數字相移測量中的高精度相位誤差補償＊

褚利文，張 旭，朱利民

（1.上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240；2.上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200072）

引 言

相位輪廓術（phase measurement profilometry，PMP）是一種以相移為基礎的結構光測量方法，它能夠很好地抑制被測對象表面的顏色、反射率以及環境光的干擾［1］。通過分析多幅有一定相位差的光柵條紋圖像，PMP能夠計算圖像中像素的相位值，進而求解出觀察點的深度信息［2－3］。投影機和攝像機的非線性所導致的γ 畸變是數字PMP測量的主要誤差來源［4－11］。Huang P S［4－8］等學者都先后從不同角度對γ畸變模型進行了深入研究，得出γ畸變引入的高次諧波項是相位誤差的主要來源，因此相位誤差具有一定的規律［8］。Huang P S［9－11］等提出了多種辦法補償相位誤差。

γ校正法和相位誤差補償法能夠有效提高相位精度，但均忽略了γ非均勻分布的多特點，僅采用單一γ對整個圖像進行校正而導致的參與誤差在高精度檢測應用場景中是無法忽略的。文章對數字投影機的亮度非均勻分布和γ非均勻分布的規律進行研究，通過理論分析和實驗驗證相位殘余誤差，提出一種基于像素的相位誤差查找表，根據γ的分布規律進行相位誤差補償，有效提高了相位精度并最大限度優化了算法的空間和時間效率。

1 相移原理

在相移法中，相移條圖案中的任意點亮度可表示為：

其中，x 為橫 坐 標，In為 亮 度，A 和B 均 為 常 數，f 為 正 弦 曲 線 的 頻 率，n 為 當 前 相 移 步 數，N 為 相 移 總 步數。在不考慮γ的情況下，該點在攝像機拍攝到的圖像中對應點的亮度為：

其中，A′為該像素在各步相移中亮度的平均值，可以表示為：

該點亮度在相移過程中的變化量可表示為：

該像素的相位值φ 可表示為：

2 γ畸變

結構光測量系統中的亮度傳遞函數是非線性的，系統投射出的正弦條紋圖案包含了高次諧波項。如圖1所示，其中二次、三次諧波項都由γ畸變導致的。γ畸變導致的相位誤差，如圖2所示。

3 投影機的γ非均勻性

數字投影機的投影范圍某一點的實際輸出亮度與位置有關。圖3所示為不同位置點的亮度傳遞函數，可表示為：

任意點的γ可以表示為：

圖1 γ畸變正弦曲線及頻譜分析Fig.1 γdistorted sinusoidal curves and frequency analysis

圖2 γ為3.3時的相位誤差Fig.2 Phase error whenγis 3.3

圖3 不同點的亮度傳遞函數對比Fig.3 Comparison of intensity response curve at different points

因此可以得出如下關系［8］：

其中

當γ在1～5之間時，γ與最大相位誤差之間的關系如圖4所示。

圖4 相位誤差最大值與γ的關系Fig.4 Relationship betweenγand maximum phase error

圖5 亮度輸入輸出指數擬合Fig.5 Curve fitting of intensity response using power function

γ和最大誤差的關系可擬合為：

對式（9）兩邊同時求一階導數：

由式（10）得出，當γ變化0.01時，最大相位誤差改變了0.003 2。該誤差對于高精度測量是不能忽略的。事實上，γ服從正態分布［8］，并且標準差大于0.02。因此γ的非均勻分布特性在進行相位誤差補償時必須加以考慮。

4 相位誤差校正

γ可以通過以下方法進行標定［10］：首先調節投影機至聚焦狀態，然后向標準白板投射白光，亮度從0～255依次遞增。根據γ所服從的冪律定律，由式（6）和式（7）可得式（11），任意點的亮度輸入輸出關系都服從式（12）的關系函數，并且該點的γ＝g（x，y），進而得到γ矩陣Gm×n。其中，m 和n 分別為圖像的寬和高。

根據γ矩陣，可以在相位誤差查找表（look up table，LUT）［11］的基礎上，基于單個像素建立二維相位誤差查找表：

第一步：在γ 的最大值和最小值之間取均勻間隔d，根據γ 標定實驗結果的有效數字，間隔d＝0.01時能夠獲得較高精度。

第二步：用查找表存儲理論相位與實際相位之間的相位差。

第三步：將相位誤差查找表與相應的γ關聯起來，并存儲在查找表中，見圖6（a）。

測量中對任意點都可以使用相位誤差查找表進行相位誤差補償。首先根據γ 矩陣確定該點的γ＝G（x，y）；其次根據γ確定相應的相位誤差查找表，對介于表中兩個值之間的γ可通過線性插值來計算出相應的相位誤差查找表，見圖6（b）；最后進行相位誤差補償。

對于特定的系統，只需事先進行一次標定便可建立基于像素的相位誤差查找表，不會影響實際測量過程。任意γ對應的相位誤差查找表通過線性插值動態生成，具有良好空間效率和時間效率。

圖6 基于像素的相位誤差查找表及插值方法Fig.6 Pixel based phase error look－up table and interpolation method

5 實驗與分析

通過標準白板和復雜自由曲面對象測量實驗進一步驗證了方法的有效性，并將結果與現有方法進行對比。圖7為實驗系統設備。實驗使用的結構光測量系統由一臺聯想T160DLP投影機（分辨率1 024×768）和一個Adimec 1000c（分辨率1 024×1 024）工業相機組成，見圖7（a）。圖7（b）和圖7（c）分別為實驗用標準白板和復雜曲面對象。

圖7 實驗系統設備Fig.7 Measuring system and devices

圖8 所示為系統標定所得的伽瑪矩陣。γ 的分布具有明顯的區域性和非線性。圖中γ 的平均值為3.44 ，標準差為0.04。

通過以下3種方法分別對標準白板進行測量并獲得相位值：

（1）單一γ校正技術［8－9］；

（2）基于固定相位誤差查找表的相位誤差補償［11］；（3）基于像素相位誤差查找的相位誤差補償。

對三組結果分別選取第100行、450行和800行進行橫截面相位分析，每個橫截面選取650個數據點，實驗結果如表1所示。第一列為單一γ 校正技術結果，存在明顯的殘余誤差；第二列為固定相位查找表補償結果，圖像中心區域的第450行補償效果良好；但位于圖像邊緣處的第100行和第800行仍存在明顯殘余誤差；第三列為基于像素的相位誤差查找表補償結果，整個圖像區域內具有良好的補償效果。與前兩列相比，相位誤差的均值和標準差分別減小了25%和10%，說明該方法能夠有效地提高相位誤差補償的精度。

圖8 γ分布圖Fig.8 γdistribution

對于表面復雜白色石膏雕像同樣依次進行了上述三組實驗，并且在此基礎上進行了相位解卷繞與三維曲面重構，結果如圖9所示。圖9（a）只進行γ 校正，曲面仍存在水波紋；圖9（b）進行線性表校正后，中心區域的水波紋得到了明顯的抑制，但是邊緣區域仍不夠光滑；圖9（c）進行了基于像素的相位誤差表校正，圖整個區域內都得到了光滑的曲面，有效提高了曲面質量。

表1 標準白板實驗結果Tab.1 Standard white board experiment results

圖9 復雜曲面對象實驗Fig.9 Complex surface object experiment results

6 結 論

γ畸變導致相移條紋包含高次諧波項，條紋實際亮度變化呈非正弦化，計算求解出的相位結果包含相位誤差。針對數字投影機結構特點，通過實驗分析研究數字投影機亮度值和γ值非均勻分布的特性，推導出γ波動產生的相位誤差波動，指出測量結果中的殘余誤差對于高精度測量是無法忽略的。在此基礎上，通過標定得出γ矩陣，提出了基于像素的二維相位誤差查找表，改進了基于單一γ的查找表補償方法相位測量。通過多組實驗，對比了現有校正方法及文中提出的方法。實驗結果表明，提出的方法比現有校正方法誤差減小了。

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