基于高低頻混合方法的梅利逼近掃頻技術

馬 驥 龔書喜 王 興 張鵬飛 呂政良

（西安電子科技大學天線與微波技術國防科技重點實驗室，陜西 西安710071）

引 言

隨著現代電子技術的發展，寬頻帶系統的應用日益廣泛.在實際應用中，寬帶天線常常安裝在艦船、飛機以及手機等移動平臺上.為分析載體平臺上天線在一定頻率范圍內的輻射特性，必須在每個頻點重復求解積分方程，這必將耗費大量的時間.因此，如何快速有效得到載體平臺上天線的寬帶特性具有重要意義.

在電磁計算中，矩量法（MoM）［1］雖然是一種精確的數值方法，但受所需內存的限制，長期以來不能用于電大尺寸問題的求解.20世紀90年代以來，隨著計算機硬件和計算方法的發展，計算電磁學取得了長足的進步.其中，MoM-PO［2-6］混合方法是研究此類問題的有效方法.該算法將整個模型劃分為MoM區域和物理光學（PO）區域，由于MoM-PO方法中只有極少的未知量，因此具有比MoM高得多的計算效率，并且MoM區域的電場積分方程考慮了來自PO區域的耦合作用，使其計算精度得到保證.

基于模型估計［7］、漸近波形估計［8-9］和梅利逼近［10］等快速掃頻技術蓬勃發展.上述方法中，梅利逼近易于與基于積分方程的數值方法相結合.本文將其與MoM-PO結合分析載體平臺上天線的寬帶特性，通過坐標變換，在給定的頻帶中計算出切比雪夫節點，并應用MoM-PO計算出這些節點處的表面電流，然后通過梅利逼近快速計算出該頻帶內任意頻點的表面電流，從而實現寬帶天線的快速掃頻.計算結果表明在不失精度的前提下，該方法大大提高了計算效率.

1 基本理論

1.1 MoM-PO混合算法

考慮含有理想導體載體平臺和天線的復雜結構，一般將天線劃分為MoM區，而將載體平臺劃分為PO區.在MoM區應用導體目標邊界條件可得電場積分方程為

積分算子Le定義為

式中：k，η和G分別為自由空間的波數、波阻抗和格林函數；JMoM和JPO則分別代表MoM區和PO區的感應電流，將它們展開為

式中：NMoM和NPO分別為MoM區域和PO區域未知量數目；αn和γk分別是MoM區和PO區未知電流系數；fn和fk均為RWG基函數［11］.

根據物理光學逼近，PO區的感應電流可表示為如下形式

式中：n為PO區三角面片的單位法向矢量；δi和δJ，n分別代表了入射波（Ei，Hi）和MoM區基函數作為源對場點的遮擋系數，定義為

聯立式（4）和或（5），并在PO區三角面片的公共邊上引入一對垂直于該公共邊的單位矢量tk±可得

式中：

將式（3）和式（7）代入電場積分方程（1）中，并采用伽略金方法，利用測試函數fm（r）對方程（1）進行檢驗，可得如下矩陣方程

式中：Z11為MoM區的自阻抗矩陣；Z12和A分別為MoM區和PO區的互阻抗矩陣和耦合矩陣；I1為MoM區未知電流系數；V為激勵向量.

PO區電流系數I2則可由下式得到

由此可以看出，相比于傳統的MoM，MoM-PO將線性方程組的階數由（NMoM＋NPO）×（NMoM＋NPO）降至NMoM×MMoM.一般情況下NMoM?NPO，因此混合方法具有較高的計算效率.

1.2 梅利逼近

應用MoM-PO混合方法分析寬帶電磁問題時可得如下矩陣方程

將MoM-PO與梅利逼近結合起來快速分析天線寬帶特性，其具體步驟為：

1）對于給定頻帶f∈［fa，fb］，對應波數為k∈［ka，kb］，利用坐標變換得

2）設 Tl（）（l＝1，2，…，n）為l階切比雪夫多項式，其定義如下

則n階切比雪夫多項式Tn）的n個零點i為

由此，可在［ka，kb］中確定n個切比雪夫節點，其表達式為

3）根據切比雪夫逼近，天線表面電流系數I1（k）可以表示為

式中

4）為提高計算精度，利用梅利有理展開逼近電流系數矢量，則I1（k）可重寫如下

通常設b0＝1，將式（18）代入式（16）并利用恒等式TP（x）· Tq（x）＝（Tp＋q（x）＋T｜p-q｜（x））可得未知系數ai（i＝0，1，…，L）和bj（j＝1，2，…，M）如下：

一旦有理函數系數ai和bj確定，將其代入式（18）即可求得給定頻域內任意頻點的電流密度，進而分析天線寬帶特性.

2 算例分析

圖1 導體板上方的對稱振子天線

為驗證算法的有效性，給出兩個算例的數值結果.所有計算都在主頻為2.8GHz的個人電腦上完成，迭代方法采用雙共軛梯度法，數據采用雙精度類型存儲.

首先分析邊長為2m的正方形理想導體平板上0.25m處水平放置的對稱振子天線的寬帶輻射特性.對稱振子天線利用長為0.25m、寬為0.04m的細帶建模，天線剖分為32個三角形，共31未知量，而平板剖分為2 048個三角形，共3 012未知量，如圖1所示.利用MoM-PO方法進行計算時，天線選為MoM區域，平板為PO區域，計算頻段為300～900MHz.圖2給出了采用逐個頻點計算、切比雪夫逼近（n＝12）和梅利逼近（L＝M＝4）三種方法得到的對稱振子天線輸入導納頻率響應.可以看出：相比于切比雪夫逼近，梅利逼近與逐點計算的結果吻合更好，精度更高.將梅利逼近得到的天線工作在中心頻率600MHz時電場輻射方向圖（φ＝0°，0°≤θ≤180°）與測試結果對比于圖3.兩條曲線吻合良好，由于該算法沒有處理導體平板邊緣繞射場，所以后瓣部分存在誤差.

算例二考慮邊長為1m的正方形導體板上0.24m處放置的領結天線.領結天線張角為90°，長0.2m，天線剖分為94個三角形，共117未知量，而平板剖分為2 420個三角形，共3 566未知量，如圖4所示.天線為MoM區，平板為PO區，計算頻段為0.6～1.9GHz.圖5給出了領結天線的輸入導納頻率響應曲線，圖6則為應用梅利逼近方法得到的天線在xoz面輻射方向圖隨頻率變化情況.從表1可以看出：由于MoM-PO混合算法減少了未知量個數，導致內存需求和計算時間比MoM有大幅度降低.如果進一步采用梅利逼近方法快速掃頻，則可在160s內獲取天線寬帶特性.

表1 算例二中不同方法內存需求與計算時間對比

3 結 論

在切比雪夫逼近的基礎上，將梅利有理逼近引入MoM-PO混合方法中有效分析了載體平臺上天線的寬帶特性.數值結果表明：該方法的計算精度優于切比雪夫逼近，而相比于逐點計算，該方法大大降低了求解時間.因此，MoM-PO結合梅利逼近分析載體平臺上天線特性對實際工程具有一定的指導意義.

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