垂直入射空變等離子體光子晶體帶隙特性研究

楊利霞 陳 偉 孔 娃 施衛東 于萍萍

（1.江蘇大學通信工程系，江蘇 鎮江212013；2.江蘇大學 流體機械工程技術研究中心，江蘇 鎮江212013）

引 言

光子晶體是指具有光子帶隙（PBG）特性的人造周期性電介質結構，有時也稱為PBG光子晶體結構.所謂的光子帶隙是指某一頻率范圍的波不能在此周期性結構中傳播，即這種結構本身存在“禁帶”.從材料結構上看，光子晶體是一類在光學尺度上具有周期性介電結構的人工設計和制造的晶體.20世紀80年代 Yablonovitch［1］，John［2］等提出了光子晶體的概念.光子晶體的研究近年來不斷深入并且作為一個新興研究的方向深受國內外的關注［3］.目前，無論是民用方面還是軍事方面，無論是學術界還是工業界，都激起了人們極大的熱情.人們利用光子晶體的這個特性在發光二極管、光纖、光集成器件等方面有廣泛的運用［4-9］.

等離子體光子晶體（PPC）是由等離子體和介質交替排列的一種人工周期性結構，它的概念是由Hojo等［10］提出.它涉及等離子體物理學、電磁學、電子學、固體物理學、材料學等諸多學科，屬于交叉學科范疇.等離子體光子晶體的研究近年來取得了突飛猛進的發展.短短幾年中，各國學者已經投入其大量精力進行相關研究，同時大量的相關文獻不斷得以涌現.等離子體光子晶體的特性主要包括：光子帶隙特性、光子局域特性和光學特性.其中光子的帶隙特性尤為引起人們的關注，在光學上，人們利用等離子體光子晶體的特性可以制造微波濾波器、等離子體天線，文獻［10-14］僅對在不考慮外磁場和等離子體層為均勻分布的等離子體光子晶體進行了研究，然而在實際應用過程中等離子體頻率也會隨著空間位置的變化而發生變化.對非均勻等離子體頻率情況下的研究，能找到的文獻并不是很多，國際上，O.Sakai，T.Sakaguchi和 K.Tachibana［15］等對非均勻等離子光子晶體做了一些相關研究.目前國內也處于起步階段，有南昌大學的劉崧和南京航空航天大學的劉少斌等［16］，對非均勻分布等離子體光子晶體光子的帶隙分析做了相關研究，其主要是基于由密度線性分布、非磁化、碰撞、中溫的等離子體和電介質構成的一維等離子體光子晶體的光子帶隙特性.以上就是等離子體光子晶體國內外的一些相關情況.因此，研究等離子體頻率的空間變化對等離子體光子晶體禁帶的影響，在工程應用方面具有重要的理論意義.

針對等離子體光子晶體頻率的空間變化進行了研究，采用改進的磁化等離子體時域有限差分（FDTD）方法討論了等離子體頻率隨空間呈脈沖函數形式變化的等離子體光子晶體帶隙特性.通過計算電磁波的反射系數和透射系數獲得其禁帶結構.在一維情況下計算了垂直入射的情形，通過改變等離子體頻率的大小來驗證空變等離子體光子晶體的帶隙特性.

1 空變等離子體光子晶體的FDTD迭代式

在各向異性色散介質碰撞磁化等離子體中，Maxwell方程組和相關的本構方程為

式中：ε0為真空中的介電常數；μ0為真空中導磁率；ωp（z）是關于空間變化的函數；ωb＝eB0/me為電子旋轉頻率，B0為外部靜態磁場，e和me各自表示電子電量和電子質量.

對于一維情況下的橫電磁波（TEM波），并設外磁場的方向為＋z方向即ωb＝ωb，在笛卡爾坐標下的各矢量表示為

在上述坐標下，則有（1）和（2）兩式可寫為如下形式

將式（3）改寫為矩陣可得

式中：

對公式（8）利用如下拉普拉斯變換對進行拉普拉斯變化得［17］

整理可得

式中：

再對式（13）逆拉普拉斯變換可得

式中

先對式（15）在時間上進行離散可得

這里在n時刻對J（t）進行離散后，由式（4）和式（5）知磁場的迭代方程為

由式（6）和式（7）知電場的迭代方程為

2 ωp（z）的空變函數關系式及其圖形

ωp（z）在空間位置的取值隨著函數z的變化而不同，這里ωp（z）為高斯脈沖形式的周期函數［18］為

式中：k是高斯脈沖函數的寬度，k越大等離子體頻率變化越緩，k越小等離子體頻率變化越迅速；Λ為等離子體介質和普通介質的總寬度；n為介質板層數.ωp（z）的空變函數關系式圖形如圖1所示.

圖1 等離子體頻率ωp（z）

3 算例驗證

利用改進的空變等離子體光子晶體的FDTD算法并選用均勻等離子體頻率所得反射系數與非空變（均勻）等離子體光子晶體的反射系數進行算例驗證，模型為7層介質、6層等離子體構成的等離子體光子晶體.等離子體頻率設為ωp＝2π×109rad/s，實際物理結構如圖3所示，圖中a為普通介質寬度，b為等離子體介質寬度.計算時，a＝b＝2.4mm，FDTD的空間步長為60μm，時間步長為0.02ps.兩端采用Mur吸收邊界，入射波為微分高斯脈沖.計算結果如圖2所示.

從圖2可以看出數值解和理論解的結果完美一致，驗證了空變等離子體算法的準確性.

圖2 一維垂直入射驗證算例

4 空變等離子體光子晶體的帶隙特性分析

4.1 空變等離子光子晶體的模型及參數

空變等離子體光子晶體（PPC）的物理模型同驗證算例，如圖3所示.電磁波垂直入射到該一維等離子體光子晶體結構.中間層狀空變等離子體的等離子體頻率變化規律如式（22）所示.計算中，入射波波形為微分高斯脈沖即E（t）＝-4.67 ·，其中t0＝22×10-12s，τ＝5.4×10-12s，FDTD的計算參數空間步長Δz＝60×10-6m，時間步長Δr＝1.0×10-14s.

圖3 等離子光子晶體圖

4.2 非磁化等離子體情形

對于空變非磁化（ωb＝0）等離子體，計算中ωp＝2π×109rad/s，碰撞頻率v＝0，分別計算了脈沖寬度k＝0.6mm、1.2mm、2.4mm與均勻等離子體頻率的反射系數與透射系數，計算結果如圖4，圖5所示.

圖4、圖5給出的是空變情況與非空變情況下PPC的反射系數和透射系數頻譜圖，從圖中可以清楚的看到：無論是反射系數還是透射系數，空變等離子體頻率的反射系數和均勻介質反射系數有非常大的差別，等離子體光子晶體的禁帶隨著高斯脈沖函數寬度k的變化而有規律的變化，隨著k的逐漸變小光子晶體的禁帶中心頻率也逐漸向低頻方向移動，但光子晶體的周期性并沒有改變.這說明通過改變ωp（z）的高斯脈沖形式的函數寬度對PPC結構的禁帶形成是可控的.

圖4 非磁化情況下空變PPC與非空變PPC反射系數圖

圖5 非磁化情況下空變PPC與非空變PPC透射系數圖

4.3 磁化等離子體情形

對于磁化（ωb＝10GHz）等離子體情形，計算中，ωp＝2π×10GHz，碰撞頻率v＝10GHz，分別計算了脈沖寬度k＝0.6mm、1.2mm、2.4mm 與均勻等離子體頻率的反射系數與透射系數頻譜對比圖，如圖6、圖7所示.

由圖6、圖7可以看到出：在磁化情況下，無論是反射系數還是透射系數，其等離子體光子晶體的禁帶仍然隨著高斯脈沖函數寬度（k）的變化而有規律的變化，隨著k的逐漸變小光子晶體的禁帶逐漸變大，但光子晶體的周期性并沒有改變.這說明通過改變ωp（z）的高斯脈沖形式的函數寬度對PPC結構的禁帶形成是可控的.

5 結 論

采用改進的磁化等離子體電磁波傳播的FDTD算法研究了一維空變等離子體光子晶體的禁帶特性.以微分高斯脈沖為激勵源，引入了Mur吸收邊界.用算法公式所得的電磁波反射系數來討論隨空間變化的等離子體頻率對其禁帶特性的影響.結果表明，對于光子晶體禁帶的形成和產生，通過對等離子體空間頻率的變化，能對禁帶的周期性和寬度進行控制.等離子體頻率隨空間成高斯脈沖形式的函數變化，當脈沖寬度減小，其禁帶的寬度也越小，脈沖寬度越大，禁帶的寬度也越大.因此，要實現對等離子體光子晶體禁帶的控制，可以通過改變等離子體頻率的大小來獲得.

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