變倍光學系統的公差分析＊

劉雨沁，張孟偉

（中國科學院 光電技術研究所，四川 成都 610209）

引 言

電視搜索跟蹤一體化系統一般具有兩個或者兩個以上視場，大視場搜索，小視場精確跟蹤，根據系統搜索／跟蹤的具體要求，在兩個視場中切換［1］。在變倍光學系統的理論設計中，設計的性能不包括任何類型誤差的影響，而與實際設備有關的制造誤差和裝配誤差往往降低成像質量，并且由其造成的像質下降經常是設計像差造成像質下降的許多倍。因此根據成像要求，選擇適當的加工工藝，合理分配制造公差和裝配公差，確保加工出來的實際系統能夠達到成像要求就顯得十分重要。

1 變倍光學系統及性能指標

變倍光學系統如圖1所示，光學系統由物鏡組，場鏡組，調焦組和變倍組構成，調焦組前后移動使一次像面處于其焦點處，變倍組整體切換實現系統焦距在300～600mm 之間的變換。

光學設計性能指標如表1所示，要求中心視場無明顯球差、彗差、像散及色散。對于照相物鏡，光學傳遞函數評價像質已被廣泛接受［2］，利用光學傳遞函數可以很直觀、很明了地反映鏡頭在加工和裝校中存在的問題［3］。因此為了利用單一指標衡量各種光機公差對像質的影響，選用各個視場下二分之一奈奎斯特頻率處弧矢方向和子午方向的光學傳遞函數（MTF）的平均值作為目標函數，CCD 像素尺寸為7.4 μm，二分之一奈奎斯特頻率為34lp／mm。變倍光學系統MTF 曲線如圖2 所示，在兩種焦距狀態下，目標函數的值分別為0.778 和0.614。

圖1 變倍光學系統Fig.1 Switch－in－group zoom optical system

表1 光學設計參數Tab.1 Optical parameters

圖2 調制傳遞函數Fig.2 Modulation transfer function

2 系統公差分析

2.1 公差等級和公差計算

公差等級如表2所示，被認為適用于大多光機系統［4－5］，8組公差等級（Q1～Q8）分別代表著不同的加工水平和加工難度。其中Q1接近于加工極限，而Q8則代表最差的加工水平。

表2 公差等級Tab.2 Tolerance Grades

公差計算的流程圖如圖3所示，8組公差等級依次輸入Zemax光學軟件，并選擇后焦距作為補償環節，進行1 000次蒙特卡羅模擬，最后輸出目標函數的下降量和滿足成像要求的基本公差等級。選擇后焦距作為補償是因為在最后的測試和裝配期間，光學系統需要被重新調焦，所以這個選擇是合理的。

2.2 光機參數靈敏度分析

若目標函數與結構參數的函數表達式為：

結構參數在名義值四周的微小變化所引起的目標函數變化為：假設各參數之間相互獨立，則［6］：

圖3 公差計算流程圖Fig.3 Tolerance calculation flow chart

其中，Ts為目標函數的下降量，為了綜合由多個參數引起的性能下降，將多個參數造成目標函數下降量平方和的均方根作為目標函數的下降量。參數靈敏度?s／?x 表示目標函數隨單一參數微量變化的變化率，且當像差校正到最佳狀態時，目標函數隨單一參數微量變化的曲線可看成近似對稱拋物線，因此分析時選用拋物線的一側，進行一次曲線最小二乘法擬合，取其斜率作為靈敏度的衡量標準。由于各類公差之間的量綱不一致，且不同公差種類參數的概率統計分布也不一樣，因此曲線的斜率只能代表同類公差中不同位置參數的靈敏度，而對于各類參數之間的靈敏度，將其統一到同一公差等級，考慮到實際加工誤差的隨機性，采用多次蒙特卡羅模擬，取目標函數下降量的平均值作為參數間靈敏度的衡量標準。

2.3 公差分配

在基本公差等級下，對同類公差中不同位置的公差進行公差分配。若認為參數是等概率作用于目標函數，式（3）右邊各項相等，則各參數公差為：

通過式（4）解得的參數公差Txj存在過寬的情況，因此需要根據參數靈敏度和基本公差等級調整權重，使各參數公差都接近于基本公差等級。將Txj與基本公差等級比較，取其比值為權重。設Wj第j 個參數的權，則式（3）變化為：

因此，各參數公差為：

3 優化結果分析

依次對兩種焦距狀態進行公差計算，結果如圖4所示，對于短焦組，Q1～Q5滿足設計要求，對于長焦組，Q1～Q3滿足設計要求。因此，選擇Q3 為基本公差等級，在基本公差等級下的目標函數值分別為0.614 3和0.312 2。

參數靈敏度如圖5所示，制造公差為折射率公差、阿貝公差、厚度公差、透鏡楔角公差、表面不規則度公差和光圈公差，裝配公差為透鏡位置公差、透鏡偏心公差、透鏡傾斜公差、鏡組位置公差、鏡組傾斜公差和鏡組偏心公差。參數公差中，折射率公差、厚度公差、光圈公差、透鏡位置公差和透鏡偏心公差為敏感公差，選擇敏感公差進行公差分配，下面以厚度公差和透鏡位置公差為例列出計算過程和結果。

對于變倍光學系統，共用光路的厚度公差和透鏡位置公差的靈敏度如圖6所示，橫坐標分別代表透鏡編號和透鏡之間的距離編號?？梢钥闯?，兩種焦距狀態下共用光路的靈敏度大致相同，因此，可以選擇短焦距進行公差分配，結果也同樣適用于長焦距狀態。

圖4 各個公差等級下的像質退化Fig.4 Image quality degradation of different tolerances

圖5 參數靈敏度Fig.5 Parameters sensitivity

圖6 共用光路靈敏度Fig.6 Public optical path sensitivity

在Q3公差等級下，透鏡厚度公差和透鏡位置公差對應的目標函數公差Ts 分別為0.344 2和0.136 4，初始公差值由基本公差等級決定，利用式（6）計算出優化公差值。

靈敏度系數（厚度）：0.122，0.482，0.023，0.044，0.149，0.377，0.069，0.041，0.399，1.185，0.088，0.012；

初始值（厚度）：0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5；

優化值（Tx）：0.03，0.02，0.07，0.05，0.025，0.02，0.04，0.05，0.01，0.01，0.04，0.09；

靈敏度系數（位置）：0.009，0.231，0.231，0.064，0.002，0.002，0.018，4.221，0.303；

初始值（位置）：0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5，0.012 5；

優化值（Tx）：0.1，0.05，0.05，0.09，0.1，0.1，0.1，0.01，0.04；

經過上述計算和修正后，將優化值代入Zemax，進行1 000次蒙特卡羅模擬，得到透鏡厚度公差和透鏡位置公差對應目標函數公差分別為0.335 3和0.134 5。與此類似，依次對折射率公差，光圈公差和透鏡偏心公差進行公差分配，并將優化后的公差值代入Zemax 進行公差計算，得到目標函數值分別為0.604 6和0.302 5，符合設計要求。

4 結 論

針對可見光變倍光學系統，提出了一種基于傳遞函數靈敏度的公差分析方法和分析流程，結果表明，在保證成像質量的前提下，通過這個方法可以放寬對公差的要求，降低加工和裝調難度，該方法也適用于其他光機系統。

［1］ 王海濤，耿安兵，楊長城.切換變倍光學系統設計［J］.光學學報，2010，30（3）：872－875.

［2］ 王黎明，楊華民，李共德.用傳遞函數法優化光學公差［J］.光學技術，1998（1）：84－88.

［3］ 章慧賢.光學傳遞函數的發展及其應用［J］.光學儀器，1996，18（4）：28－31.

［4］ CHANG C W.Tolerance analysis of lenses with high zoom ratio［J］.SPIE，2006，6034：60341.

［5］ SMITH W J.Modern optical engineering［M］.3rd ed.New York：McGraw－Hill，2000.

［6］ 王之江.實用光學技術手冊［M］.北京：機械工業出版社，2006.