用粒子群算法校正三片鏡系統的像差(特邀)

秦 華，韓克禎，類成新

(山東理工大學理學院，山東淄博255049)

1 引言

現代光學設計軟件廣泛采用阻尼最小二乘法，但是這種方法設計出來的系統結構一般都是評價函數在結構變量空間的局部最優解。除此之外，這種設計過分依賴于原始結構，如果原始結構選擇不合適，很有可能達不到優化設計的目的，這就要求設計者具有非常豐富的經驗。鑒于此，科學家不斷地尋求光學自動設計的新方法，以解決過分依賴于系統原始結構并實現全局尋優的問題，如文獻［1］～［5］。這些方法在不同程度上或者實現了全局最優［1-4］，或者不再依賴于系統原始結構［5］，但這些算法或由于耗用時間隨變量數量的增加而呈指數性增長，或由于隨機抽樣而容易得到一些無法實現的系統(如出現負邊、負中心厚度等)等缺點，并沒有在光學自動設計領域得到廣泛應用。

粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是基于群智能(Swarm Intelligence)的隨機優化算法，已廣泛應用于函數優化、模式識別、神經網絡訓練、模糊系統控制以及其他的應用領域。PSO在多維空間函數尋優、動態目標尋優等方面具有收斂速度快、解質量高、魯棒性好等優點，特別適合工程應用［6-8］。文獻［9］利用粒子群優化算法進行膜系設計，在相同設計條件下，可以得到比遺傳算法更優的膜系結構;文獻［10］用粒子群優化算法對二元相位取樣光柵進行優化設計，實現了對多信道色散和色散斜率的同時補償;文獻［11］用改進的粒子群算法對光子晶體光纖的結構進行了成功優化;文獻［12］使用粒子群優化算法對影響由摻鉺光纖放大器(EDFA)和光纖拉曼放大器(FRA)構成的寬帶混合放大器性能的參數進行了優化組合。

文獻［13-14］首次將粒子群優化算法用于球面及非球面像差的自動校正，并對校正方法和結果進行了有益的探索性研究。本文在文獻［13-14］的基礎上進一步把粒子群算法引入到更多的像差自動校正和光學系統設計中，同時把任意位置的孔徑光闌和漸暈系數等設計要素也引入到算法程序中。

自從粒子群算法誕生以來，該算法的各種變種以及該算法同其它優化算法的各種混合不斷涌現，但是基本的內核并沒有多大的變化。本文把文獻［15］的算法引入到更加復雜的光學系統自動設計中，是一項有益的探索性工作。

2 粒子群優化算法模型

考慮全局優化問題(P):

min{f(x)∶x∈Ω?RD}，f∶Ω?RD→R1，

問題(P)的每個可能解稱為一個粒子(particle)，多個粒子集合成一個種群(swarm)，種群中粒子的個數稱為種群規模(size)。第i個粒子在D維空間的位置用向量Xi=(xi1，xi2，…，xiD)來表示，其速度用 vi=(υi1，υi2，…υiD)來表示。在搜索空間，每個粒子自身所經歷的最佳位置記為Pi=(pi1，pi2，…piD)，稱為 Pbest。種群中所有粒子經歷過的最佳位置用Gbest表示，粒子在每一代中的速度和位置通過如下兩個公式計算［16］:

慣性權重w粒子保持運動慣性，有擴展搜索空間的趨勢。w大則算法具有較強的全局搜索能力，w小則算法傾向于局部搜索。典型做法是采用線性遞減慣性權重，將w初始值設為0.9并使其隨進化代數的增加線性遞減至0.1，以期使算法先采用全局搜索，使搜索空間快速收斂于某區域，然后采用局部的精細搜索。通常權重函數w由下式確定:

式中，wini和wend分別是初始慣性權重和進化至最大代數時的慣性權重;iter、itermax分別是當前進化代數和最大進化代數。

3 用于光學系統像差校正的粒子群算法

根據上述粒子群算法模型，將被優化的光學系統結構看作一個粒子，粒子的位置和速度根據某些條件隨機初始化生成，粒子位置矢量維數和速度矢量維數N由系統結構參數變量決定。系統結構參數包括系統中每個球面半徑或者非球面頂點半徑r、系統中各鏡面之間的距離d、透鏡材料的折射率以及非球面方程中各高次項系數等。下面是粒子群算法實現光學自動設計的具體步驟。

(1)將粒子群位置和速度初始化

首先確定粒子位置范圍，即位置的搜索范圍，這個搜索范圍要根據系統中透鏡的形狀大體設定，為了找到更好的解，也可以反復地修改這個搜索范圍。其次確定粒子飛行速度的最大值vmax和最小值vmin。vmax不能太大，不能一次飛行就能從搜索范圍的一端飛出搜索范圍的另一端，vmax太大，還可能使得粒子飛過好的解;當然粒子的速度也不能太小，太小會導致粒子搜索速度太慢，或是被局部最優解所吸引，無法找到好的解。所以速度最大值和最小值要根據搜索范圍確定。

(2)適應度函數Φ(fitness function)

光學設計中的光學評價函數(Merit Function，MF)Φ(Xi)=被用作粒子群算法中的適應度函數，式中ΔFi為系統實際像差與目標值的差，即實際的像差殘量，qi是權重系數。系統實際像差包括光學系統的各種幾何像差或波像差，也包括某些近軸光學的特性參數，如共軛距Lconj(物像平面間的距離)、像距l'、焦距f'、鏡筒長TL(第一面到像面的距離)、系統總長OL(第一面到最后一面的距離)、玻璃總厚度最大值GLmax、全視場主光線在出瞳面上的投射高、出瞳距、最大離焦量等，甚至包括正透鏡的邊緣厚度和負透鏡的中心厚度等。適應度函數提供了每個粒子及每一代粒子群的評價標準，依靠這個標準可以找出每一代及所有各代的最佳粒子。

(3)依據適應度函數的數學表達式，計算出群體中每一粒子的適應度值，找出每一粒子到目前為止搜尋過程中的個體最佳解Pbest和整體最佳解Gbest。

(4)依據式(1)與式(2)對每一粒子的速度和位置進行更新。之后再回到步驟(3)，如此往復迭代，直到符合設定的中止條件為止。

4 設計實例

選擇三片鏡作為應用粒子群算法校正像差的實例，其流程如第3部分所述。三片鏡的光學特性參數如下:

物距:物平面位于無限遠，L=∞，視場角:2ωmax=50°，光束孔徑:H=6.25(入瞳上最大入射高hmax=6.25)，孔徑光闌:位于系統中第3面上，漸暈系數:K+=1，K-=-1，即沒有漸暈。目標像距l'=44.8307。以上及后文中有關長度的物理量單位相同。

三片鏡的大體形狀為:第一片鏡為雙凸透鏡，第二片為雙凹透鏡，第三片為凹凸透鏡，孔徑光闌在第一片和第二片之間，因此共有7個面。把第一個至第七個面的曲率半徑r搜索范圍分別設定在［15，50］、［-80，-50］、［inf，inf］、［-30，-10］、［15，50］、［-240，-180］、［-30，-10］。三片鏡各鏡面之間的距離d的搜索范圍可以根據實際情況分別設定為［3，8］、［1，3］、［0.5，3］、［1，5］、［1，5］、［3，8］，也可以根據數學計算設定厚度搜索范圍，以保證正透鏡的邊緣厚度和負透鏡的中心厚度不出現負數。玻璃材料一定，不作為變量參加像差校正。表1為設定的系統結構參數的搜索范圍及所用玻璃材料的折射率。nD、nF和nC分別表示黃光、藍光和紅光的折射率。校正從t1hmax，…，至t5hmax5個入射點處的五個球差，這里 t1=1.0，t2=0.85，t3=0.707 1，t4=0.5，t5=0.3。像距(系統最后一面到理想像面的距離)作為廣義的像差同5個球差一起進行優化。系統所要達到的像差目標值和公差如下:球差δL'，目標值為0，公差為-0.1。像距的目標值為44.830 7，公差為 0。自變量 12 個:r1，r2，r4，r5，r6，r7，d1，d2，d3，d4，d5，d6，這 12 個自變量構成粒子位置矢量即，Xi=(x1，x1，…xN)=(r1，r2，r4，r5，r6，r7，d1，d2，d3，d4，d5，d6)。r3是平面孔徑光闌，為固定值。每一個位置矢量的最大值與最小值之差作為粒子的最大速度，使粒子處在最大速度與負最大速度之間。

表1 三片鏡系統結構參數的搜索范圍Tab.1 Scopes for structural parameters of the three-lens system

對于一般尋優，種群中的粒子數在10～30即可，較為復雜的尋優，種群中的粒子數可以適當增加［17］。在大多數情況下，種群數越大，適應度值收斂的速度越快。

根據以上設定的粒子群位置和速度搜索范圍，取進化代數500，學習因子c1=c2=2，在Intel(R)Core(TM)i5-2300 CPU 2.8GHz，4G 內存的聯想PC上運行粒子群優化算法程序約2 min就會得到優化結果。表2記錄了一次運行結果，得到了三片鏡系統的r和d數值，表3記錄了待優化目標球差和像距的優化后數值。從表3中所列出的數值可以看到，5個球差都已達到公差要求，像距與目標值像差僅為0.051 5。圖1是表2數據的光路圖，圖中1表示孔徑光闌，2表示入瞳(下同)。

圖1 用PSO算法校正球差后的光路圖(圖中的數值表示相應的評價函數值)Fig.1 Optical path layout of the three-lens system after correcting spherical aberrations(with numbers indicating corresponding merit function values)

表2 校正球差后的三片鏡系統結構參數Tab.2 Structural parameters of the three-lens system after correcting spherical aberrations

表3 校正球差后的三片鏡系統的球差及像距Tab.3 Spherical aberrations and image distance of the three-lens system after correcting spherical aberrations

從圖1中可以看到，此三片鏡系統全視場的子午場曲很大。表4列出了全視場的D光子午場曲，表5列出了全視場的D光子午光線彌散范圍。從這兩個表可以看出，子午場曲和光線彌散范圍都很大，都需要校正。為了說明應用PSO校正像差的靈活性和實用性，下面先把子午場曲加入到適應度函數中進行像差校正，然后再把子午光線彌散值加入到適應度函數中進行像差校正。

把 1.0ωmax視 場 的 ± 1.0hmax、± 0.85hmax、±0.707 1hmax、±0.5hmax、±0.3hmax處的子午場曲加入到適應度函數中，系統結構參數的搜索范圍不變，代入程序中重新進行優化，得到一組優化結果，如表6所示。對比表6和表2的數據，可以發現數據變化較大，比如 r6從 -250變到-149.253 7等。這種變化所引起的像差變化是否滿足設計要求呢?表7列出了此結構的球差和像距，表8和表9分別列出了此結構的子午場曲和子午光線彌散值。對比表8和表4可以看出，子午場曲縮小了10倍左右，優化效果明顯，但是子午光線的彌散值依然很大，并且1.0hmax處的球差還變大了。當然這只是很多優化結果的一次記錄，由于適應度函數中還要增加更多的像質評價量，沒有必要在這里把優化的量優化到最好。圖2(a)是這次優化結果的光路圖，可以看出子午場曲變小了，但是子午光線彌散值較大。圖2(b)是取了圖2(a)中軸外光束的±1.0hmax子午光線對與主光線的光路位置情況，可以看出，子午光線對的場曲已經較小了，但是子午彗差還較大，這導致了子午光線彌散值較大。

表4 校正球差后1.0ωmax視場D光的子午場曲Tab.4 Meridional field curvatures of D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations

表5 校正球差后1.0ωmax視場D光的子午光線彌散值Tab.5 Dispersion of meridional rays for D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations

表6 校正了球差、子午場曲的三片鏡系統結構參數Tab.6 Structural parameters of the three-lens system after correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

圖2 用PSO算法校正球差、子午場曲后的光路圖Fig.2 Optical path layouts of the three-lens system after correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

表7 校正球差、子午場曲后三片鏡系統的球差及像距Tab.7 Spherical aberrations and image distance of the three-lens system after correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

表8 校正球差、子午場曲后1.0ωmax視場D光的子午場曲Tab.8 Meridional field curvatures of D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

表9 校正球差、子午場曲后1.0ωmax視場D光的子午光線彌散值Tab.9 Dispersion of meridional ray for D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

下面把光線彌散范圍加入到適應度函數中再進行像差校正。此時同時要校正的像差包括5個球差，最大視場的5個子午場曲，最大視場的10條子午光線的彌散范圍，再加上1個廣義像差像距，共21個像差需要校正，這21個像差按照公式Φ(Xi)=組成適應度函數，自變量還是以前的12個，代入到優化算法程序中，程序中的進化代數和學習因子不變，程序運行約2min后便可得到優化結果，結果不理想還可以重新運行程序，直到得到一個滿意結果為止。表10記錄了其中一次較好的優化結果，表11、12、13分別是此次結構優化后的球差、子午場曲和子午光線的彌散值，從這些像差數據看，無論球差、子午場曲還是子午光線彌散值都得到了很好的校正。當然由我們自編的光學設計軟件還可以計算出子午及弧矢彗差、弧矢場曲、弧矢光線的彌散值、畸變以及像散等，由于需要表格太多，這里計算結果不一一列出。但是從計算結果看，除了弧矢場曲稍微大一些之外，其余像差都非常小。圖3是校正了球差、子午場曲和子午光線彌散范圍后的光路圖，光路圖追跡了0視場和1.0ωmax視場各11條光線的光路情況，可以看出，子午面光線像差校正較好。

圖3 校正了球差、子午場曲和子午光線的彌散值后的光路圖Fig.3 Optical path layouts of the three-lens system after correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

表10 校正了球差、子午場曲和子午光線的彌散值的三片鏡系統的結構參數Tab.10 Structural parameters of the three-lens system after correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

表11 校正了球差、子午場曲和子午光線的彌散值后三片鏡系統的球差及像距Tab.11 Spherical aberrations and image distances of the three-lens system after correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

表12 校正了球差、子午場曲和子午光線的彌散值后1.0ωmax視場D光的子午場曲Tab.12 Meridional field curvatures of D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

表13 校正了球差、子午場曲和子午光線的彌散值后1.0ωmax視場D光的子午光線彌散值Tab.13 Dispersion of meridional rays for D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

5 結論

利用粒子群算法設計出了球差、子午場曲、子午光線彌散值都很小的三片鏡光學系統。此三片鏡系統剩余球差的最大值在0.707 1hmax處為-0.079 4;剩余子午場曲最大值在 ±1.0hmax處為0.107 1;子午光線彌散值除 1.0hmax處為 0.121 7外，其余都在0.01數量級。

從三片鏡系統的設計過程和設計結果可以看出，用粒子群算法進行光學自動設計是一種簡單有效的方法，使用這種方法只需要知道光學系統中每個透鏡的大體形狀(如，正透鏡還是負透鏡、凹面還是凸面、孔徑光闌位置及光束孔徑、系統總長度、像距等)和所要用的玻璃材料就可以進行設計，克服了現有光學設計軟件要求必須先有一個具體初始結構的限制。這種限制導致了設計人員找不到合適的初始結構就無法進入到下一個工作環節，大大浪費了時間和精力;這種限制還要求光學設計人員必須有足夠的知識背景和豐富的設計經驗，而PSO的引入基本上克服了這種限制。

利用粒子群算法進行光學系統設計可以得到一系列較好的結果，可以根據實際需要選擇其中的一種作為最佳選擇。用粒子群算法進行光學自動設計的面向對象應用程序開發將使光學系統設計變得更加簡單和有趣。

［1］ CHENG X M，WANG Y T，HAO Q.Global and local optimization for optical systems［J］.Optik，2006，117(3)：111-117.

［2］ WANG Y J.Derivative free simulated annealing and deflecting function technique foe global optimization［J］.J.Appl.Math.Coput.，2008，26(2)：49-66.

［3］ ISSHIKI M，SINCLAIR D C，KANEKO S.Lens design：global optimization of both performance and tolerance sensitivity［J］.SPIE，2006，6342：63420N.

［4］ 張麗琴，王涌天，郝群，等.逃逸函數算法及其在光學設計中的應用［J］.光學技術，2000，26(5):432-434.ZHANG L Q，WANG Y T，HAO Q，et al..Global explorer algorithm and its application in lens design［J］.Optical Technique，2000，26(5):432-434.(in Chinese)

［5］ 張麗琴，王涌天，李林，等.基因算法在光學系統優化中的應用［J］.光學學報，2002，22(1):74-78.ZHANG L Q，WANG Y T，LI L，et al..Genetic algorithm applied to automatic lens design［J］.Acta Optica Sinica，2002，22(1):74-78.(in Chinese)

［6］ SHI Y，EBERHART R C.Particle Swarm Optimization:development，applications and resources［C］.In:Proc Congress on Evolutionary Computation 2001 NJ:Piscataway，IEEE Press，2001:81-86.

［7］ 呂恒毅，劉楊，薛旭成.基于微粒群區域搜索和小波評價的差分式自動聚焦［J］.中國光學，2011，4(3):283-292.Lü H Y，LIU Y，XUE X CH.Difference auto-focusing based on particle swarm optimization searching and wavelet evaluation［J］.Chinese Optics，2011，4(3):283-292.(in Chinese)

［8］ 劉希佳，陳宇，王文生，等.小目標識別的小波閾值去噪方法［J］.中國光學，2012，5(3):248-256.LIU X J，CHEN Y，WANG W SH，et al.De-noising algorithm of wavelet threshold for small target detection［J］.Chinese Optics，2012，5(3):248-256.(in Chinese)

［9］ 翟子羽，葉美盈.基于粒子群優化算法的膜系設計方法［J］.光子學報，2011，40(9):1338-1341.ZHAI Z Y，YE M Y.A coating method based on particle swarm optimization［J］.Acta Photonica Sinica，2011，40(9):1338-1341.(in Chinese)

［10］ 謝軍華，秦子雄，曾慶科，等.用粒子群優化算法設計光纖布拉格光柵［J］.應用光學，2009，30(4):674-677.XIE J H，QIN Z X，ZENG Q K，et al.Design of f iber Bragg gratings using particle swarm optimization［J］.J.Appl.Opt.，2009，30(4):674-677.(in Chinese)

［11］ JIANG H M，XIE K，WANG Y F.C band single pump photonic crystal fiber Raman amplifier［J］.Chinese Sci.Bull.，2009，54(13):1927-1931.

［12］ MOWLA A，GRANPAYEH N.Optimum design of a hybrid erbium-doped fiber amplifier/fiber Raman amplifier using particle swarm optimization［J］.Appl.Opt.，2009，48(5):979-984.

［13］ QIN H.Aberration correction of a single aspheric lens with particle swarm algorithm［J］.Optics Communications，2012，285(13-14):2996-3000.

［14］ QIN H.Particle swarm optimization applied to automatic lens design［J］.Optics Communications，2011，284(12):2763-2766.

［15］ SHI Y，EBERHART R C.A modified particle swarm optimizer［C］.IEEE International Conference of Evolutionary Computation，Anchorage，Alaska:Piscataway，May 1998:69-73.

［16］ 王黨社，張建科，徐鈞琪.薄膜光學常數的粒子群算法［J］.計算物理，2008，25(2):208-212.WANG D SH，ZHANG J K，XU J Q.Particle swarm algorithm for film optical constants［J］.Chinese J.Computational Physics，2008，25(2):208-212.(in Chinese)

［17］ ABRAHAM S，SANYAL S，SANGLIKAR M.Particle swarm optimisation based diophantine equation solver［J］.International J.Bio-Inspired Computation，2010，2(2):100-114.