（8）式計算出的斜率與圖像自洽亦可.

例題2.如圖2（a）所示，足夠長的光滑平行金屬導軌MN、P Q所在平面與水平面成30°角，兩導軌的間距l＝0.50m，一端接有阻值R＝1.0Ω的電阻.質量m＝0.10kg的金屬棒ab置于導軌上，與軌道垂直，電阻r＝0.25Ω.整個裝置處于磁感應強度B＝1.0T的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向下.t＝0時刻，對金屬棒施加一平行于導軌向上的外力F，使之由靜止開始運動，運動過程中電路中的電流隨時間t變化的關系如圖2（b）所示.電路中其他部分電阻忽略不計，g取10m／s2，求：

（1）4.0s末金屬棒ab瞬時速度的大小；

（2）3.0s末力F的瞬時功率；

（3）已知0～4.0s時間內電阻R上產生的熱量為0.64 J，試計算F對金屬棒所做的功.

圖2

分析：此題前兩問的結果分別為（1）v＝2m／s；（2）P＝1.3W；原題第（3）問的解答如下：

在運動過程中拉力F是變力，盡管用積分的方法可以直接求出拉力F所做的功，但由于一般情況下，高中階段對微積分應用的細節并無較高要求，一般學生想不到、也不會用積分的方法求出拉力F所做的功.因而命題者給出電路產生的焦耳熱，試圖讓學生從功能關系求出拉力F所做的功.這種命題思路無疑是可行的，但這就要求作為已知量給出的焦耳熱必須與題中的其他條件自洽.但是仔細分析可以發現，在0～4.0s內電阻R上產生的熱量并不是0.64J，拉力F所做的功也不是3J.分析過程如下.

由圖像可知電流I與時間t的關系為：I＝0.2t（A），在0～4.0s內電阻R上產生的熱量為

所以把原題中“0～4.0s內電阻R上產生的熱量為0.64 J”改為“0～4.0s內電阻R上產生的熱量為0.85J”，由功能關系（10）式可以求出拉力F所做的功為3.27J，與（14）式的結果自洽.這樣該題就完美無缺了.

例題3.相距L＝1.5m的足夠長金屬導軌豎直放置，質量為m1＝1.0kg的金屬棒ab和質量為m2＝0.27kg的金屬棒c d均通過棒兩端的套環水平地套在金屬導軌上，如圖3（a）所示，虛線上方磁場方向垂直紙面向里，虛線下方磁場方向豎直向下，兩處磁場磁感應強度大小相同.ab棒光滑，c d棒與導軌間動摩擦因數為μ＝0.75，兩棒總電阻為R＝1.8Ω，導軌電阻不計.ab棒在方向豎直向上，大小按圖3（b）所示規律變化的外力F作用下，從靜止開始，沿導軌勻加速運動，同時c d棒也由靜止釋放.取重力加速度g＝10m／s2.

（1）求出磁感應強度B的大小和ab棒加速度大小；

（2）已知在2s內外力F做功40J，求這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱；

圖3

分析：本題答案為：（1）a＝1m／s2；B＝1.2T；其中原題第（2）問的解答是：因為ab棒克服安培力所做的功等于兩金屬棒的焦耳熱，因而以ab棒為研究對象，由功能關系得

此題的命題思路與例2相似，但是正如例2所說的理由，此題也存在類似的問題.題中所給的條件“2s內外力F做功40J”與其他已知條件并不自洽.事實上，容易求出電流I與時間t的關系是I＝t（A），在2s內兩金屬棒產生的總焦耳熱可以用積分也可以用圖像得出

同樣，可以算出在2s內外力F所做的功并不是40J.可以求出外力F與時間t的關系是F＝1.8t＋11（N），積分后，得到

這樣，如果把原題中“2s內外力F做功40J”改為“2s內外力F做功26.8J”，由功能關系（15）式求出焦耳熱為Q＝4.8 J，這個結果與（16）式的結果相同，這樣題中的條件就自洽了.

通過以上分析可以看出，這3個例題都具有構思巧妙，立意新穎的特點，在對物理概念的理解、物理規律的掌握等諸多方面都能夠起到較好的考查作用，因而在各類考試和各種資料中被廣泛采用.但由于命題者對運動的過程和特點把握得不是很準確，因而在細節方面出現了瑕疵，這多少給人以“美中不足”的感覺.通過這3個例題也提醒命題者，由于電磁感應與切割磁感線相關的綜合應用中，往往會出現變加速運動，對于變加速運動的過程和細節，作為命題者和教師，應該盡可能從更高層次理解得深入一點、把握得細致一點；對一些細節問題考慮得更周到一點、處理得更仔細一點.這樣可以避免一些不必要的錯誤，才能最大程度發揮優秀試題的作用.