雙基地多入多出雷達(dá)收發(fā)方位角聯(lián)合估計(jì)算法

陳顯舟 楊 源 韓靜靜 李立萍

（1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第十研究所，四川 成都610036；2.中國(guó)人民解放軍93975部隊(duì)，新疆 烏魯木齊830005；3.電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都611731）

引 言

為了適應(yīng)現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭(zhēng)的需要，與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)相比，在目標(biāo)探測(cè)、雜波抑制、抗干擾、低截獲、目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度、目標(biāo)識(shí)別等方面具有明顯優(yōu)勢(shì)的多入多出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷達(dá)的概念和相應(yīng)的信號(hào)處理技術(shù)日益受到科研工作者的廣泛關(guān)注.傳統(tǒng)雙基地雷達(dá)在反隱身、抗干擾、抗反輻射導(dǎo)彈等方面極具優(yōu)勢(shì)，但是時(shí)間、角度、頻率（相位）如何同步技術(shù)上很難實(shí)現(xiàn).將MIMO技術(shù)引入到雙基雷達(dá)中，在無(wú)需角度同步先決條件下，實(shí)現(xiàn)二維收發(fā)方位角的同時(shí)測(cè)量，回避了雙基雷達(dá)“角度同步”難題，雙基MIMO雷達(dá)集合前兩種技術(shù)優(yōu)勢(shì)于一身，發(fā)展前景極為廣闊.

小陣元間距收發(fā)天線分置的雙基MIMO雷達(dá)，通過(guò)多個(gè)發(fā)射天線同時(shí)向外輻射一組正交信號(hào)，利用波形分集和接收端多通道相干處理，增加了系統(tǒng)的自由度和可檢測(cè)目標(biāo)數(shù)目，角度空間分辨率和參數(shù)的估計(jì)性能也進(jìn)一步得到提高.針對(duì)此種雙基MIMO雷達(dá)高精度目標(biāo)定位方法，文獻(xiàn)［1］和［2］分別提出了基于二維多重信號(hào)分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）和Capon譜峰搜索的收發(fā)方位角的聯(lián)合估計(jì)算法，但是二維譜峰搜索運(yùn)算負(fù)擔(dān)極為繁重，且運(yùn)算復(fù)雜度和估計(jì)精度均與搜索的步長(zhǎng)有關(guān)，不便于實(shí)際應(yīng)用.為了降低運(yùn)算復(fù)雜度，文獻(xiàn)［3］將旋轉(zhuǎn)不變子空間（Estimating signal parameters viarotational invariance techniques，ESPRIT）算法［4-5］同時(shí)應(yīng)用到發(fā)射端和接收端，利用信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變性，來(lái)估計(jì)目標(biāo)的發(fā)射和接收方位角，但需要額外的角度配對(duì).文獻(xiàn)［6］在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上，根據(jù)兩次ESPRIT的關(guān)系，避免了目標(biāo)的二維方位角參數(shù)配對(duì)過(guò)程，但仍需要兩次樣本協(xié)方差矩陣估計(jì)及特征分解過(guò)程，算法的運(yùn)算復(fù)雜度仍不容小覷.文獻(xiàn)［7］利用 MIMO雷達(dá)形成的虛擬陣列數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造兩個(gè)二階統(tǒng)計(jì)量并對(duì)其進(jìn)行聯(lián)合對(duì)角化得到了目標(biāo)方位角和俯仰角的閉式解.該方法解決了存在一維角度兼并時(shí)目標(biāo)的二維波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)問(wèn)題，且無(wú)需二維譜峰搜索和參數(shù)配對(duì).但該方法陣列孔徑損失較大，尤其是當(dāng)接收陣元數(shù)較少時(shí)，將出現(xiàn)較大的角度估計(jì)偏差.文獻(xiàn)［8］基于MIMO雷達(dá)虛擬陣元孔徑擴(kuò)展效應(yīng)，在發(fā)射端配置兩個(gè)或三個(gè)天線，在接收端虛擬出發(fā)射陣元，從而可以在接收端利用DOA矩陣方法同時(shí)估計(jì)目標(biāo)的去波方向（Direction of Departure，DOD）和DOA，在多目標(biāo)情形下，利用此方法得到的二維收發(fā)方位角由于特征值和特征向量的一一對(duì)應(yīng)特性能夠自動(dòng)配對(duì).但是，該方法沒(méi)有充分利用接收端的虛擬發(fā)射陣元效應(yīng)來(lái)改善DOD和DOA的角估計(jì)性能，陣元利用率不高，且有效角度估計(jì)范圍較小.文獻(xiàn)［10］通過(guò)解耦合處理，將二維的收發(fā)方位角分離為兩個(gè)一維方位角估計(jì)過(guò)程，采用兩次多項(xiàng)式求根分別進(jìn)行估計(jì)，避免了二維譜峰搜索，極大降低了計(jì)算量，且無(wú)需額外的配對(duì)算法，最大可定位數(shù)目不少于接收陣元數(shù)目.不足之處是該方法僅利用了特征值信息，沒(méi)有聯(lián)合利用特征矢量信息，角估計(jì)性能有進(jìn)一步提升的空間.

在文獻(xiàn)［8］構(gòu)造的雙發(fā)射天線小間距雙基MIMO雷達(dá)模型基礎(chǔ)之上，提出了一種基于多項(xiàng)式求根理論的DOD和DOA聯(lián)合估計(jì)算法.所提方法相對(duì)于文獻(xiàn)［8］方法，最多可檢測(cè)目標(biāo)數(shù)目翻番，空間角分辨率更高，有效測(cè)角范圍更加寬廣，穩(wěn)健性更好，運(yùn)算復(fù)雜度相對(duì)于文獻(xiàn)［8］方法略微增加，但以此代價(jià)換取性能的極大改善是值得的.所提方法相對(duì)于文獻(xiàn)［8］和［10］方法，在低信噪比或短采樣數(shù)據(jù)情形下角估計(jì)性能更好.最后，通過(guò)多次相互獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性和實(shí)用性.

1 數(shù)據(jù)模型

考慮如圖1所示的雙基MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，發(fā)射和接收布置成小天線間距均勻線陣，其中發(fā)射和接收天線數(shù)分別為M，N，天線間距分別為dt，dr.假定空域存在P 個(gè)目標(biāo)，其中（φp，θp），（p＝1，2，…，P）為目標(biāo)相對(duì)于發(fā)射和接收陣列的方位角.設(shè)定雷達(dá)工作在窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)平面波條件下，且接收和發(fā)射位于同一相位中心，M個(gè)發(fā)射陣元同時(shí)向外輻射一組相互正交的重復(fù)周期相位編碼信號(hào)，滿足＝1，2，…，M 且i≠j，si和sj分別表示第i和j個(gè)陣元發(fā)射的信號(hào)矢量，L為在每個(gè)重復(fù)周期內(nèi)的相位編碼個(gè)數(shù)，也即一個(gè)脈沖內(nèi)的碼長(zhǎng).假定在每個(gè)重復(fù)周期內(nèi)目標(biāo)的雷達(dá)散射截面積（Radar Cross-Section，RCS）保持不變，而在不同重復(fù)周期之間目標(biāo)的RCS是獨(dú)立變化的，并且不同目標(biāo)的RCS波動(dòng)是不相關(guān)的.發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量分別記作at（φ）＝，相應(yīng)的目標(biāo)反射系數(shù)分別為α1，α2，…，αP，由于不同目標(biāo)的反射系數(shù)及路徑損耗不同，假定αP服從均值為0、方差為σ2p的復(fù)高斯分布.則接收陣列的回波信號(hào)表示為［9-10］

圖1 雙基MIMO雷達(dá)系統(tǒng)示意圖

式中：fdp＝（vtp＋vrp）/（λfr）表示第p 個(gè)目標(biāo)的歸一化多普勒頻率，vtp和vrp分別表示第p個(gè)目標(biāo)相對(duì)于發(fā)射和接收陣列的徑向速度，fr為脈沖重復(fù)頻率，λ為載波波長(zhǎng)；S＝［s1… sM］T；W 為均值為0、方差為σ2w的加性復(fù)高斯白噪聲矢量，且與信號(hào)部分相互獨(dú)立.利用M個(gè)發(fā)射信號(hào)分別對(duì)每個(gè)接收陣元接收的Q個(gè)脈沖的回波信號(hào)進(jìn)行匹配濾波，將匹配后的接收信號(hào)寫(xiě)成矩陣形式，可表示為

式中：Z＝［Z1…ZQ］∈CMN×Q，Zq∈CMN×1，q＝1，2，…，Q，表示第q個(gè)發(fā)射脈沖時(shí)回波信號(hào)通過(guò)相關(guān)接收機(jī)組得到的 MN×1維矢量；A（φ，θ）＝At（φ）□Ar（θ）＝［at（φ1）?br（θ1）… at（φP）?br（θP）］，□ 和 ?分別指代Khatri-Rao乘積和Kronecker直積，αpq（p＝1，2，…P；q＝1，2，…，Q）為第p個(gè)目標(biāo)在第q個(gè)發(fā)射脈沖掃描時(shí)的目標(biāo)反射系數(shù).由式（2）可知，接收陣列可等效為陣元數(shù)為MN的虛擬陣列，其輸出數(shù)據(jù)的快拍數(shù)為Q.

2 所出算法描述

假設(shè)發(fā)射端包含兩個(gè)發(fā)射陣元，即M＝2，則由式（2）可得第一、二個(gè)發(fā)射陣元對(duì)應(yīng)的接收信號(hào)矩陣分別為

式中：A1＝Ar（θ）；A2＝A1D，D＝diag；V1和V2為加性高斯白噪聲矢量.

鏈接陣列輸出數(shù)據(jù)Z1，Z2，有

式中：

為擴(kuò)展導(dǎo)向矢量.

由以上假設(shè)可得，擴(kuò)展陣列協(xié)方差矩陣為

式中：Γ＝E （Σ（tq）ΣH（tq））為P×P維非奇異矩陣；σv2＝（1/L）σ2w；E（·）為對(duì)隨機(jī)變量取期望操作符；（·）H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置.

對(duì)R進(jìn)行特征分解，可得

R的P個(gè)大特征值Λs＝diag（λ1λ2… λP）對(duì)應(yīng)的特征矢量張成信號(hào)子空間，（2 N-P）個(gè)小特征值Λn＝diag（λP＋1λP＋2… λ2N）對(duì)應(yīng)的特征矢量張成噪聲子空間，兩者相互正交.二維收發(fā)方位角估計(jì)通過(guò)最小化式（10）可得，且有

整個(gè)偽譜峰值搜索在一個(gè)二維平面內(nèi)展開(kāi)，運(yùn)算復(fù)雜度極高，難以適應(yīng)實(shí)時(shí)測(cè)向系統(tǒng).

依據(jù)式（7）和（10）的代價(jià)方程可改寫(xiě)為如下形式：

式中，子陣Un1和Un2維數(shù)相同，

且U1＝Un1UHn1，U2＝Un1UHn2，U3＝Un2UHn1，U4＝Un2UHn2.

通過(guò)如上的解耦合處理，使得二維最小化問(wèn)題變成兩個(gè)相互獨(dú)立的一維最小化問(wèn)題，大大降低了運(yùn)算量，便于實(shí)時(shí)處理.

令

br（θ）可改寫(xiě)為

此時(shí)，矩陣Θ 為μ 的方程.θp，p＝1，2，…，P，可通過(guò)求解μ的如下等式獲得

θp的估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)換成一個(gè)多項(xiàng)式求根問(wèn)題，可以通過(guò)計(jì)算高效的求根算法得到其解.

μ的多項(xiàng)式可以表示為如下形式

式中：

因而，mk為μ的多項(xiàng)式，其第i個(gè)系數(shù)由Uk（k＝1，2，3，4）的第i條對(duì)角線的和得到，其中i＝-N＋1為下對(duì)角線，i＝N-1為上對(duì)角線.設(shè)uk＝［uk，1… uk，i… uk，2N-1］T表示多項(xiàng)式mk系數(shù)的列向量，有

式中：

可以得到如下關(guān)系式為

因此，多項(xiàng)式m1m4和m2m3的系數(shù)分別等于矩陣u1u4T和u2u3T的反對(duì)角元素的和 .令gq＝［gq，1… gq，f… gq，4N-3］T為包含4N-3個(gè)系數(shù)的列向量，

式中：H1＝u1uT4；H2＝u2uT3.則可以得到

由此式（16）可以改寫(xiě)為

式（26）的根可以通過(guò)高效的多項(xiàng)式求根算法得到.θp，p＝1，2，…，P，可通過(guò)求解如下等式獲得：

同時(shí)，φp，p＝1，2，…，P，由p對(duì)應(yīng)的最小特征值的特征矢量得到，即

μp表示多項(xiàng)式用于求解p的一個(gè)根 .根據(jù)多項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性，我們可以選擇P個(gè)最靠近單位圓的不等根作為μp的估計(jì)值.

多項(xiàng)式det｛Θ｝的自由度為4 N-4，包含4 N-3個(gè)系數(shù).因此，根的總數(shù)為4 N-4，由于其根成對(duì)出現(xiàn)，所提方法最多可以估計(jì)2（N-1）個(gè)信號(hào)源的二維收發(fā)方位角，約為文獻(xiàn)［8］方法的兩倍，所提算法的空間角分辨率更高，在低信噪比或短采樣數(shù)據(jù)情形下角估計(jì)性能更好，有效測(cè)角范圍更加寬廣，穩(wěn)健性更好.由于特征值和特征矢量存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所估得的二維收發(fā)方位角能夠自動(dòng)配對(duì)，不需要額外的配對(duì)算法.

3 運(yùn)算復(fù)雜度分析

所提算法需要如下幾個(gè)步驟：①依據(jù)式（5），鏈接接收陣列匹配濾波后的數(shù)據(jù)矩陣Z1，Z2；②求取鏈接后陣列數(shù)據(jù)的樣本協(xié)方差矩陣，并對(duì)其作特征分解，獲得信號(hào)和噪聲子空間；③對(duì)得到的噪聲子空間按照式（13）進(jìn)行劃分，得到子陣Un1和Un2，進(jìn)而求得Uk，k＝1，2，3，4；④由Uk（k＝1，2，3，4）的各條對(duì)角線元素之和，依據(jù)式（20），求得多項(xiàng)式mk（k＝1，2，3，4）系數(shù)列矢量uk；⑤依據(jù)式（21），（22）求得多項(xiàng)式m1m4，m2m3的系數(shù)列矢量，據(jù)此求得多項(xiàng)式（26）的根，反解式（27）獲得收方位角估值p，p＝1，2，…，P；⑥得到p對(duì)應(yīng)的最小特征值的特征矢量，反解式（28）即可獲得發(fā)方位角估值p，p＝1，2，…，P.

通常情況下，為了獲得陣列協(xié)方差矩陣的有效估計(jì)，陣列接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)Q遠(yuǎn)大于陣列接收陣元數(shù)目，即Q?N.估計(jì)樣本協(xié)方差矩陣的運(yùn)算量約為N2Q，對(duì)一個(gè)N×N維的矩陣進(jìn)行特征分解需要的運(yùn)算量約為O（N3）.文獻(xiàn)［8］和［10］算法的運(yùn)算復(fù)雜度約為2 N2Q＋O（N3），所提算法的運(yùn)算復(fù)雜度約為（2 N）2Q＋O（2 N）3.所提算法運(yùn)算復(fù)雜度相對(duì)于文獻(xiàn)［8］和［10］方法略微增加，但以此代價(jià)換取性能的極大改善是值得的.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，本小節(jié)特給出仿真實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證.

雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，假設(shè)發(fā)射和接收陣列均為陣元間距為半波長(zhǎng)的均勻線陣，即dt＝dr＝λ/2.在發(fā)射端，兩個(gè)陣元發(fā)射相互正交的Hardmard碼波形，即M＝2，接收陣元數(shù)目N＝7，接收端脈沖回波信號(hào)數(shù)目為Q＝1 000.

圖2 目標(biāo)二維收發(fā)方位角估計(jì)星座圖

實(shí)驗(yàn)1：假設(shè)空域目標(biāo)數(shù)目P＝4，分別位于DOD＝［50°，55°，60°，70°］，DOA＝［30°，60°，80°，45°］.在信噪比RSN＝0dB條件下，做200次相互獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，圖2分別給出了文獻(xiàn)［8］方法和所提算法對(duì)目標(biāo)二維收發(fā)方位角進(jìn)行定位所得的星座圖.從實(shí)驗(yàn)1可以看出：文獻(xiàn)［8］方法可檢測(cè)信源數(shù)目極其有限，當(dāng)空域目標(biāo)數(shù)P＞（N-1）/2時(shí)，其估計(jì)目標(biāo)二維收發(fā)方位角的誤差較大，導(dǎo)致對(duì)目標(biāo)的定位偏離了真實(shí)位置，出現(xiàn)了錯(cuò)誤位置的虛擬目標(biāo).所提算法由于產(chǎn)生了虛擬陣元效應(yīng)，使得算法可檢測(cè)信源數(shù)目成倍增長(zhǎng)，能夠?qū)沼蚨鄠€(gè)目標(biāo)的二維收發(fā)方位角度進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，并能自動(dòng)配對(duì)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)多目標(biāo)的有效測(cè)向.

實(shí)驗(yàn)2：假設(shè)空域目標(biāo)數(shù)目P＝1，在信噪比RSN＝0dB條件下，φ，θ的步長(zhǎng)值為2.65°.做100次相互獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，圖3分別給出了文獻(xiàn)［8］方法和所提算法在整個(gè)空域內(nèi)的測(cè)向性能曲線圖.

從實(shí)驗(yàn)2可以看出：所提算法在整個(gè)觀測(cè)區(qū)域內(nèi)的估計(jì)精度小于0.7°，估計(jì)性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于文獻(xiàn)［8］方法.文獻(xiàn)［8］方法在發(fā)方位角φ＝90°附近時(shí)，估計(jì)精度大于25°，估計(jì)性能大大下降完全失效.所提算法在整個(gè)待測(cè)空間內(nèi)的空間角均方根誤差基本均勻，有效測(cè)角范圍更加寬廣，穩(wěn)健性更好，所提算法適合對(duì)較大的觀測(cè)區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)全方位測(cè)向.

實(shí)驗(yàn)3：假設(shè)空域目標(biāo)數(shù)目P＝2，分別位于DOD＝［50°，60°］，DOA＝［75°，85°］.信噪比 SNR在0～20dB之間變化時(shí)，做10 000次相互獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，圖4給出了文獻(xiàn)［8］、文獻(xiàn)［10］方法和所提算法對(duì)空域兩個(gè)目標(biāo)的二維收發(fā)方位角估計(jì)的聯(lián)合均方根誤差（root mean squared error，RMSE）隨信噪比變化性能曲線圖，RMSE定義如下

圖4 收發(fā)方位角聯(lián)合均方根誤差隨信噪比變化曲線

實(shí)驗(yàn)4：假設(shè)空域目標(biāo)數(shù)目P＝2，分別位于DOD＝［50°，60°］，DOA＝［75°，85°］.信噪比 RSN＝0dB，快拍數(shù)在800～2 000之間變化時(shí)做10 000次相互獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，圖5給出了文獻(xiàn)［8］、文獻(xiàn)［10］方法和所提算法對(duì)空域兩個(gè)目標(biāo)的二維收發(fā)方位角估計(jì)的聯(lián)合均方根誤差隨快拍數(shù)變化性能曲線圖.

從實(shí)驗(yàn)3、4可以看出：所提算法由于產(chǎn)生了虛擬陣元效應(yīng)，擴(kuò)展了有效陣列孔徑，算法的空間角分辨率更高，角估計(jì)性能更為優(yōu)良.尤其在低信噪比和短采樣數(shù)據(jù)情形下，所提算法相對(duì)于文獻(xiàn)［8］和文獻(xiàn)［10］方法性能改善明顯，特別是信噪比在0～3dB之間時(shí)，文獻(xiàn)［8］方法基本失效，而所提算法依然有效，且角估計(jì)精度很好.

圖5 收發(fā)方位角聯(lián)合均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線

5 結(jié) 論

針對(duì)小天線間距收發(fā)分置的雙基地MIMO雷達(dá)，基于多項(xiàng)式求根理論，提出了一種高精度二維收發(fā)方位角聯(lián)合估計(jì)算法.所提算法充分利用MIMO雷達(dá)虛擬陣元效應(yīng)，提高了空域可檢測(cè)目標(biāo)數(shù)目；同時(shí)陣列孔徑得到擴(kuò)展，改善了低信噪比或短采樣數(shù)據(jù)情形下角度估計(jì)性能，擴(kuò)寬了有效測(cè)角范圍，算法的魯棒性更好.所提方法無(wú)需二維偽譜峰值搜索，所估得的二維收發(fā)方位角能夠自動(dòng)配對(duì).因此，所提算法的實(shí)用價(jià)值很高，適合對(duì)較大的觀測(cè)區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)全方位高精度測(cè)向.

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