一類混沌系統的滑動模態同步控制及其應用

譚 文 ，蔣逢靈 ，王耀南 ，劉建勛 ，唐婷婷

1.湖南科技大學 知識處理與網絡化制造省教育廳重點實驗室，湖南 湘潭 411201

2.湖南科技大學 信息與電氣工程學院，湖南 湘潭 411201

3.湖南大學 電氣與信息工程學院，長沙 410082

1 引言

客觀世界是唯一的，究竟將其定義為確定性的還是隨機性的，一直以來未有定論。而混沌學的誕生，為這兩大體系之間筑起了一座相互聯系的橋梁。自20世紀90年代以來，混沌同步的研究在各相關學科，如物理、醫學、生物工程、信息科學等領域所顯示出的潛力，引起了越來越多專家學者的廣泛關注。自1990年Carroll和Pecora[1]首次提出實現混沌系統之間同步的思想以來，國內外眾多科研人員投身到混沌同步及其在保密通信方面的應用研究之中[2-8]。目前混沌保密通信有以下幾種方法：混沌掩蓋[9]、混沌鍵控通信、混沌參數調制和混沌擴頻通信。混沌掩蓋屬于混沌模擬通信，其主要思想是將具有逼近于高斯白噪聲統計特性的混沌信號作為一種載體，在發送端隱藏信號或遮蔽所要傳送的信息，然后在接收端利用同步后的混沌信號去掩蓋，恢復出有用信號，以此達到保密通信的目的[10]。要順利完成混沌保密通信任務，首先必須使得接收端和發送端之間的混沌系統實現同步。近年來，有關混沌同步的方法和混沌控制技術得到了較為充分的研究[11-15]。

目前，實踐已經證明滑模控制是針對未建模動態系統或不確定系統魯棒控制的一種行之有效的策略，該技術關鍵點是驅動系統的狀態軌線達到原點的特定光滑流形（滑動面）上，并將其穩定保持在該滑動面上，使得系統具有設計者所期望的性能。其中文獻[16]采用滑模控制手段，成功實現了兩個相同的混沌系統之間的同步。

本文通過設計滑動模態控制器，實現了兩個相同的Chen混沌系統之間的完全同步，并將其應用于保密通信中；數值仿真結果驗證了所設計方案的有效性與可行性。

2 混沌系統模型描述

陳關榮[17]等人在1999年利用混沌反控制的思想發現了Chen混沌吸引子，其數學模型描述如下：

其中，x、y、z為狀態變量，a、b、c為系統參數。當(a,b,c)=(35,3,28)時，系統（1）出現混沌現象，其相空間吸引子如圖1所示。由于Chen混沌系統和Lorenz混沌系統一樣，具有復雜的拓撲結構與豐富的動力學行為特性，因此研究其在混沌保密通信中的應用具有極為重要的理論意義和實際應用價值。

圖1 Chen系統吸引子

3 Chen混沌系統滑模同步控制器設計

主-從Chen混沌系統可用下面方程表示：

其中，式（2）是主系統，式（3）是從系統。 x1、y1、z1和 x2、y2、z2分別為主系統和從系統的狀態變量，u∈R是待確定的同步控制輸入信號。

利用混沌系統實現保密通信的關鍵技術之一，就是必須首先保證在發送端和接收端之間的混沌系統能達到有效同步，而這有賴于主系統與從系統之間的信號同步。為了實現上述同步的目的，需設計系統（3）中的控制作用量u。

用式（3）減式（2），得到誤差動力學方程為：

其中，e1=x2-x1,e2=y2-y1,e3=z2-z1。

由此不難發現，為了實現兩個混沌系統之間的同步，必須設計一個合適的控制律u，當t→∞時，使得同步誤差信號 e1、e2、e3趨于零。

3.1 滑模控制器的設計

考慮到從系統只有一個控制輸入u，因此在選擇滑動面時，定義滑動模的流為：

設計滑模控制律為：

其中，β和Γ均為正標量。

對式（5）求導數，并將式（4）及式（6）代入，經過變換可得：

運用Lyapunov穩定性理論，對滑動模的流構造Lyapunov函數為：

顯然，式（8）所示函數為正且連續可微的，對其求導，有：

由于已知a＞0，則t→∞ 時，e1(t)趨近于0。

根據式（4）中的第三個微分方程可知，由于b>0,x2和y1均有界，于是當t→∞時，e3(t)趨近于0。

因此，當t→∞時，誤差狀態e1、e2、e3均漸近趨近于0。這就意味著，當 t→ ∞ 時，x2、y2、z2分別漸近趨近于 x1、y1、z1，也即實現了主-從系統之間的完全同步。

3.2 數值仿真結果

當參數a=35,b=3,c=28時，主系統（2）呈現混沌狀態。主系統初值取為(x1,y1,z1)=(1,1,1),從系統的初值取為(x2,y2,z2)=(4,-4,4),控制器的參數 β=100,Γ=10,仿真過程時間為5 s，在2 s時施加控制輸入作用，誤差信號e1、e2、e3波形如圖2所示。由該實驗結果可知，使用滑模控制方法可以在非常短的時間內有效地實現兩個Chen混沌系統之間的完全同步。

4 同步控制在保密通信中的應用

利用混沌同步實現保密通信的基本思路：先將所需傳輸的信息源加在某一個由混沌系統制造的混沌信號之上，形成所謂的混合類噪聲信號。根據混沌信號的寬帶類噪聲特點，將有用信息信號隱藏或疊加到混沌信號上發送出去，從而達到對信息源加密的目的。當該混合信號被送至接收器上后，再采用混沌同步技術分離其中的混沌信號，完成信息解密，從而在輸出接收端恢復出發送端輸送的信息源。

圖2 在滑模控制下的同步誤差

現在將本文的同步方法用于保密通信中，假如所需傳輸的信號為i(t),在發送端將該有用信號與混沌信號x1進行疊加，這樣就構造了類噪聲的合成信號s(t),于是便達到了保密傳送的目的。對于接收端，當收發端信號與之達到同步時，混沌狀態x2漸近等于x1,然后從s(t)中將混沌信號解密出來，就可以還原出有用的信號，設為i?(t)。

假設系統的狀態方程及輸出方程為：

其中s為發送端系統的輸出。

通過上面的同步控制方法，可知當e(t)→0時，x2→x1，于是有：

其中為接收端復原出來的信號，x2為接收端系統的輸出。

下面是數值仿真實驗，設i(t)為需發送的二進制序列有用信號，如圖3所示。同步保密通訊結果如圖4和圖5所示。由圖4可知，此時所需傳送信號與有用信號變得毫不相干，從而達到了難為外人所破譯的保密目的；由圖5可知，在接收端，接收系統有效地恢復了發送端傳送系統的有用信號。數值仿真結果表明，該保密通信方案具有很好的可行性與有效性。

圖3 Chen系統同步保密通信的有用信號

圖4 Chen系統同步保密通信的傳輸信號

圖5 Chen系統同步保密通信的恢復信號

5 結束語

研究了一類主-從Chen混沌系統的同步控制及其在保密通信中的應用問題。根據Lyapunov函數定理，設計出滑動模態控制器，有效地實現了Chen混沌系統的同步。從數值仿真實驗結果可以看出，對于Chen混沌系統，其同步誤差動態系統通過控制律調節作用，均可漸近穩定并趨近于零，實現了性能良好的混沌完全同步。將其應用到混沌保密通信中去，數值仿真圖形表明，在接收端可以有效恢復出所需發送或傳輸的有用信號。因此，上述方法具有良好的實際應用價值和理論研究意義。

[1]Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett，1990，64（8）：821-824.

[2]Carroll T L，Pecora L M.Synchronization chaotic circuits[J].IEEE Trans on Circ Syst I，2001，38（4）.

[3]Park J H.Synchronization of genesio chaotic system via backstepping approach[J].ChaosSolitonsFractals，2006，27（5）：1369-1375.

[4]Yan J，Yang Y，Chiang T，et al.Robust synchronization of unified chaotic systems via sliding mode control[J].Chaos，Solitons and Fractals，2007，34（3）：947-954.

[5]龔美靜，瞿少成，王曉燕.一種通過異結構同步實現混沌保密通信新方法[J].電子與信息學報，2009，31（6）：1442-1444.

[6]Huang C，Hung M.Chaos-based secure communication via control[J].World Academy of Science，2010，119（65）：650-653.

[7]謝英慧，孫增圻.時滯Chen混沌系統的指數同步及在保密通信中的應用[J].控制理論與應用，2010，27（2）：133-137.

[8]廖旎煥，李秋菊，高金峰.基于實際信道的超混沌保密通信方案[J].電路與系統學報，2011，16（2）：19-22.

[9]Oppenheim A V，Womell C W，Isabelle S H.Signal processing in the context of chaotic signals[C]//Proceedings of the IEEE Int Conf on ASSP，1992，23：117-120.

[10]方錦清，趙耿，羅曉曙.混沌保密通信應用研究的進展[J].廣西師范大學學報，2002，20（1）：6-18.

[11]譚文，王耀南.混沌系統的模糊神經網絡控制理論與方法[M].北京：科學出版社，2008.

[12]Wang X，Song J.Synchronization of the unified chaotic system[J].Nonlinear Anal，2008，69：3409-3416.

[13]Yan J，Li C.Generalized projectivesynchronization of a unified chaotic system[J].Chaos，Solitons and Fractals，2005，26（4）：1119-1124.

[14]敬曉丹，呂翎.非線性耦合完全網絡的時空混沌同步[J].物理學報，2009，58（11）：7539-7543.

[15]Wang Z，Zhang H，Li Y，et al.A new method on synchronization offractional-orderchaotic systems[C]//Proceedings of the Chinese Control and Decision Conference，2010，7：3357-3362.

[16]Zribi M，Smaoui N，Salim H.Synchronization of the unified chaotic systems using a sliding mode controller[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，42（5）：3199-3205.

[17]陳關榮，呂金虎.Lorenz系統族的動力學分析、控制與同步[M].北京：科學出版社，2003.